备考2024届高考数学一轮复习好题精练第八章平面解析几何突破1“隐形圆”问题2

第八章平面解析几何突破1“隐形圆”问题1.已知直线l：y＝k（x－2）＋1（k∈R）上存在一点P，满足｜OP｜＝1，其中O为坐标原点，则实数k的取值范围是（　C　）A.（0，12）B.[0，34]C.[0，43]D.[12，43]解析　解法一　由｜OP｜＝1，知点P在单位圆x2＋y2＝1上运动，则由题意知直线l与圆x2＋y2＝1有公共点，则｜－2k+1｜k2+1≤1，解得0≤k≤43，即k的取值范围是[0，43]，故选C.解法二　因为直线l：y＝k（x－2）＋1（k∈R）上存在一点P，使得｜OP｜＝1，所以原点O到直线l的距离的最大值为1，即｜－2k+1｜k2+1≤1，解得0≤k≤43，即k的取值范围是[0，43]，故选C.2.已知点A（－1，0），B（2，0），若动点M满足｜MB｜＝2｜MA｜，直线l:x+y-2=0与x轴、y轴分别交于P，Q两点，则△MPQ的面积的最小值为（　D　）A.4＋22B.4C.22D.4－22解析　如图，设M（x，y），由｜MB｜＝2｜MA｜，得（x－2）2＋y2＝2（x+1）2＋y2，化简得（x＋2）2＋y2＝4，所以点M的轨迹是圆.由题意可知P（2，0），Q（0，2），则｜PQ｜＝22，圆（x＋2）2＋y2＝4的圆心N（－2，0）到直线l的距离d＝｜－2+0－2｜2＝22，所以点M到直线l的距离的最小值为22－2，所以S△MPQmin=12×22×22－2=4-22.故选D.3.[2024江苏省常熟中学校考]设λ∈R，动直线l1：λx－y＋λ＝0过定点A，动直线l2：x＋λy－3－2λ＝0过定点B，若P为l1与l2的交点，则｜PA｜·｜PB｜的最大值为（　A　）A.10B.20C.10D.25解析　直线l1的方程可整理为λ（x＋1）－y＝0，令x+1=0，－y=0，解得x＝－1，y=0，所以A－1，0.直线l2的方程可整理为λ（y－2）＋x－3＝0，令x－3=0，y－2=0，解得x=3，y=2，所以B（3，2）.因为λ×1－1×λ＝0，所以l1⊥l2，所以点P是以AB为直径的圆上的点，又｜AB｜＝（－1－3）2＋（0－2）2＝25，所以｜PA｜2＋｜PB｜2＝｜AB｜2＝20，所以｜PA｜·｜PB｜≤｜PA｜2＋｜PB｜22＝10，当且仅当｜PA｜＝｜PB｜＝10时等号成立.故选A. 4.[多选/2023湖南益阳联考]在平面直角坐标系中，M（－2，0），N（1，0），A（3，1），｜PM｜＝2｜PN｜，设点P的轨迹为C，下列说法正确的是（　BD　）A.C的方程为（x＋4）2＋y2＝12B.△PMN面积的最大值为922C.｜AP｜的最小值为42D.若直线y＝2x＋1与C交于D，E两点，则｜DE｜＝655解析　设点P（x，y），由｜PM｜＝2｜PN｜，得（x+2）2＋y2＝2×（x－1）2＋y2，化简得（x－4）2＋y2＝18，故A错误；当点P纵坐标的绝对值最大时，△PMN的面积最大，此时S△PMN＝12×3×32＝922，故B正确；设轨迹C的圆心为E，半径为r，则E（4，0），r＝32，点A在圆内，所以｜AP｜min＝r-｜AE｜＝32－1+1＝22，故C错误；易知轨迹C的圆心E到直线y＝2x＋1的距离为d＝95，｜DE｜＝2（32）2－（95）2=655，故D正确.故选BD.5.已知圆O：x2＋y2＝1，过平面区域D内的每一个点均存在两条互相垂直的直线，它们均与圆O相交，则区域D的面积为　2π　.解析　如图所示，过点P作圆O：x2＋y2＝1的两条切线PA，PB，切点为A，B，此时PA⊥PB，连接OA，OB，则四边形PAOB是正方形，所以｜OP｜＝2，那么平面区域D就是以O为圆心、2为半径的圆及其内部，故区域D的面积为π（2）2＝2π.6.[2023安徽合肥质检]已知AB为圆C：（x－2）2＋（y－m）2＝3的一条弦，M为线段AB的中点.若｜CM｜2＋｜OM｜2＝3（O为坐标原点），则实数m的取值范围是　-[2,2]　.解析　由题意可知C（2，m），设M（x，y），因为｜CM｜2＋｜OM｜2＝3，所以（x－2）2＋（y－m）2＋x2＋y2＝3，化简得x2＋y2－2x－my＋m22＋12＝0，即（x－1）2＋（y－m2）2＝2－m24，当2－m2＞0时，点M的轨迹是以D（1，m2）为圆心，半径r＝2－m22的圆；当2－m2＝0时，点M的轨迹为点（1，m2）.因为点M是圆C的一条弦的中点，所以点M在圆C的内部，所以圆D或点（1，m2）在圆C的内部，所以 2－m2>0，（2－1）2＋（m－m2）2＜3－2－m22或2－m2=0，（1－2）2＋（m2－m）2<3，解得-2≤m≤2，所以实数m的取值范围是[－2，2].7.已知圆O：x2＋y2＝r2（r＞0）与圆M：（x－2）2＋（y－23）2＝4相交于A，B两点，若对于直线AB上的任意一点P，均有PO·PM＞0成立，则实数r的取值范围为　（25，6）　.解析　因为圆O：x2＋y2＝r2（r＞0）与圆M：（x－2）2＋（y－23）2＝4相交于A，B，所以｜r－2｜＜22＋（23）2＜r＋2，所以2＜r＜6.又圆M的方程可化为x2＋y2－4x－43y＋12＝0，与圆O：x2＋y2＝r2相减，得直线AB的方程为4x＋43y－r2－12＝0.设点P（x，y），且M（2，23），O（0，0），则PO·PM＝（－x，－y）·（2－x，23－y）＝x2＋y2－2x－23y＞0.因为对于直线AB上的任意一点P，均有PO·PM＞0成立，所以直线AB上的任意一点P都满足不等式x2＋y2－2x－23y＞0，即直线AB与圆（x－1）2＋（y－3）2＝4相离，所以圆心（1，3）到直线AB的距离d＝｜4+43×3－r2－12｜42＋（43）2＝｜4－r2｜8＞2，解得r＞25.故实数r的取值范围为（25，6）.8.已知动圆恒过定点F（1，0）且与定直线l：x＝－1相切.（1）求动圆圆心C的轨迹方程.（2）是否存在正数m，对于任意一条过点M（m，0）且与曲线C有两个交点A，B的直线，都有FA·FB＜0？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.解析　（1）因为动圆过定点F（1，0）且与定直线l：x＝－1相切，故圆心到点F（1，0）和直线l：x＝－1的距离相等，故圆心C的轨迹是以F为焦点，以l为准线的抛物线，故动圆圆心C的轨迹方程是y2＝4x.（2）设过点M（m，0）（m＞0）的直线l与曲线C的交点为A（x1，y1），B（x2，y2）.设l的方程为x＝ty＋m，代入得y2－4ty－4m＝0，Δ＝16（t2＋m）＞0，于是y1＋y2＝4t，y1y2＝－4m.　①又因为FA＝（x1－1，y1），FB＝（x2－1，y2），FA·FB＜0，所以（x1－1）（x2－1）＋y1y2＝x1x2－（x1＋x2）＋1＋y1y2＜0，　②又因为x＝14y2，所以不等式②等价于14y12·14y22＋y1y2－（14y12＋14y22）＋1＜0.　③由①式，不等式③等价于m2－6m＋1＜4t2.　④对于任意实数t，4t2的最小值为0，所以不等式④对于一切t成立等价于m2－6m＋1＜0，解得3－22＜m＜3＋22，由此可知，存在正数m，对于任意一条过点M（m，0）且与曲线C有两个交点A，B的直线，都有FA·FB＜0，且m的取值范围是（3－22，3＋22）.9.已知点O（0，0），点M是圆（x＋1）2＋y2＝4上任意一点. （1）在x轴上是否存在点A，使得｜MO｜｜MA｜＝12？若存在，求出点A的坐标；若不存在，请说明理由.（2）在x轴上是否存在不同于点O的定点A，使得｜MO｜｜MA｜为常数λ？若存在，求出点A的坐标及常数λ的值；若不存在，请说明理由.解析　（1）解法一　假设存在符合题意的点A（x0，0），设M（x，y），则（x＋1）2＋y2＝4，所以x2＋y2＝3－2x.由｜MO｜｜MA｜＝12，得｜MA｜2＝4｜MO｜2，所以（x－x0）2＋y2＝4（x2＋y2），即3（x2＋y2）＋2x0x－x02＝0，所以3（3－2x）＋2x0x－x02＝0，所以（2x0－6）x－（x02－9）＝0.因为点M（x，y）是圆上任意一点，所以2x0－6=0，x02－9=0，所以x0＝3，所以存在点A（3，0），使得｜MO｜｜MA｜＝12.解法二　设点A（t，0）.当点M为圆与x轴的左交点（－3，0）时，｜MO｜｜MA｜＝3｜－3－t｜，当点M为圆与x轴的右交点（1，0）时，｜MO｜｜MA｜＝1｜1－t｜，令3｜－3－t｜＝1｜1－t｜＝12，得t＝3.下面证明点A（3，0）对圆（x＋1）2＋y2＝4上任意一点M（x0，y0），都有｜MO｜｜MA｜＝12.因为点M在圆上，所以（x0＋1）2＋y02＝4，则｜MO｜2｜MA｜2＝x02＋y02（x0－3）2＋y02＝x02+4－（x0+1）2（x0－3）2+4－（x0+1）2＝－2x0+3－8x0+12＝14，即｜MO｜｜MA｜＝12.（2）假设存在定点A（x0，0）（x0≠0），使得｜MO｜｜MA｜＝λ，设M（x，y），则（x＋1）2＋y2＝4，所以x2＋y2＝3－2x，由｜MO｜｜MA｜＝λ，得｜MO｜2＝λ2｜MA｜2，所以x2＋y2＝λ2[（x－x0）2＋y2]，即（λ2－1）（x2＋y2）－2λ2x0x＋λ2x02＝0，所以（λ2－1）（3－2x）－2λ2x0x＋λ2x02＝0，即2（λ2－1＋λ2x0）x－3（λ2－1）－λ2x02＝0，因为点M（x，y）是圆上任意一点，所以2（λ2－1+λ2x0）=0，－3（λ2－1）－λ2x02=0，因为x0≠0，所以x0=3，λ＝12， 所以存在点A（3，0），使得｜MO｜｜MA｜＝12.