备考2024届高考数学一轮复习好题精练第六章平面向量复数突破1平面向量中的综合问题命题点1平面向量与其他知识的综合

突破1　平面向量中的综合问题命题点1　平面向量与其他知识的综合角度1　平面向量与平面几何例1在△ABC中，M是边BC的中点，N是线段BM的中点.若∠BAC＝π6，△ABC的面积为3，则AM·AN取最小值时，BC＝（　A　）A.2B.4C.23D.43解析　设△ABC的内角∠BAC，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，由题意知，S△ABC＝12bc·sinπ6＝3，∴bc＝43，AB·AC＝bc·cosπ6＝6.∵M为BC的中点，N为BM的中点，故AM＝12AB＋12AC，AN＝34AB＋14AC，AM·AN＝（12AB＋12AC）·（34AB＋14AC）＝18b2＋38c2＋3≥218×38·bc＋3＝6，当且仅当b＝3c，即b＝23，c＝2时等号成立，AM·AN取到最小值，此时a＝b2＋c2－2bc·cosπ6＝2，即BC＝2.故选A.角度2　平面向量与三角函数例2[多选/2021新高考卷Ⅰ]已知O为坐标原点，点P1（cosα，sinα），P2（cosβ，－sinβ），P3（cos（α＋β），sin（α＋β）），A（1，0），则（　AC　）A.｜OP1｜＝｜OP2｜B.｜AP1｜＝｜AP2｜C.OA·OP3＝OP1·OP2D.OA·OP1＝OP2·OP3解析　由题可知，｜OP1｜＝cos2α＋sin2α＝1，｜OP2｜＝cos2β＋（－sinβ）2＝1，所以｜OP1｜＝｜OP2｜，故A正确；取α＝π4，则P1（22，22），取β＝5π4，则P2（－22，22），则｜AP1｜≠｜AP2｜，故B错误；因为OA·OP3＝cos（α＋β），OP1·OP2＝cosαcosβ－sinα·sinβ＝cos（α＋β），所以OA·OP3＝OP1·OP2，故C正确；因为OA·OP1＝cosα，OP2·OP3＝cosβcos（α＋β）－sinβ·sin（α＋β）＝cos（α＋2β），取α＝π4，β＝π4，（用取特殊值法进行排除）则OA·OP1＝22，OP2·OP3＝cos3π4＝－22，所以OA·OP1≠OP2·OP3，故D错误.故选AC.角度3　平面向量与解析几何例3[2023辽宁省实验中学第五次模拟]已知向量b，c和单位向量a满足｜a－b｜＝2｜b｜，｜c－a｜＋｜c＋a｜＝4，则b·c的最大值为（　C　）A.423B.2C.2D.52解析　设a＝（1，0），b＝（x，y），由｜a－b｜＝2｜b｜可得（x－1）2＋y2＝4（x2＋y2），化简可得3x2＋3y2＋2x－1＝0，即（x＋13）2＋y2＝49.设c＝（x0，y0），则由｜c－a｜ ＋｜c＋a｜＝4，可得（x0－1）2＋y02＋（x0+1）2＋y02＝4，故点（x0，y0）的轨迹是以（－1，0），（1，0）为焦点，长轴2a＝4的椭圆，其方程为x24＋y23＝1.设b，c夹角为θ，则b·c＝｜b｜｜c｜cosθ，如图，由圆与椭圆的性质可得，｜b｜≤23＋13＝1，｜c｜≤2，cosθ≤1，三者可同时取等号，故当b，c同向且方向与x轴正方向相反时，b·c取得最大值2.故选C.方法技巧1.解平面向量与平面几何综合问题的步骤（1）设出向量或将某些向量用其他向量进行表示，将几何问题转化为向量问题；（2）利用向量之间的计算解决几何图形上的长度、夹角等问题.2.平面向量与三角函数综合问题的解题思路运用向量共线或垂直的坐标表示，向量的有关运算等，得到三角函数的关系式，然后求解.3.平面向量与解析几何综合问题的解题思路利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，将条件转化求解.训练1（1）[全国卷Ⅰ]设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点（－2，0）且斜率为23的直线与C交于M，N两点，则FM·FN＝（　D　）A.5B.6C.7D.8解析　过点（－2，0）且斜率为23的直线方程为y＝23（x＋2），由y＝23（x+2),y2=4x，消元整理得x2－5x＋4＝0，解得x＝1或x＝4，所以x=1，y=2或x=4，y=4.不妨设M（1，2），N（4，4），易知F（1，0），所以FM＝（0，2），FN＝（3，4），所以FM·FN＝8.故选D.（2）[多选/2023广东汕头二模]在△ABC中，已知AB＝2，AC＝5，∠BAC＝60°，BC，AC边上的中线AM，BN相交于点P，下列结论正确的是（　ABD　）A.AM＝392B.BN＝212C.cos∠MPN＝2121D.PA＋PB＋PC＝0解析　因为M是BC的中点，所以AM＝12（AB＋AC）.对于A，AM＝｜AM｜＝12　　（AB＋AC）2＝12　　AB2＋AC2+2AB·AC＝392，故A正确.对于B，BN＝｜BN｜＝（12AC－AB）2＝14AC2＋AB2－AB·AC＝212，故B正确. 对于C，AM·BN＝12（AB＋AC）·（12AC－AB）＝14｜AC｜2－14AB·AC－12｜AB｜2＝3，cos∠MPN＝cos＜AM，BN＞＝AM·BN｜AM||BN｜＝49191，故C错误.对于D，由题意知，P为△ABC的重心，则PA＋PB＋PC＝－13（AB＋AC）－13AC＋23AB＋23AC－13AB＝0，故D正确.故选ABD.