专题1 平面向量的运算（知识点）

2020-2021学年高一数学下学期期末考点大串讲专题1平面向量的运算【知识网格】【知识讲练】知识点一平面向量的概念名称定义记法零向量长度为__0__的向量叫做零向量0单位向量长度等于__1__个单位的向量，叫做单位向量相等向量__长度__相等且方向相同的向量叫做相等向量__a＝b__说明，任意两个相等的非零向量，都可用同一条__有向线段__来表示，并且与有向线段的起点无关．在平面上，两个长度相等且方向一致的有向线段表示同一个向量平行向量方向__相同__或__相反__的非零向量叫做平行向量__a∥b__规定：零向量与任何向量都__平行__0∥a说明：任一组平行向量都可以平移到同一__直线__上，因此，平行向量也叫__有线__向量知识点二平面向量的加法1．向量的加法(1)定义：求两个向量__和__的运算，叫做向量的加法．两个向量的和仍然是一个__向量__．(2)三角形法则：如图甲所示，已知非零向量a、b，在平面内任取一点，作＝a，＝b，则向量　　叫做向量a与b的和，记作a＋b.这种求__向量和__的方法叫做向量加法的三角形法则． (3)平行四边形法则：已知两个不共线向量a、b(如图乙所示)，作＝a，＝b，则A、B、D三点不共线，以、为邻边作平行四边形ABCD，则向量　　＝a＋b，这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则．2．向量加法的交换律：a＋b＝b＋a.3．向量加法的结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)知识点三平面向量的减法1．相反向量定义如果两个向量长度__相等__，而方向__相反__那么称这两个向量是相反向量性质①对于相反向量有：a＋(－a)＝　0　②若a、b互为相反向量，则a＝　－b　，a＋b＝　0　③零向量的相反向量仍是零向量2．向量的减法定义a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的__相反向量__作法在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则向量a－b＝　　.如图所示几何意义如果把两个向量a、b的起点放在一起，则a－b可以表示为从向量b的__终点__指向向量a的__终点__的向量知识点四平面向量的数乘1．向量的数乘定义一般地，实数λ与向量a的积是一个__向量__，这种运算叫做向量的数乘，记作λa长度|λa|＝|λ||a|方向λ>0λa的方向与a的方向__相同__λ＝0λa＝　0　λ<0λa的方向与a的方向__相反__2．数乘的几何意义λa的几何意义就是把向量a沿着a的方向或反方向扩大或缩小|λ|倍． 3．向量数乘的运算律向量的数乘运算满足下列运算律：设λ、μ为实数，则(1)λ(μa)＝　(λμ)a　；(2)(λ＋μ)a＝　λa＋μa　；(3)λ(a＋b)＝　λa＋λb　(分配律)．特别地，我们有(－λ)a＝　－(λa)　＝　λ(－a)　，λ(a－b)＝　λa－λb　．4．共线向量定理向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使　b＝λa　．5．向量的线性运算向量的__加__、__减__、__数乘__运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a、b以及任意实数λ、μ1、μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝　λμ1a±λμ2b　．知识点五平面向量的数量积1．两向量的夹角与垂直定义已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则__∠AOB__叫做向量a与b的夹角图示特殊情况θ＝0°a与b__同向__θ＝180°a与b__反向__θ＝90°a与b__垂直__，记作　a⊥b　2．平面向量的数量积的定义定义已知两个非零向量a与b，我们把数量　|a||b|cosθ　叫做a与b的数量积(或内积)，其中θ是a与b的夹角记法记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ规定零向量与任一向量的数量积为__0__投影　|a|cosθ　(|b|cosθ)叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的投影几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影　|b|cosθ　的乘积3．两个向量数量积的性质设a、b都是非零向量，(1)a⊥b⇔　a·b＝0　．(2)当a与b同向时，a·b＝　|a||b|　；当a与b反向时，a·b＝　－|a||b|　.特别地，a·a＝　a2　＝　|a|2　或|a|＝．(3)|a·b|≤　|a||b|　． 4．平面向量数量积的运算律已知向量a、b、c和实数λ．(1)交换律：a·b＝　b·a　．(2)结合律：(λa)·b＝　λ(a·b)　＝　a·(λb)　．(3)分配律：(a＋b)·c＝　a·c＋b·c　．