专题1平面向量的运算（答案解析）

专题1平面向量的运算【基础题】1．（2021·天津南开中学高一期中）在平行四边形中，（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由平行四边形的性质可得，从而可求得答案【详解】解：因为四边形为平行四边形，所以,所以，故选：D2．（2021·全国高一课时练习）（共线向量的概念）下列命题中，正确的是（）A．若∥，则与方向相同或相反B．若∥，∥，则∥C．若两个单位向量互相平行，则这两个单位向量相等D．若，，则【答案】D【解析】对于A：用零向量验证；对于B：用零向量验证；对于C：用方向相反的向量验证；对于D：利用向量相等的条件证明.【详解】由于零向量的方向是任意的，取，则对于任意向量，都有∥，知A错；取，则对于任意向量，都有∥，∥，但得不到∥，知B错； 两个单位向量互相平行，方向可能相反，知C错；由两向量相等的概念知D正确．故选：D．3．（2021·天津高一期中）下列结论中，正确的是（）A．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合B．若向量与都是单位向量，则C．若向量与是平行向量，则与的方向相同D．若两个向量相等，则它们的模相等【答案】D【解析】根据向量相等、单位向量、平行向量的概念进行判断.【详解】A．两个向量相等，则两个向量可以平移至起点和终点重合，但两个向量不一定起点和终点重合，故错误；B．单位向量的模长都相等，但是方向不一定相同，故错误；C．若两个向量是平行向量，则这两个向量的方向也可以相反，故错误；D．相等向量的模长相等，方向相同，故正确，故选：D.4．（2021·全国高一课时练习）给出下列说法：①向量的长度与向量的长度相等；②有向线段就是向量，向量就是有向线段；③向量的大小与方向有关；④向量的模可以比较大小．其中说法正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解析】根据向量的定义判断．【详解】对于①，向量的长度与向量的长度相等，故①正确；对于②，有向线段是有方向的线段，向量是既有大小、又有方向的量，向量可以用有向线段来表示，二者不相同，②错误； 对于③，向量的大小与方向无关，故③错误；④向量的模可以比较大小，故④正确；故选：B．5．（2021·全国高一课时练习）下列说法正确的是（）A．向量∥就是所在的直线平行于所在的直线B．长度相等的向量叫作相等向量C．与任一向量都平行的向量是零向量D．共线向量是在一条直线上的向量【答案】C【解析】根据平行（共线）向量的定义判断．【详解】对于A：向量∥时，所在的直线与所在的直线可能重合，故A不正确；对于B：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，故B不正确；对于C：与任一向量都平行的向量只有零向量，故C正确；对于D：非零的共线向量是方向相同或相反的向量，可以在同一直线上，也可不在同一直线上，故D不正确；故选：C．6．（2021·浙江高一期末）已知向量不共线，若与共线，则实数k的值为（）A．B．C．1D．2【答案】B【解析】由于与共线，所以由平面向量共线定理可得存在唯一实数，使，从而可求出k的值【详解】解：因为与共线，所以存在唯一实数，使，所以，解得，故选：B7．（2021·浙江高一期末）设向量，为互相垂直的单位向量，若向量与垂直，则（）A．B．1C．2D． 【答案】C【解析】由向量垂直，得数量积为0，计算可得．【详解】向量，为互相垂直的单位向量，则，向量与垂直，则，．故选：C．8.（2021·全国高一课时练习）若，与的方向相反，且，则等于（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由向量反向可知，即，由此构造方程求得，即可得到结果.【详解】与的反向，，，即，解得：，.故选：B.9．（2021·河南高一期中（文））关于平面向量，，，下列结论正确的是（）A．，则B．，则与中至少有一个为C．D．，则【答案】D【解析】当向量时，可判定A不正确；当向量时，可判定B不正确；根据向量的数量积的定义和向量的数乘的运算，可判定C不正确；根据向量的数量积的定义，求得，可判定D正确.【详解】 对于A中，若向量时，满足，但与不一定相等，所以A不正确；对于B中，当向量时，可得，所以B不正确；对于C中，根据向量的数量积的定义，可得，不妨设，此时与不一定相等，所以C不正确；对于D中，根据向量的数量积的定义，可得，因为，可得，又由，所以或，此时与为共线向量，即，所以D正确.故选：D.10．（2021·浙江高一期末）设向量，满足，，则（）A．B．1C．4D．【答案】B【解析】利用向量模的平方即为向量的平方化简已知即可求解.【详解】解：，，，，将两式相减可得，故选：B.【提升题】1．（2021·河南高一期中（文）），是半径为1的圆的两条直径，，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】作出图象，根据，结合数量积的运算，即可求解.【详解】如图所示，，是半径为1的圆的两条直径，且，即为的中点， 则，故选：B.2．（2021·浙江高一期末）已知向量满足，且与夹角为，则“”是“”的（）A．必要而不充分条件B．充分而不必要条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】根据向量数量积的定义可由求出，即可判断.【详解】若，则，，，反之，也成立.故“”是“”的充要条件.故选：C.3．（2021·浙江高一期末）已知向量满足，且与的夹角是，则的值是（）A．7B．C．19D．【答案】B【解析】根据模长性质先求，转化为向量数量积运算，即可求解.【详解】 ,.故选：B4.（2021·浙江高一期末）向量满足，则（）A．2B．1C．D．【答案】C【解析】根据题意得，进而解得.【详解】由题意易知：，即，，即.故选：C5．（2021·全国高一课时练习）已知向量，且，，，则一定共线的三点是()A．A，B，DB．A，B，CC．B，C，DD．A，C，D【答案】A【解析】计算某两个向量的和，与和向量共线的另一向量，即得结论.【详解】∵，，，又，所以，即//，而有公共点B，∴A，B，D三点共线，A选项正确；，显然两两不共线，选项B，C，D都不正确.故选：A6.【多选题】（2021·浙江高一期末）已知向量是两个非零向量，在下列条件中，一定能使共线的是（）A．且 B．存在相异实数，使C．（其中实数x，y满足）D．已知梯形ABCD，其中【答案】AB【解析】选项A：根据，即可得出，从而得出共线；选项B：可得出都不等于0，并得出，从而得出共线；选项C：当，时，满足选项的条件，显然得不出共线；对于选项D：显然得不出共线．【详解】解：A．联立和消去向量可得出，∴，且，所以共线.B．∵都是非零向量，且，，∴都不为0，所以，所以共线.C．当时，满足，此时对任意的向量都有，∴得不出共线；D．∵在梯形中AB与CD不一定平行，∴得不出共线．故选：AB．7．【多选题】（2021·江苏苏州市·高一期中）已知m，n是实数，为向量，则下列运算中正确的有（）A．B．若，则C．D．【答案】AD【解析】利用平面向量数量积的运算律与向量共线的充要条件判断选项的正误即可.【详解】A选项：，满足向量的运算法则，所以A正确；B选项：当时，，但是，不一定相等，所以B不正确；C选项：表示与共线的向量，表示与共线的向量， 所以两个向量不一定相等，所以C不正确；D选项：，满足向量的数量积的运算法则，所以D正确.故选：AD8．（2021·浙江湖州市·湖州中学高一开学考试）设是两个不共线的非零向量，若向量与的方向相反，则________．【答案】【解析】根据题意可知，存在，使得，根据平面向量基本定理列式可求出结果.【详解】因为向量与的方向相反，所以存在，使得，又是两个不共线的非零向量，所以，消去得，因为，所以，所以.故答案为：9．（2021·河南高一期中（文））已知向量，满足，那么___________.【答案】【解析】由可得，即可求出，从而可求出.【详解】解：因为，所以，又，所以，整理得，则，故答案为:.10．（2021·江苏高一单元测试）如图，在△ABC中，D为BC的四等分点，且靠近点B，E，F分别为AC，AD的三等分点，且分别靠近A，D两点，设 （1）试用a，b表示（2）证明：B，E，F三点共线．【答案】（1）＝b－a，＝a＋b，＝－a＋b；（2）证明见解析.【解析】（1）将向量a,b作为基底表示向量，要在封闭图形中去找；（2）运用向量共线定理，再强调有一个公共点即可证明.【详解】(1)由题意，得＝b－a，＝a＋(b－a)＝a＋b，＝－a＋b.(2)因为＝－a＋b，＝－a＋(a＋b)＝－a＋b＝a+b，所以，所以与共线．又与有公共点B，所以B，E，F三点共线．