备考2024届高考数学一轮复习好题精练第五章数列突破2数列中的构造问题2

突破2数列中的构造问题1.数列{an}满足a1＝1，an－an＋1＝anan+1n（n+1）（n∈N*），则nan的最小值是（　C　）A.0B.12C.1D.2解析　由an－an＋1＝anan+1n（n+1）（n∈N*），易知an≠0，两边同时除以anan＋1，得1an+1－1an＝1n（n+1）＝1n－1n+1，所以当n≥2时，1an＝（1an－1an－1）＋（1an－1－1an－2）＋…＋（1a2－1a1）＋1a1＝（1n－1－1n）＋（1n－2－1n－1）＋…＋（12－13）＋（1－12）＋1＝2－1n，当n＝1时，a1＝1，满足上式，故nan＝n22n－1＝1－（1n－1）2+1，所以当n＝1时，nan取得最小值1.故选C.2.[多选/2023云南玉溪一中7月模拟]已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝an1+3an（n∈N*），则（　BCD　）A.{1an}为等比数列B.an＝13n－2C.{an}为递减数列D.{1an}的前n项和Tn＝3n2－n2解析　因为1an+1＝1+3anan＝1an＋3，所以{1an}是以1为首项，3为公差的等差数列，故选项A错误；因为1an＝1＋3（n－1）＝3n－2，所以an＝13n－2，故选项B正确；因为函数y＝3x－2在[1，＋∞）上单调递增，且3x－2＞0，所以函数y＝13x－2在[1，＋∞）上单调递减，所以数列{an}为递减数列，故选项C正确；{1an}的前n项和Tn＝n（3n－1）2＝3n2－n2，故选项D正确.故选BCD.3.[2024河南焦作统考]已知数列{an}满足an＋1＝3an＋2，a3＋a2＝22，则满足an＞160的最小正整数n＝　5　.解析　由a3=3a2+2，a3＋a2=22，解得a2=5，a3=17，又a2＝3a1＋2，所以a1＝1.又由an＋1＝3an＋2，可得an＋1＋1＝3（an＋1），所以{an＋1}是首项为a1＋1＝2，公比为3的等比数列，所以an＝2×3n－1－1，易知{an}是递增数列，又a4＝2×27－1＝53，a5＝2×81－1＝161，所以满足an＞160的最小正整数n＝5. 4.[2023合肥六中三模]已知在数列{an}中，a1＝5，a2＝2，an＝2an－1＋3an－2（n≥3），则数列{an}的通项公式为　an＝74×3n－1＋134×（－1）n－1　.解析　∵an＝2an－1＋3an－2（n≥3），∴an＋an－1＝3（an－1＋an－2）（n≥3），又a1＋a2＝7，∴{an＋1＋an}是首项为7，公比为3的等比数列，则an＋1＋an＝7×3n－1①，又an－3an－1＝－（an－1－3an－2）（n≥3），a2－3a1＝－13，∴{an＋1－3an}是首项为－13，公比为－1的等比数列，则an＋1－3an＝（－13）×（－1）n－1　②，由①－②得，4an＝7×3n－1＋13×（－1）n－1，∴an＝74×3n－1＋134×（－1）n－1.5.[2023厦门双十中学三模改编]已知数列{an}满足a1＝1，an+12＝10an（an＞0），则{an}的通项公式为　an＝10×（110）（12）n－1　.解析　已知an+12＝10an，等式两边取以10为底的对数可得2lgan＋1＝lgan＋1，即lgan＋1－1＝12（lgan－1），所以数列{lgan－1}是以lga1－1＝－1为首项，12为公比的等比数列，所以lgan－1＝（－1）×（12）n－1＝－（12）n－1，即lgan＝1－（12）n－1，即an＝10×（110）（12）n－1.6.[2023山东威海三模]已知数列{an}中，a1＝56，an＋1＝13an＋（12）n＋1，则{an}的通项公式为　an＝32n－23n　.解析　解法一（待定系数法）　令an＋1＋λ（12）n＋1＝13[an＋λ（12）n]，即an＋1＝13an－λ3（12）n＋1，由对应项系数相等得λ＝－3，设bn＝an－3×（12）n，则b1＝a1－3×（12）1＝－23，bn＋1＝13bn，则数列{bn}是以－23为首项，13为公比的等比数列，则bn＝－23×（13）n－1，所以an＝32n－23n.解法二（变形转化＋待定系数法）　将an＋1＝13an＋（12）n＋1两边同时乘以2n＋1，得2n＋1an＋1＝23×（2nan）＋1.令cn＝2nan，则cn＋1＝23cn＋1，可得cn＋1－3＝23（cn－3），所以数列{cn－3}是首项为c1－3＝2×56－3＝－43，公比为23的等比数列，所以cn－3＝－43×（23）n－1，即cn＝3－2×（23）n，所以an＝cn2n＝32n－23n. 解法三（累加法）　将an＋1＝13an＋（12）n＋1两边同时除以（13）n＋1，得3n＋1an＋1＝3nan＋（32）n＋1.令tn＝3nan，则tn＋1＝tn＋（32）n＋1，所以当n≥2时，tn－tn－1＝（32）n，…，t3－t2＝（32）3，t2－t1＝（32）2.将以上各式相加，得tn－t1＝（32）2＋（32）3＋…＋（32）n（n≥2）.又t1＝3a1＝3×56＝52＝1＋32，所以tn＝1＋32＋（32）2＋…＋（32）n＝2×（32）n＋1－2（n≥2），当n＝1时也符合上式，故tn＝2×（32）n＋1－2，所以an＝tn3n＝32n－23n.7.[2024名师原创]设数列{an}的前n项和为Sn，满足2Sn＝an＋1－2n＋1＋1（n∈N*），且a1，a2＋5，a3成等差数列.（1）求a1的值；（2）求数列{an}的通项公式.解析　（1）2Sn＝an＋1－2n＋1＋1，令n＝2得2S2＝a3－23＋1，即2a1＋2a2＝a3－7　①.因为a1，a2＋5，a3成等差数列，所以2（a2＋5）＝a1＋a3，即a3＝2（a2＋5）－a1　②，将②代入①可得2a1＋2a2＝2（a2＋5）－a1－7，解得a1＝1，故a1的值为1.（2）因为2Sn＝an＋1－2n＋1＋1，当n≥2时，2Sn－1＝an－2n＋1，两式作差可得an＋1＝3an＋2n，所以an＋1＋2n＋1＝3（an＋2n），n≥2，（原式难以配凑时，不妨先将原等式变形为an+12n+1＝32·an2n＋12，再令an+12n+1＋λ＝32（an2n＋λ），求得λ＝1，构造出新的等比数列再继续求解）易知a2＝5，所以an＋2n＝（a2＋22）×3n－2＝（5＋4）×3n－2＝3n，即an＝3n－2n，n≥2，将n＝1代入an＝3n－2n得a1＝31－21＝1，符合题意.故数列{an}的通项公式为an＝3n－2n.8.[2024浙江宁波模拟]已知数列{an}满足a1＝1，且对任意正整数m，n都有am＋n＝an＋am＋2mn.（1）求数列{an}的通项公式；（2）求数列{（－1）nan}的前n项和Sn.解析　（1）对任意正整数m，n都有am＋n＝an＋am＋2mn，取m＝1，得an＋1＝an＋1＋2n，所以an＋1－an＝2n＋1. 当n≥2时，an＝a1＋（a2－a1）＋（a3－a2）＋…＋（an－an－1）＝1＋3＋5＋…＋2n－1＝n（1+2n－1）2＝n2，当n＝1时，a1＝1，符合上式，所以an＝n2.（2）当n为偶数时，Sn＝（－12＋22）＋（－32＋42）＋…＋[－（n－1）2＋n2]＝3＋7＋11＋…＋（2n－1）＝n2（3+2n－1）2＝n（n+1）2＝n2＋n2；当n为奇数时，Sn＝Sn－1＋（－1）nan＝Sn－1－an＝（n－1）n2－n2＝－n2－n2.综上所述，Sn＝n2＋n2，n为偶数，－n2－n2，n为奇数.