备考2024届高考数学一轮复习好题精练第五章数列突破1数列中含绝对值及奇偶项问题

突破1数列中含绝对值及奇偶项问题1.[2024广州市培英中学校考]若等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S4043＞0，S4044＜0，对任意正整数n，都有｜an｜≥｜am｜，则m的值为（　C　）A.2020B.2021C.2022D.2023解析　依题意知S4043＝4043（a1＋a4043）2＝4043a2022＞0，所以a2022＞0，又S4044＝4044（a1＋a4044）2＜0，即a1＋a4044＜0，所以a2022＋a2023＜0，则a2023＜0，且｜a2022｜＜｜a2023｜，所以等差数列{an}是递减数列，a1＞a2＞…＞a2021＞a2022＞0＞a2023＞a2024＞…，所以对任意正整数n，都有｜an｜≥｜am｜，则m＝2022.故选C.2.[2024福建模拟]如图，九连环是中国从古至今广为流传的一种益智玩具.在某种玩法中，按一定规则移动圆环，用an表示解下n（n≤9，n∈N*）个圆环所需的最少移动次数，数列{an}满足a1＝1，且an＝2an－1，n为偶数，2an－1+1，n为奇数，则解下5个圆环所需的最少移动次数为（　C　）A.5B.10C.21D.42解析　由a1＝1，an＝2an－1，n为偶数，2an－1+1，n为奇数，得a5＝2a4＋1＝4a3＋1＝4（2a2＋1）＋1＝8a2＋5＝16a1＋5＝21.3.[多选/2024江西抚州模拟]已知数列{an}满足an＋an＋1＝2×（－1）n，n∈N*，且a5＝1，则下列表述正确的有（　BD　）A.a1＝－5B.数列{a2n－1}是等差数列C.数列{｜an｜}是等差数列D.数列{1anan+1}的前n项和为n14n－49解析　由an＋an＋1＝2×（－1）n，得an+1（－1）n+1－an（－1）n＝－2，所以数列{an（－1）n}是公差为－2的等差数列，所以an（－1）n＝a5（－1）5＋（n－5）×（－2），即an＝（2n－9）×（－1）n＋1.对于选项A，a1＝（2×1－9）×（－1）1＋1＝－7，故选项A不正确；对于选项B，因为a2n－1＝4n－11，a2n＋1－a2n－1＝4（n＋1）－11－（4n－11）＝4，故{a2n－1}是公差为4的等差数列，故选项B正确；对于选项C，｜an｜＝｜2n－9｜，则｜a3｜＝3，｜a4｜＝｜a5｜＝1，所以{｜an｜}不是等差数列，故选项C不正确； 对于选项D，1anan+1＝1[(2n－9）×（－1）n+1]×[(2n－7）×（－1）n+2]＝－12（12n－9－12n－7），所以{1anan+1}的前n项和Sn＝－12（1－7－1－5＋1－5－1－3＋…＋12n－9－12n－7）＝n14n－49，故选项D正确.故选BD.4.[多选/2024浙江模拟]已知数列{an}满足a1＝1，a2＝2，a3＝3，且对任意的正整数m，n，都有a2m＋a2n＝2am＋n＋｜m－n｜，则下列说法正确的有（　ABD　）A.a4＝5B.数列{a2n＋2－a2n}是等差数列C.a2n＝3n－1D.当n为奇数时，an＝n2+34解析　由题意知a1＝1，a2＝2，a3＝3，令m＝1，n＝2，得a2＋a4＝2a3＋1，解得a4＝5，故A正确.此时a4－a2＝3，令m＝n＋2，得a2n＋4＋a2n＝2a2n＋2＋2，从而（a2n＋4－a2n＋2）－（a2n＋2－a2n）＝2，所以数列{a2n＋2－a2n}是以3为首项，2为公差的等差数列，故B正确.所以a2n＋2－a2n＝3＋2（n－1）＝2n＋1，所以a2n－a2＝（a2n－a2n－2）＋（a2n－2－a2n－4）＋…＋（a4－a2）＝（2n－1）＋（2n－3）＋…＋3＝（n－1)(2n+2）2＝n2－1，所以a2n＝n2＋1，故C错误.令m＝n＋1，得a2n＋2＋a2n＝2a2n＋1＋1，所以a2n＋1＝a2n+2＋a2n－12＝n2＋n＋1，令k＝2n＋1，则k为奇数，则ak＝（k－12）2＋k－12＋1＝k2+34，又a1＝1适合上式，所以当n为奇数时，an＝n2+34，故D正确.故选ABD.5.[2024南京市学情调研]记Sn为数列{an}的前n项和，已知an＝2n（n+2），n为奇数，an－1，n为偶数，则S8＝　169　.解析　当n为奇数时，an＝2n（n+2）＝1n－1n+2，当n为偶数时，an＝an－1，∴S8＝2（a1＋a3＋a5＋a7）＝2（1－13＋13－15＋15－17＋17－19）＝2（1－19）＝169.6.[2024重庆八中校考]在数列{an}中，a1＝8，a4＝2，且满足an＋2－2an＋1＋an＝0（n∈N*）.（1）求数列{an}的通项公式；（2）设Tn＝｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜an｜，求T15的值.解析　（1）∵an＋2－2an＋1＋an＝0，∴an＋2－an＋1＝an＋1－an，∴数列{an}是等差数列.设{an}的公差为d，∵a1＝8，a4＝2，∴d＝a4－a14－1＝－2，∴an＝a1＋（n－1）d＝10－2n，n∈N*. （2）设数列{an}的前n项和为Sn，则由（1）可得，Sn＝8n＋n（n－1）2×（－2）＝9n－n2，n∈N*.由（1）知an＝10－2n，令an＝0，得n＝5，当n＞5时，an＜0，则T15＝｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜a15｜＝a1＋a2＋…＋a5－（a6＋a7＋…＋a15）＝S5－（S15－S5）＝2S5－S15＝2×（9×5－25）－（9×15－152）＝130.7.[2023广州市二检]设Sn是数列{an}的前n项和，已知a3＝0，an＋1＋（－1）nSn＝2n.（1）求a1，a2；（2）令bn＝an＋1＋2an，求b2＋b4＋b6＋…＋b2n.解析　（1）由an＋1＋（－1）nSn＝2n，得a2－S1＝2，a3＋S2＝4，即a2－a1＝2，a3＋a1＋a2＝4.又a3＝0，所以a1＝1，a2＝3.（2）当n＝2k（k∈N*）时，a2k＋1＋S2k＝22k　①，当n＝2k－1（k∈N*）时，a2k－S2k－1＝22k－1　②，①＋②得a2k＋1＋a2k＋S2k－S2k－1＝22k＋22k－1，得a2k＋1＋2a2k＝3×22k－1.因为bn＝an＋1＋2an，所以b2＋b4＋b6＋…＋b2n＝（a3＋2a2）＋（a5＋2a4）＋（a7＋2a6）＋…＋（a2n＋1＋2a2n）＝3×2＋3×23＋3×25＋…＋3×22n－1＝3×2×（1－4n）1－4＝22n＋1－2.