第六章　§6.4　数列中的构造问题[培优课]

成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期§6.4　数列中的构造问题数列中的构造问题是历年高考的一个热点内容，主、客观题均可出现，一般通过构造新的数列求数列的通项公式．题型一　形如an＋1＝pan＋f(n)型命题点1　an＋1＝pan＋q(p≠0,1，q≠0)例1　(1)数列{an}满足an＝4an－1＋3(n≥2)且a1＝0，则a2024等于(　　)A．22023－1B．42023－1C．22023＋1D．42023＋1答案　B解析　∵an＝4an－1＋3(n≥2)，∴an＋1＝4(an－1＋1)(n≥2)，∴{an＋1}是以1为首项，4为公比的等比数列，则an＋1＝4n－1.∴an＝4n－1－1，∴a2024＝42023－1.(2)已知数列{an}的首项a1＝1，且＝＋2，则数列{an}的通项公式为__________．答案　an＝解析　∵＝＋2，等式两边同时加1整理得＋1＝3，又∵a1＝1，∴＋1＝2，∴是首项为2，公比为3的等比数列．∴＋1＝2·3n－1，∴an＝.命题点2　an＋1＝pan＋qn＋c(p≠0,1，q≠0)例2　已知数列{an}满足an＋1＝2an－n＋1(n∈N*)，a1＝3，求数列{an}的通项公式．解　∵an＋1＝2an－n＋1，∴an＋1－(n＋1)＝2(an－n)，成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期∴＝2，∴数列{an－n}是以a1－1＝2为首项，2为公比的等比数列，∴an－n＝2·2n－1＝2n，∴an＝2n＋n.命题点3　an＋1＝pan＋qn(p≠0,1，q≠0,1)例3　(1)已知数列{an}中，a1＝3，an＋1＝3an＋2·3n＋1，n∈N*.则数列{an}的通项公式为(　　)A．an＝(2n＋1)·3nB．an＝(n－1)·2nC．an＝(2n－1)·3nD．an＝(n＋1)·2n答案　C解析　由an＋1＝3an＋2·3n＋1得＝＋，∴－＝2，即数列是首项为1，公差为2的等差数列，∴＝2n－1，故an＝(2n－1)·3n.(2)在数列{an}中，a1＝1，且满足an＋1＝6an＋3n，则an＝________.答案　－3n－1解析　将已知an＋1＝6an＋3n的两边同乘，得＝2·＋，令bn＝，则bn＋1＝2bn＋，利用命题点1的方法知bn＝－，则an＝－3n－1.思维升华形式构造方法an＋1＝pan＋q引入参数c，构造新的等比数列{an－c}an＋1＝pan＋qn＋c引入参数x，y，构造新的等比数列{an＋xn＋y}an＋1＝pan＋qn两边同除以qn＋1，构造新的数列跟踪训练1　(1)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋2n.则数列{an}的通项公式an等于(　　)A．n·2n－1B．n·2nC．(n－1)·2nD．(n＋1)·2n答案　A解析　由an＋1＝2an＋2n得＝＋1，设bn＝，则bn＋1＝bn＋1，成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期又b1＝1，∴{bn}是首项为1，公差为1的等差数列．∴bn＝n，∴an＝n·2n－1.(2)(2023·黄山模拟)已知数列{an}满足a1＝1，(2＋an)·(1－an＋1)＝2，设的前n项和为Sn，则a2023(S2023＋2023)的值为(　　)A．22023－2B．22023－1C．2D．1答案　C解析　(2＋an)(1－an＋1)＝2，则an＋1＝，即＝＋1，得＋1＝2，故是以2为首项，2为公比的等比数列，＋1＝2n，＝2n－1，an＝，S2023＋2023＝2＋22＋…＋22023＝22024－2，∴a2023(S2023＋2023)＝2.(3)已知数列{an}满足an＋1＝2an＋n，a1＝2，则an＝________.答案　2n＋1－n－1解析　令an＋1＋x(n＋1)＋y＝2(an＋xn＋y)，即an＋1＝2an＋xn＋y－x，与原等式比较得，x＝y＝1，所以＝2，所以数列{an＋n＋1}是以a1＋1＋1＝4为首项，2为公比的等比数列，所以an＋n＋1＝4×2n－1，即an＝2n＋1－n－1.题型二　相邻项的差为特殊数列(形如an＋1＝pan＋qan－1)例4　(1)已知数列{an}满足：a1＝a2＝2，an＝3an－1＋4an－2(n≥3)，则a9＋a10等于(　　)A．47B．48C．49D．410答案　C解析　由题意得a1＋a2＝4，由an＝3an－1＋4an－2(n≥3)，得an＋an－1＝4(an－1＋an－2)，即＝4(n≥3)，所以数列{an＋an＋1}是首项为4，公比为4的等比数列，所以a9＋a10＝49.成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期(2)已知数列{an}满足a1＝1，a2＝2，且an＋1＝2an＋3an－1(n≥2，n∈N*)．则数列{an}的通项公式为an＝________.答案　解析　方法一　因为an＋1＝2an＋3an－1(n≥2，n∈N*)，设bn＝an＋1＋an，所以＝＝＝3，又因为b1＝a2＋a1＝3，所以{bn}是以首项为3，公比为3的等比数列．所以bn＝an＋1＋an＝3×3n－1＝3n，从而＋·＝，不妨令cn＝，即cn＋1＋cn＝，故cn＋1－＝－，即＝－，又因为c1－＝－＝，所以数列是首项为，公比为－的等比数列，故cn－＝×n－1＝－，从而an＝.方法二　因为方程x2＝2x＋3的两根为－1,3，可设an＝c1·(－1)n－1＋c2·3n－1，由a1＝1，a2＝2，解得c1＝，c2＝，所以an＝.思维升华　可以化为an＋1－x1an＝x2(an－x1an－1)，其中x1，x2是方程x2－px－q＝0的两个根，若1是方程的根，则直接构造数列{an－an－1}，若1不是方程的根，则需要构造两个数列，采取消元的方法求数列{an}．成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期跟踪训练2　若x＝1是函数f(x)＝an＋1x4－anx3－an＋2x＋1(n∈N*)的极值点，数列{an}满足a1＝1，a2＝3，则数列{an}的通项公式an＝________.答案　3n－1解析　f′(x)＝4an＋1x3－3anx2－an＋2，∴f′(1)＝4an＋1－3an－an＋2＝0，即an＋2－an＋1＝3(an＋1－an)，∴数列{an＋1－an}是首项为2，公比为3的等比数列，∴an＋1－an＝2×3n－1，则an＝an－an－1＋an－1－an－2＋…＋a2－a1＋a1＝2×3n－2＋…＋2×30＋1＝3n－1.题型三　倒数为特殊数列例5　(1)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝(n∈N*)，则满足an>的n的最大取值为(　　)A．7B．8C．9D．10答案　C解析　因为an＋1＝，所以＝4＋，所以－＝4，又＝1，所以数列是以1为首项，4为公差的等差数列．所以＝1＋4(n－1)＝4n－3，所以an＝，由an>，即>，即0<4n－3<37，解得<n<10，因为n为正整数，所以n的最大取值为9.(2)(多选)数列{an}满足an＋1＝(n∈N*)，a1＝1，则下列结论正确的是(　　)A.＝＋B.是等比数列C．(2n－1)an＝1D．3a5a17＝a49答案　ABC解析　由an＋1＝，可得＝＝＋2，所以－＝2，且＝1，所以数列是等差数列，且该数列的首项为1，公差为2，所以＝1＋2(n－1)＝2n－1，则(2n－1)an＝1，其中n∈N*，故C对；成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期＝22＝4，所以数列是等比数列，故B对；由等差中项的性质可得＝＋，故A对；由上可知an＝，则3a5a17＝3××＝，a49＝＝，所以3a5a17≠a49，故D错．思维升华　两边同时取倒数转化为＝·＋的形式，化归为bn＋1＝pbn＋q型，求出的表达式，再求an.跟踪训练3　已知函数f(x)＝，数列{an}满足a1＝1，an＋1＝f(an)(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为____________．答案　an＝(n∈N*)解析　由已知得，an＋1＝，∴＝＋3，即－＝3，∴数列是首项为＝1，公差为d＝3的等差数列，∴＝1＋(n－1)×3＝3n－2.故an＝(n∈N*)．课时精练1．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝2an＋1，则a4的值为(　　)A．15B．23C．32D．42答案　B解析　因为an＋1＝2an＋1，所以an＋1＋1＝2(an＋1)，所以{an＋1}是以3为首项，2为公比的等比数列，所以an＋1＝3·2n－1，所以an＝3·2n－1－1，a4＝23.2．在数列{an}中，a1＝5，且满足－2＝，则数列{an}的通项公式为(　　)成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期A．2n－3B．2n－7C．(2n－3)(2n－7)D．2n－5答案　C解析　因为－2＝，所以－＝2，又＝－1，所以数列是以－1为首项，公差为2的等差数列，所以＝－1＋2(n－1)＝2n－3，所以an＝(2n－3)(2n－7)．3．已知数列{an}满足：a1＝1，且an＋1－2an＝n－1，其中n∈N*，则数列{an}的通项公式为(　　)A．an＝2n－nB．an＝2n＋nC．an＝3n－1D．an＝3n＋1答案　A解析　由题设，an＋1＋(n＋1)＝2(an＋n)，而a1＋1＝2，∴{an＋n}是首项、公比均为2的等比数列，故an＋n＝2n，即an＝2n－n.4．已知数列{an}满足a2＝，an－an＋1＝3anan＋1，则数列的通项公式an等于(　　)A.B.C．3n－2D．3n＋2答案　A解析　∵an－an＋1＝3anan＋1，a2＝，∴a1－a2＝3a1a2，即a1－＝a1，解得a1＝1.由题意知an≠0，由an－an＋1＝3anan＋1得－＝3，又＝1，成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期∴数列是以1为首项，3为公差的等差数列，∴＝1＋3(n－1)＝3n－2，则an＝.5．在数列{an}中，若a1＝3，an＋1＝a，则an等于(　　)A．2n－1B.3n－1C．D．答案　D解析　由a1＝3，an＋1＝a知an>0，对an＋1＝a两边取以3为底的对数得，log3an＋1＝2log3an，则数列{log3an}是以log3a1＝1为首项，2为公比的等比数列，则log3an＝1·2n－1＝2n－1，即an＝.6．设数列{an}满足a1＝1，an＝－an－1＋2n(n≥2)，则数列的通项公式an等于(　　)A.·2n＋B.·2n＋·(－1)nC.＋D.＋·(－1)n答案　D解析　∵an－1＋an＝2n，两边同时除以2n得，＋·＝1.令cn＝，则cn＝－cn－1＋1.两边同时加上－得cn－＝－·.∴数列是以c1－为首项，－为公比的等比数列，∴cn－＝·n－1＝·n，∴cn＝＋·n，∴an＝2n·cn＝＋·(－1)n.成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 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