备考2024届高考数学一轮复习好题精练第五章数列突破1数列中含绝对值及奇偶项问题命题点2数列中的奇偶项问题

命题点2　数列中的奇偶项问题例2[2022天津高考]已知{an}是等差数列，其前n项和为Sn，{bn}是等比数列，a1＝b1＝a2－b2＝a3－b3＝1.（1）求{an}，{bn}的通项公式.（2）证明：（Sn＋1＋an＋1）bn＝Sn＋1·bn＋1－Sn·bn.（3）求∑2nk=1[ak＋1－（－1）kak]bk.解析　（1）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，根据a1＝b1＝a2－b2＝a3－b3＝1得1+d－q=1，1+2d－q2=1，解得d＝q＝0（舍）或d＝q＝2，所以an＝2n－1，bn＝2n－1.（2）解法一　因为Sn为数列{an}的前n项和，所以Sn＝（a1＋an）n2＝n（1+2n－1）2＝n2，则（Sn＋1＋an＋1）bn＝[（n＋1）2＋2（n＋1）－1]·2n－1＝（n2＋4n＋2）·2n－1，Sn＋1·bn＋1－Sn·bn＝（n＋1）2·2n－n2·2n－1＝2n－1·[2（n＋1）2－n2]＝2n－1·（n2＋4n＋2），所以（Sn＋1＋an＋1）bn＝Sn＋1·bn＋1－Sn·bn.解法二　因为Sn为数列{an}的前n项和，所以（Sn＋1＋an＋1）bn＝（Sn＋an＋1＋an＋1）bn＝（Sn＋2an＋1）bn，Sn＋1·bn＋1－Sn·bn＝（Sn＋an＋1）·（2bn）－Sn·bn＝bn（2Sn＋2an＋1－Sn）＝（Sn＋2an＋1）bn，所以（Sn＋1＋an＋1）bn＝Sn＋1·bn＋1－Sn·bn.（3）令cn＝[an＋1－（－1）nan]bn，当n为奇数时，cn＝（an＋1＋an）bn＝（2n＋1＋2n－1）·2n－1＝4n·2n－1＝n·2n＋1，当n为偶数时，cn＝（an＋1－an）bn＝（2n＋1－2n＋1）·2n－1＝2×2n－1＝2n，则∑k=12n[ak＋1－（－1）kak]bk＝（c1＋c3＋c5＋…＋c2n－1）＋（c2＋c4＋c6＋…＋c2n），令Tn＝c1＋c3＋c5＋…＋c2n－1＝1×22＋3×24＋5×26＋…＋（2n－1）·22n，则4Tn＝1×24＋3×26＋5×28＋…＋（2n－1）·22n＋2，所以－3Tn＝22＋2（24＋26＋…＋22n）－（2n－1）·22n＋2＝4＋2×24（1－4n－1）1－4－（2n－1）·22n＋2，所以Tn＝20+（6n－5）·22n+29.令An＝c2＋c4＋c6＋…＋c2n＝22＋24＋26＋…＋22n＝4（1－4n）1－4＝22n+2－43.所以∑k=12n[ak＋1－（－1）kak]bk＝Tn＋An＝20+（6n－5）·22n+29＋22n+2－43＝8+（3n－1）·22n+39.方法技巧解答与奇偶项有关的求和问题的关键 （1）弄清n为奇数或偶数时数列的通项公式.（2）弄清n为奇数时数列前n项中奇数项与偶数项的个数.训练2[2023南京六校联考]已知数列{an}满足a1＝1，a2＝3，数列{bn}为等比数列，且满足bn（an＋1－an）＝bn＋1.（1）求数列{an}的通项公式；（2）已知数列{bn}的前n项和为Sn，若，记数列{cn}满足cn＝an，n为奇数，bn，n为偶数，求数列{cn}的前2n项和T 2n.在①2S2＝S3－2，②b2，2a3，b4成等差数列，③S6＝126这三个条件中任选一个，补充在第（2）问中，并对其求解.解析　（1）因为bn（an+1－an）＝bn+1，a1＝1，a2＝3，所以令n＝1，得2b1＝b2，又数列{bn}为等比数列，所以bn+1＝2bn，即数列{bn}的公比为2.则an+1－an＝2，所以数列{an}是以1为首项，2为公差的等差数列，所以an＝2n－1.（2）由（1）知数列{bn}是公比为2的等比数列.若选①，由2S2＝S3－2得2（b1＋2b1）＝b1＋2b1＋4b1－2，所以b1＝2，则bn＝2n.若选②，由b2，2a3，b4成等差数列得b2＋b4＝4a3，即2b1＋8b1＝20，所以b1＝2，则bn＝2n.若选③，由S6＝126得b1（1－26）1－2＝126，所以b1＝2，则bn＝2n.所以cn＝2n－1，n为奇数，2n，n为偶数.所以数列{cn}的奇数项是以1为首项，4为公差的等差数列，偶数项是以4为首项，4为公比的等比数列.所以T2n＝（a1＋a3＋…＋a2n－1）＋（b2＋b4＋…＋b2n）＝n＋n（n－1）2×4＋4（1－4n）1－4＝2n2－n＋4（4n－1）3.