备考2024届高考数学一轮复习好题精练第五章数列突破3数列中的创新型问题2

突破3数列中的创新型问题1.[2023武汉市5月模拟]将1，2，…，n按照某种顺序排成一列得到数列{an}，对任意1≤i＜j≤n，如果ai＞aj，那么称数对（ai，aj）构成数列{an}的一个逆序对.若n＝4，则恰有2个逆序对的数列{an}的个数为（　B　）A.4B.5C.6D.7解析　由题知数列{an}中的项都是正整数，当n＝4时，1≤i＜j≤4，将1，2，3，4按照某种顺序排成一列，则用列举法列出所有恰有2个逆序对的数列的组合为{1，4，2，3}，{1，3，4，2}，{2，1，4，3}，{2，3，1，4}，{3，1，2，4}，共5个，故选B.2.[2024湖南名校联考]南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中提出了高阶等差数列的问题，即一个数列{an}本身不是等差数列，但从数列{an}中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列{bn}（称数列{an}为一阶等差数列），或者{bn}仍旧不是等差数列，但从数列{bn}中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列{cn}（称数列{an}为二阶等差数列）……以此类推，得到高阶等差数列.类比高阶等差数列的定义，我们亦可定义高阶等比数列，设数列{an}：1，1，3，27，729，…是一阶等比数列，则∑n=110log3an的值为（参考公式：12＋22＋…＋n2＝n6（n＋1）（2n＋1））（　B　）A.60B.120C.240D.480解析　由题意知，数列{an}为一阶等比数列.设bn＝an+1an，则{bn}为等比数列，其中b1＝1，b2＝3，公比为q＝b2b1＝3，所以bn＝3n－1.故an＝bn－1bn－2…b1·a1＝31＋2＋3＋…＋（n－2）＝3（n－1)(n－2）2，n≥2，a1＝1，也适合上式，所以log3an＝log33（n－1)(n－2）2＝（n－1)(n－2）2＝12（n2－3n＋2）.所以∑n=110log3an＝log3a1＋log3a2＋log3a3＋…＋log3a10＝12×[（12＋22＋…＋102）－3×（1＋2＋…＋10）＋2×10]＝12×[（16×10×11×21）－3×（1+10）×102＋2×10]＝120.故选B.3.[2023昆明市模拟]Farey序列是指把在0到1之间的所有分母不超过n（n∈N*）的最简分数及0（视为01）和1（视为11）按从小到大的顺序排列起来所形成的数列，记作F－n，例如F－4就是01，14，13，12，23，34，11.则F－7的项数为　19　.解析　F－7中分子为1的有17，16，15，14，13，12；分子为2的有27，25，23；分子为3的有37，35，34；分子为4的有47，45；分子为5的有57，56；分子为6的有67；再加上01和11两项，共有19项.4.对于数列{an}，使数列{an}的前k项和为正整数的k的值叫做“幸福数”.已知an＝log4n+1n，则数列{an}在区间[1，2025]内的所有“幸福数”的个数为　5　. 解析　an＝log4n+1n＝log4（n＋1）－log4n，设数列{an}的前n项和为Sn，则Sn＝log42－log41＋log43－log42＋…＋log4（n＋1）－log4n＝log4（n＋1）.根据题意得Sk为正整数，设Sk＝m（m∈N*），则log4（k＋1）＝m，所以k＋1＝4m，令1≤k≤2025，则1≤4m－1≤2025，故m可取1，2，3，4，5，共5个数，所以所求“幸福数”有5个，故答案为5.5.我国古人将一年分为二十四个节气，如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，冬至的晷长最长，夏至的晷长最短，周而复始.已知冬至的晷长为13.5尺，芒种的晷长为2.5尺，则一年中夏至到大雪的晷长的和为　84　尺.解析　依题意，冬至的晷长为13.5尺，记为a1＝13.5，芒种的晷长为2.5尺，记为a12＝2.5，因为相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，所以从冬至到芒种的晷长可构成等差数列{an}，n∈N*，n≤12，则数列{an}的公差d＝a12－a112－1＝2.5－13.512－1＝－1.因为夏至与芒种相邻，且夏至的晷长最短，所以夏至的晷长为a12＋d＝1.5（尺），又大雪与冬至相邻，且冬至的晷长最长，所以大雪的晷长为a1＋d＝12.5（尺）.显然夏至到大雪的晷长可构成一个递增的等差数列，其首项为1.5，末项为12.5，共12项，所以一年中夏至到大雪的晷长的和为1.5+12.52×12＝84（尺）.6.某项测试有10道必答题，甲和乙参加该测试，分别用数列{an}和{bn}记录他们的成绩.若第k题甲答对，则ak＝k，若第k题甲答错，则ak＝－k；若第k题乙答对，则bk＝2k－1，若第k题乙答错，则bk＝－2k－1.已知b1＋b2＋…＋b10＝767，a1b1＋a2b2＋…＋a10b10＝9217，则a1＋a2＋…＋a10＝　39　.解析　由题意可知｜ak｜＝k，｜bk｜＝2k－1，记T＝∑i=110｜ai｜｜bi｜＝1×20＋2×21＋…＋10×29，则2T＝1×21＋2×22＋…＋10×210，两式相减得T＝－（20＋21＋…＋29）＋10×210＝－1－2101－2＋10×210＝1＋9×210＝9217，所以∑i=110｜ai｜｜bi｜＝∑i=110aibi，该式表明对于10道题中的每一道题，甲和乙同时答对或者同时答错.由题意可知，乙的成绩为∑i=110bi ＝767，若乙10道题全部答对，则其获得的总成绩应为20＋21＋22＋…＋29＝1－2101－2＝1023，令1023－7672＝2m－1，解得m＝8，所以乙除第8题答错外，其余题均答对，所以甲除第8题答错外，其余题均答对，所以∑i=110ai＝1＋2＋3＋4＋5＋6＋7－8＋9＋10＝39.7.[2023上海华东师范大学第二附属中学期末改编]某工厂在2023年上半年施行“减员增效”措施，对部分人员实行分流，规定分流人员第一年可以到原单位领取工资的100％，从第二年起，以后每年只能在原单位按上一年工资的23领取工资.该厂根据分流人员的技术特长，计划创办新的经济实体，该经济实体预计第一年属投资阶段，第二年每人可在工资的基础上额外获得b元收入，从第三年起每人每年的额外收入可在上一年的基础上增加50％.假设某人分流前工资收入为每年a元，分流后进入新经济实体，第n年的年收入为an元.（1）求{an}的通项公式.（2）当b＝8a27时，这个人哪一年的年收入最少？最少为多少元？（3）当b≥3a8时，是否能保证这个人分流一年后的年收入永远超过分流前的年收入？解析　（1）由题意得，当n＝1时，a1＝a，当n≥2时，an＝（23）n－1a＋（32）n－2b.所以an＝a，n=1，（23）n－1a＋（32）n－2b，n≥2.（2）b＝8a27，当n≥2时，an＝（23）n－1a＋8a27（32）n－2≥2（23）n－1a×8a27（32）n－2＝8a9，当且仅当（23）n－1a＝8a27（32）n－2时，上式的等号成立，即（23）2n－3＝（23）3，解得n＝3，此时an＝a3＝8a9.又a1＝a＞8a9，所以这个人分流后第三年的年收入最少，最少为8a9元.（3）当n≥2时，an＝（23）n－1a＋（32）n－2b≥（23）n－1a＋3a8（32）n－2≥2（23）n－1a×3a8（32）n－2＝a，当且仅当b＝3a8且n＝log2313时，上式等号成立，又n≥2且n∈N*，因此等号不能取到，所以当n≥2时，an＞a.故当b≥3a8时，能保证这个人分流一年后的年收入永远超过分流前的年收入.