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2023高考数学统考一轮复习第8章平面解析几何命题探秘2第2课时圆锥曲线中的范围最值问题教师用书教案理新人教版202303081251
2023高考数学统考一轮复习第8章平面解析几何命题探秘2第2课时圆锥曲线中的范围最值问题教师用书教案理新人教版202303081251
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第2课时 圆锥曲线中的范围、最值问题技法阐释圆锥曲线中的范围、最值问题的求解常用的三种方法(1)函数法:用其他变量表示该参数,建立函数关系,利用求函数的单调性求解.(2)不等式法:根据题意建立含参数的不等式,通过解不等式求参数范围.(3)判别式法:建立关于某变量的一元二次方程,利用判别式Δ求参数的范围.高考示例思维过程(2019·全国卷Ⅱ)已知点A(-2,0),B(2,0),动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为-.记M的轨迹为曲线C.(1)求C的方程,并说明C是什么曲线;(2)过坐标原点的直线交C于P,Q两点,点P在第一象限,PE⊥x轴,垂足为E,连接QE并延长交C于点G.①证明:△PQG是直角三角形;②求△PQG面积的最大值.\n技法一 判别式法求范围[典例1] 已知椭圆的一个顶点A(0,-1),焦点在x轴上,离心率为.(1)求椭圆的标准方程;(2)设直线y=kx+m(k≠0)与椭圆交于不同的两点M,N.当|AM|=|AN|时,求m的取值范围.[思维流程] \n[解] (1)设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0),联立解得故椭圆的标准方程为+y2=1.(2)设P(x0,y0)为弦MN的中点,M(x1,y1),N(x2,y2).联立得(4k2+1)x2+8kmx+4(m2-1)=0.则x1+x2=,x1x2=.Δ=(8km)2-16(4k2+1)(m2-1)>0,所以m2<1+4k2.①所以x0==-,y0=kx0+m=.所以kAP==-.又|AM|=|AN|,所以AP⊥MN,则-=-,即3m=4k2+1.②把②代入①得m2<3m,解得0<m<3.由②得k2=>0,解得m>.综上可知,m的取值范围为.点评:本例在求解中巧用|AM|=|AN|得出AP⊥MN,从而建立m与k的等量关系,回代由判别式Δ>0得出的m与k的不等关系,进而得出参数m的取值范围.技法二 利用函数性质法求最值(范围)[典例2] 已知直线l:x-y+1=0与焦点为F的抛物线C:y2=2px(p>0)相切.(1)求抛物线C的方程;(2)过焦点F的直线m与抛物线C分别相交于A,B两点,求A,B两点到直线l的距离之和的最小值.[思维流程] [解] (1)∵直线l:x-y+1=0与抛物线C:y2=2px(p>0)相切,\n联立消去x得y2-2py+2p=0,从而Δ=4p2-8p=0,解得p=2或p=0(舍).∴抛物线C的方程为y2=4x.(2)由于直线m的斜率不为0,可设直线m的方程为ty=x-1,A(x1,y1),B(x2,y2).联立消去x得y2-4ty-4=0,∵Δ>0,∴y1+y2=4t,即x1+x2=4t2+2,∴线段AB的中点M的坐标为(2t2+1,2t).设点A到直线l的距离为dA,点B到直线l的距离为dB,点M到直线l的距离为d,则dA+dB=2d=2·=2|t2-t+1|=2,∴当t=时,A,B两点到直线l的距离之和最小,最小值为.点评:本例的求解有两大亮点,一是直线m的设法:ty=x-1,避免了讨论斜率不存在的情形;另一个是将dA+dB的最值问题巧妙的转化为AB的中点M到直线l的最值问题,在转化中抛物线的定义及梯形中位线的性质起了关键性作用.技法三 利用不等式法求最值(范围)[典例3] 已知点A(0,-2),椭圆E:+=1(a>b>0)的离心率为,F是椭圆E的右焦点,直线AF的斜率为,O为坐标原点.(1)求E的方程;(2)设过点A的动直线l与E相交于P,Q两点,当△OPQ的面积最大时,求l的方程.[思维流程] [解] (1)设F(c,0),由条件知,=,得c=.又=,所以a=2,b2=a2-c2=1.故E的方程为+y2=1.(2)当l⊥x轴时,不合题意,故设l:y=kx-2,P(x1,y1),Q(x2,y2).\n将y=kx-2代入+y2=1,得(1+4k2)x2-16kx+12=0.当Δ=16(4k2-3)>0,即k2>时,x1,2=.从而|PQ|=|x1-x2|=.又点O到直线PQ的距离d=.所以△OPQ的面积S△OPQ=·d·|PQ|=.设=t,则t>0,S△OPQ==≤1.当且仅当t=2,即k=±时等号成立,且满足Δ>0.所以当△OPQ的面积最大时,l的方程为2y±x+4=0.点评:基本不等式求最值的五种典型情况分析(1)s=(先换元,注意“元”的范围,再利用基本不等式).(2)s=≥(基本不等式).(3)s=(基本不等式).(4)s==(先分离参数,再利用基本不等式).(5)s==(上下同时除以k2,令t=k+换元,再利用基本不等式).
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高考 - 一轮复习
发布时间:2022-08-25 17:31:06
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文章作者:U-336598
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