2023高考数学统考一轮复习第8章平面解析几何第2节两条直线的位置关系教师用书教案理新人教版202303081242
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两条直线的位置关系[考试要求] 1.能根据两条直线的斜率判断这两条直线平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两平行直线间的距离.1.两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行①对于两条不重合的直线l1,l2,若其斜率分别为k1,k2,则有l1∥l2⇔k1=k2.②当直线l1,l2不重合且斜率都不存在时,l1∥l2.(2)两条直线垂直①如果两条直线l1,l2的斜率存在,设为k1,k2,则有l1⊥l2⇔k1·k2=-1.②当其中一条直线的斜率不存在,而另一条直线的斜率为0时,l1⊥l2.2.两条直线的交点的求法直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0(A1,B1,C1,A2,B2,C2为常数),则l1与l2的交点坐标就是方程组的解.3.三种距离公式(1)平面上的两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离公式|P1P2|=.特别地,原点O(0,0)与任一点P(x,y)的距离|OP|=.(2)点P(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离d=.(3)两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0间的距离d=.直线系方程的常见类型(1)过定点P(x0,y0)的直线系方程是:y-y0=k(x-x0)(k是参数,直线系中未包括直线x=x0),也就是平常所提到的直线的点斜式方程;(2)平行于已知直线Ax+By+C=0的直线系方程是:Ax+By+λ=0(λ是参数且λ≠C);(3)垂直于已知直线Ax+By+C=0的直线系方程是:Bx-Ay+λ=0(λ是参数);(4)过两条已知直线l1:A1x+B1y+C1=0和l2:A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程是:\nA1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ∈R,但不包括l2).一、易错易误辨析(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)当直线l1和l2斜率都存在时,一定有k1=k2⇒l1∥l2.( )(2)如果两条直线l1与l2垂直,那么它们的斜率之积一定等于-1.( )(3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解,则两直线相交.( )(4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.( )[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√二、教材习题衍生1.已知点(a,2)(a>0)到直线l:x-y+3=0的距离为1,则a等于( )A.B.2-C.-1D.+1C [由题意得=1,即|a+1|=,又a>0,∴a=-1.]2.已知P(-2,m),Q(m,4),且直线PQ垂直于直线x+y+1=0,则m=.1 [由题意知=1,所以m-4=-2-m,所以m=1.]3.若三条直线y=2x,x+y=3,mx+2y+5=0相交于同一点,则m的值为.-9 [由得所以点(1,2)满足方程mx+2y+5=0,即m×1+2×2+5=0,所以m=-9.]4.已知直线3x+4y-3=0与直线6x+my+14=0平行,则它们之间的距离是.2 [由两直线平行可知=,即m=8.∴两直线方程分别为3x+4y-3=0和3x+4y+7=0,则它们之间的距离d==2.]考点一 两条直线的位置关系 由一般式确定两直线位置关系的方法\n直线方程l1:A1x+B1y+C1=0(A+B≠0)l2:A2x+B2y+C2=0(A+B≠0)l1与l2平行的充要条件A1B2-A2B1=0且A1C2≠A2C1l1与l2垂直的充要条件A1A2+B1B2=0l1与l2相交的充要条件A1B2≠A2B1l1与l2重合的充要条件A1B2=A2B1且A1C2=A2C11.设a∈R,则“a=1”是“直线l1:ax+2y-1=0与直线l2:x+(a+1)y+4=0平行”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件A [当a=1时,显然l1∥l2,若l1∥l2,则a(a+1)-2×1=0,所以a=1或a=-2.所以a=1是直线l1与直线l2平行的充分不必要条件.]2.若直线l1:(a-1)x+y-1=0和直线l2:3x+ay+2=0垂直,则实数a的值为( )A.B.C.D.D [由已知得3(a-1)+a=0,解得a=.]3.已知三条直线l1:2x-3y+1=0,l2:4x+3y+5=0,l3:mx-y-1=0不能构成三角形,则实数m的取值集合为( )A.B.C.D.D [∵三条直线不能构成一个三角形,∴①当l1∥l3时,m=;②当l2∥l3时,m=-;③当l1,l2,l3交于一点时,也不能构成一个三角形,由得交点为,代入mx-y-1=0,得m=-.故选D.]点评:解决两直线平行与垂直的参数问题要“前思后想”\n考点二 两条直线的交点与距离问题 1.求过两直线交点的直线方程的方法求过两直线交点的直线方程,先解方程组求出两直线的交点坐标,再结合其他条件写出直线方程,也可借助直线系方程,利用待定系数法求出直线方程,这样能简化解题过程.2.点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件(1)求点到直线的距离时,应先化直线方程为一般式.(2)求两平行线之间的距离时,应先将方程化为一般式且x,y的系数对应相等.[典例1] (1)(2020·全国卷Ⅲ)点(0,-1)到直线y=k(x+1)距离的最大值为( )A.1B.C.D.2(2)直线l过点P(-1,2)且到点A(2,3)和点B(-4,5)的距离相等,则直线l的方程为.(3)已知两直线a1x+b1y-1=0和a2x+b2y-1=0的交点为P(2,3),则过两点Q1(a1,b1),Q2(a2,b2)的直线方程为.(1)B (2)x+3y-5=0或x=-1 (3)2x+3y-1=0[(1)法一:由点到直线的距离公式知点(0,-1)到直线y=k(x+1)的距离d====.当k=0时,d=1;当k≠0时,d==,要使d最大,需k>0且k+最小,∴当k=1时,dmax=,故选B.法二:记点A(0,-1),直线y=k(x+1)恒过点B(-1,0),当AB垂直于直线y=k(x+1)时,点A(0,-1)到直线y=k(x+1)的距离最大,且最大值为|AB|=,故选B.(2)当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y-2=k(x+1),即kx-y+k+2=0.由题意知=,即|3k-1|=|-3k-3|,∴k=-,∴直线l的方程为y-2=-(x+1),即x+3y-5=0.\n当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=-1,也符合题意.(3)∵P(2,3)在已知的两条直线上,∴∴点Q1(a1,b1),Q2(a2,b2)是直线2x+3y=1上的两个点,故过Q1,Q2两点的直线方程为2x+3y=1.]点评:本例(3)在求解中巧妙应用了两点确定一条直线的原理,学习中应反思这个解题要点.1.若P,Q分别为直线3x+4y-12=0与6x+8y+5=0上任意一点,则|PQ|的最小值为( )A.B.C.D.C [因为=≠-,所以两直线平行,将直线3x+4y-12=0化为6x+8y-24=0,由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离,即=,所以|PQ|的最小值为.]2.经过两条直线l1:x+y-4=0和l2:x-y+2=0的交点,且与直线2x-y-1=0垂直的直线方程为.x+2y-7=0 [由得∴l1与l2的交点坐标为(1,3).设与直线2x-y-1=0垂直的直线方程为x+2y+C=0,则1+2×3+C=0,∴C=-7.∴所求直线方程为x+2y-7=0.]考点三 对称问题 对称问题的求解方法(1)点关于点:点P(x,y)关于点Q(a,b)的对称点P′(x′,y′)满足(2)线关于点:直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决.(3)点关于线:点A(a,b)关于直线Ax+By+C=0(B≠0)的对称点A′(m,n),则有(4)线关于线:直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决. 中心对称问题[典例2-1] 过点P(0,1)作直线l,使它被直线l1:2x+y-8=0和l2:x-3y+10=0截得的线段被点P平分,则直线l的方程为.x+4y-4=0 [设l1与l的交点为A(a,8-2a),则由题意知,点A关于点P的对称点B(-\na,2a-6)在l2上,代入l2的方程得-a-3(2a-6)+10=0,解得a=4,即点A(4,0)在直线l上,所以直线l的方程为x+4y-4=0.]点评:点关于点的对称问题常常转化为中心对称问题,利用中点坐标公式求解. 轴对称问题[典例2-2] (1)已知直线y=2x是△ABC中角C的平分线所在的直线,若点A,B的坐标分别是(-4,2),(3,1),则点C的坐标为( )A.(-2,4)B.(-2,-4)C.(2,4)D.(2,-4)(2)已知入射光线经过点M(-3,4),被直线l:x-y+3=0反射,反射光线经过点N(2,6),则反射光线所在直线的方程为.(1)C (2)6x-y-6=0 [(1)设A(-4,2)关于直线y=2x的对称点为A′(x,y),则解得∴A′(4,-2),由题意知,A′在直线BC上,∴BC所在直线方程为y-1=(x-3),即3x+y-10=0.联立解得则C(2,4).(2)设点M(-3,4)关于直线l:x-y+3=0的对称点为M′(a,b),则反射光线所在直线过点M′,所以解得a=1,b=0.即M′(1,0).又反射光线经过点N(2,6),所以所求直线的方程为=,即6x-y-6=0.]点评:在求对称点时,关键是抓住两点:一是两对称点的连线与对称轴垂直;二是两对称点的中心在对称轴上,即抓住“垂直平分”,由“垂直”列出一个方程,由“平分”列出一个方程,联立求解.1.如图,已知A(4,0),B(0,4),从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上,最后经直线OB反射后又回到P点,则光线所经过的路程是( )A.3B.6C.2D.2C [直线AB的方程为x+y=4,点P(2,0)关于直线AB的对称点为D(4,2),关于y轴的对称点为C(-2,0),则光线经过的路程为|CD|==2.]\n2.若将一张坐标纸折叠一次,使得点(0,2)与点(4,0)重合,点(7,3)与点(m,n)重合,则m+n=. [由题意可知纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线,即直线y=2x-3,它也是点(7,3)与点(m,n)连线的中垂线,于是解得故m+n=.]
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