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2023高考数学一轮复习第9章解析几何第9节第2课时最值范围证明问题课时跟踪检测理含解析202302331150

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第九章 解析几何第九节 直线与圆锥曲线的综合问题第二课时 最值、范围、证明问题A级·基础过关|固根基|1.(2019年全国卷Ⅱ)已知F1,F2是椭圆C:+=1(a>b>0)的两个焦点,P为椭圆C上的点,O为坐标原点.(1)若△POF2为等边三角形,求椭圆C的离心率;(2)如果存在点P,使得PF1⊥PF2,且△F1PF2的面积等于16,求b的值和a的取值范围.解:(1)连接PF1.由△POF2为等边三角形可知在△F1PF2中,∠F1PF2=90°,|PF2|=c,|PF1|=c,于是2a=|PF1|+|PF2|=(+1)c,故椭圆C的离心率为e==-1.(2)由题意可知,满足条件的点P(x,y)存在当且仅当|y|·2c=16,·=-1,+=1,即由②③及a2=b2+c2得y2=.又由①知y2=,故b=4.由②③及a2=b2+c2得x2=(c2-b2),所以c2≥b2,从而a2=b2+c2≥2b2=32,故a≥4.所以当b=4,a≥4时,存在满足条件的点P.所以b=4,a的取值范围为[4,+∞).2.(2019年浙江卷)如图,已知点F(1,0)为抛物线y2=2px(p>0)的焦点.过点F的直线交抛物线于A,B两点,点C在抛物线上,使得△ABC的重心G在x轴上,直线AC交x轴于点Q,且Q在点F的右侧.记\n△AFG,△CQG的面积分别为S1,S2.(1)求p的值及抛物线的准线方程;(2)求的最小值及此时点G的坐标.解:(1)由题意得,=1,即p=2,所以抛物线的准线方程为x=-1.(2)设A(xA,yA),B(xB,yB),C(xC,yC),重心G(xG,yG).令yA=2t,t≠0,则xA=t2.由于直线AB过点F,故直线AB的方程为x=y+1,代入y2=4x,得y2-y-4=0,故2tyB=-4,即yB=-,所以B.又xG=(xA+xB+xC),yG=(yA+yB+yC)及重心G在x轴上,所以2t-+yC=0,得C,G.所以直线AC的方程为y-2t=2t(x-t2),得Q(t2-1,0).由于Q在焦点F的右侧,故t2>2,从而====2-.令m=t2-2,则m>0,=2-=2-≥2-=1+.当m=时,取得最小值1+,此时G的坐标为(2,0).\nB级·素养提升|练能力|3.如图,P是直线x=4上一动点,以P为圆心的圆Γ过定点B(1,0),直线l是圆Γ在点B处的切线,过A(-1,0)作圆Γ的两条切线分别与l交于E,F两点.(1)求证:|EA|+|EB|为定值;(2)设直线l交直线x=4于点Q,证明:|EB|·|FQ|=|BF|·|EQ|.证明:(1)设AE切圆于M,直线x=4与x轴的交点为N,则|EM|=|EB|,∴|EA|+|EB|=|AM|====4.故|EA|+|EB|为定值.(2)由(1)同理知|FA|+|FB|=4,∴E,F均在椭圆+=1上.由椭圆的对称性,不妨设直线EF的方程为x=my+1(m<0),令x=4,得yQ=,直线EF与椭圆方程联立得(3m2+4)y2+6my-9=0.设E(x1,y1),F(x2,y2),且y1>y2.则y1+y2=-,y1y2=-.过E作EE′⊥x轴于E′,过F作FF′⊥x轴于F′,则|EE′|=y1,|FF′|=-y2,设PQ交x轴于Q′,则|QQ′|=-.若|EB|·|FQ|=|BF|·|EQ|,则=.①又E,B,F,Q在同一条直线上,则=,即=;②=,即==.③\n由①②③得,=,从而有-y1·+y1y2=y2·-y1y2,∴2y1y2=(y1+y2)·.④将y1+y2=-,y1y2=-代入④,知等式成立,∴|EB|·|FQ|=|BF|·|EQ|.4.(2020届四川五校联考)已知抛物线E:y2=8x,直线l:y=kx-4.(1)若直线l与抛物线E相切,求直线l的方程;(2)设Q(4,0),直线l与抛物线E交于不同的两点A(x1,y1),B(x2,y2),若存在点C满足|+|=|-|,且线段OC与AB互相平分(O为坐标原点),求x2的取值范围.解:(1)由得,k2x2-8(k+1)x+16=0,由题意知k≠0及Δ=64(k+1)2-64k2=0,解得k=-,所以直线l的方程为y=-x-4.(2)由得k2x2-8(k+1)x+16=0,因为Δ=64(k+1)2-64k2>0,k≠0,所以k>-,且k≠0,所以x1+x2=,所以y1+y2=k(x1+x2)-8=.因为线段OC与AB互相平分,所以四边形OACB为平行四边形,所以=+=(x1+x2,y1+y2)=,即C.由|+|=|-|得,AC⊥QC,所以kAC·kQC=-1.又kQC==,kAC=kOB==k-,所以·=-1,所以=k++2.若k>0,则≥2+2=2(+1),当且仅当k=时取等号,此时0<x2≤4(-1).综上,x2的取值范围为(0,4(-1)].\n

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发布时间:2022-08-25 17:29:21 页数:5
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文章作者:U-336598

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