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2023高考数学一轮复习第9章解析几何第9节第3课时定点定值探索性问题课时跟踪检测理含解析202302331151
2023高考数学一轮复习第9章解析几何第9节第3课时定点定值探索性问题课时跟踪检测理含解析202302331151
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第九章 解析几何第九节 直线与圆锥曲线的综合问题第三课时 定点、定值、探索性问题A级·基础过关|固根基|1.(2020届大同调研)椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率e=.(1)设E是直线y=x+2与椭圆的一个交点,求|EF1|+|EF2|取最小值时椭圆的方程;(2)已知N(0,1),是否存在斜率为k的直线l与(1)中的椭圆交于不同的两点A,B,使得点N在线段AB的垂直平分线上?若存在,求出直线l在y轴上截距的取值范围;若不存在,说明理由.解:(1)∵e====,∴=,∴椭圆的方程可化为+=1,将+=1与y=x+2联立,消去y化简得4x2+12x+12-3b2=0,由Δ=144-16×(12-3b2)≥0,解得b2≥1,即b≥1,∴|EF1|+|EF2|=2a=2b≥2,当且仅当b=1时,|EF1|+|EF2|取得最小值2,∴椭圆的方程为+y2=1.(2)存在直线l.设直线l在y轴上的截距为t,则直线l的方程为y=kx+t,代入+y2=1,消去y整理得,(1+3k2)x2+6ktx+3t2-3=0,∵直线l与椭圆交于不同的两点,∴Δ1=(6kt)2-12(t2-1)(1+3k2)>0,即t2<1+3k2.设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点为Q,则x1+x2=-,x1x2=,y1+y2=k(x1+x2)+2t=,∴AB的中点Q的坐标为,,∴当k≠0时,kQN==-,化简得1+3k2=-2t,代入t2<1+3k2得,-2<t<0.又-2t=1+3k2>1,∴t<-,故-2<t<-.当k=0时,-1<t<1.综上,存在直线l,当k≠0时,直线l在y轴上截距的范围为-2,-;当k=0时,直线l在y轴上截距的范围为(-1,1).\n2.(2019届太原市一模)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1,A2,右焦点为F2(1,0),点B在椭圆C上.(1)求椭圆C的方程;(2)若直线l:y=k(x-4)(k≠0)与椭圆C由左至右依次交于M,N两点,已知直线A1M与A2N相交于点G,证明:点G在定直线上,并求出定直线的方程.解:(1)由F2(1,0),知c=1,由题意得所以a=2,b=,所以椭圆C的方程为+=1.(2)证明:因为y=k(x-4),所以直线l过定点(4,0),由椭圆的对称性知点G在直线x=x0上.当直线l过椭圆C的上顶点时,M(0,),所以直线l的斜率k=-,由得或所以N,由(1)知A1(-2,0),A2(2,0),所以直线lA1M的方程为y=(x+2),直线lA2N的方程为y=-(x-2),所以G,所以点G在直线x=1上;当直线l不过椭圆C的上顶点时,设M(x1,y1),N(x2,y2),由得(3+4k2)x2-32k2x+64k2-12=0,所以Δ=(-32k2)2-4×(3+4k2)·(64k2-12)>0,则x1+x2=,x1x2=,易得直线lA1M的方程为y=(x+2),直线lA2N的方程为y=(x-2),当x=1时,由=得2x1x2-5(x1+x2)+8=0,所以-+=0显然成立,所以点G在直线x=1上.\n综上,点G在定直线上,定直线方程为x=1.B级·素养提升|练能力|3.(2019年北京卷)已知抛物线C:x2=-2py经过点(2,-1).(1)求抛物线C的方程及其准线方程;(2)设O为原点,过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M,N,直线y=-1分别交直线OM,ON于点A和点B.求证:以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点.解:(1)由抛物线C:x2=-2py经过点(2,-1),得p=2,所以抛物线C的方程为x2=-4y,其准线方程为y=1.(2)证明:抛物线C的焦点为F(0,-1).设直线l的方程为y=kx-1(k≠0).由得,x2+4kx-4=0.设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1x2=-4.直线OM的方程为y=x.令y=-1,得点A的横坐标xA=-.同理得点B的横坐标xB=-.设点D(0,n),则=,=,·=+(n+1)2=+(n+1)2=+(n+1)2=-4+(n+1)2.令·=0,即-4+(n+1)2=0,得n=1或n=-3.综上,以AB为直径的圆经过y轴上的定点(0,1)和(0,-3).4.如图,分别过椭圆E:+=1(a>b>0)左、右焦点F1,F2的动直线l1,l2相交于P\n点,与椭圆E分别交于A,B与C,D不同四点,直线OA,OB,OC,OD的斜率k1,k2,k3,k4满足k1+k2=k3+k4.已知当l1与x轴重合时,|AB|=2,|CD|=.(1)求椭圆E的方程;(2)是否存在定点M,N,使得|PM|+|PN|为定值?若存在,求出M,N点坐标并求出此定值;若不存在,请说明理由.解:(1)当l1与x轴重合时,k1+k2=k3+k4=0,即k3=-k4,∴l2垂直于x轴,得|AB|=2a=2,|CD|==,解得a=,b=,∴椭圆E的方程为+=1.(2)存在定点M,N使得|PM|+|PN|为定值.理由:由(1)得,焦点F1,F2坐标分别为(-1,0),(1,0),当直线l1或l2的斜率不存在时,P点坐标为(-1,0)或(1,0),当直线l1,l2的斜率存在时,设斜率分别为m1,m2,设A(x1,y1),B(x2,y2),由得,(2+3m)x2+6mx+3m-6=0,∴x1+x2=-,x1x2=,∴k1+k2=+=m1=m1=-.同理,k3+k4=-.∵k1+k2=k3+k4,∴=,即(m1m2+2)(m2-m1)=0,由题意知,m1≠m2,∴m1m2+2=0.设P为(x,y),则·+2=0,即+x2=1(x≠±1),又当直线l1或l2的斜率不存在时,P点坐标为(-1,0)或(1,0)也满足此方程,∴点P(x,y)在椭圆+x2=1上,存在点M(0,-1)和点N(0,1),使得|PM|+|PN\n|为定值,定值为2.
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高考 - 一轮复习
发布时间:2022-08-25 17:29:21
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