第八章　§8.12　圆锥曲线中定点与定值问题

成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期§8.12　圆锥曲线中定点与定值问题题型一　定点问题例1　(2022·全国乙卷)已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过A(0，－2)，B两点．(1)求E的方程；(2)设过点P(1，－2)的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足＝.证明：直线HN过定点．(1)解　设椭圆E的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0且m≠n)，由椭圆E过A(0，－2)，B两点，得解得∴椭圆E的方程为＋＝1.(2)证明　当直线MN的斜率不存在时，lMN：x＝1，由得y2＝，∴y＝±.结合题意可知M，N，∴过M且平行于x轴的直线的方程为y＝－.易知点T的横坐标xT∈，直线AB的方程为y－(－2)＝×(x－0)，即y＝x－2，由得xT＝3－，∴T.∵＝，∴H，成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期lHN：y－＝(x－1)，即y＝x－2.此时直线HN过定点(0，－2)．当直线MN的斜率存在时，如图，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，lMN：y＝kx＋m(由直线MN过点P(1，－2)可得k＋m＝－2)．由得(3k2＋4)x2＋6kmx＋3m2－12＝0，Δ>0，∴x1＋x2＝－，x1x2＝.过M且平行于x轴的直线的方程为y＝y1，与直线AB的方程联立，得得xT＝，∴T.∵＝，∴H(3y1＋6－x1，y1)，lHN：y－y2＝(x－x2)，即y＝x＋y2－·x2.令x＝0，得y＝y2－＝＝.成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期∵y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋mk(x1＋x2)＋m2＝，y1＋y2＝(kx1＋m)＋(kx2＋m)＝k(x1＋x2)＋2m＝，x1y2＋x2y1＝x1(kx2＋m)＋x2(kx1＋m)＝2kx1x2＋m(x1＋x2)＝，∴－(x1y2＋x2y1)＋3y1y2＝＋＝＝，－(x1＋x2)＋6＋3(y1＋y2)＝＋6＋＝＝，∴y＝＝－2，∴直线HN过定点(0，－2)．综上，直线HN过定点(0，－2)．思维升华　求解直线或曲线过定点问题的基本思路(1)把直线或曲线方程中的变量x，y当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x，y的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点．(2)由直线方程确定其过定点时，若得到了直线方程的点斜式y－y0＝k(x－x0)，则直线必过定点(x0，y0)；若得到了直线方程的斜截式y＝kx＋m，则直线必过定点(0，m)．跟踪训练1　(2023·郑州质检)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的上顶点和两焦点构成的三角形为等腰直角三角形，且面积为2，点M为椭圆C的右顶点．(1)求椭圆C的方程；(2)若经过点P(t,0)的直线l与椭圆C交于A，B两点，实数t取何值时以AB为直径的圆恒过点M?解　(1)由题意知解得b＝c＝，又a2－b2＝c2，则a＝2，所以椭圆C的方程为＋＝1.(2)由(1)知M(2,0)，若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x＝t(－2<t<2)，成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期此时A，B，由·＝0得·＝0，解得t＝或t＝2(舍)，即t＝.若直线l的斜率存在，不妨设直线l：y＝k(x－t)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立得(1＋2k2)x2－4k2tx＋2k2t2－4＝0.所以x1＋x2＝，x1x2＝.由题意知·＝0，即(x1－2，y1)·(x2－2，y2)＝0，易得(1＋k2)x1x2－(2＋k2t)(x1＋x2)＋4＋k2t2＝0，即(1＋k2)(2k2t2－4)－(2＋k2t)·4k2t＋(4＋k2t2)(1＋2k2)＝0，整理得k2(3t2－8t＋4)＝0，因为k不恒为0，故解得t＝或t＝2(舍)，综上，当t＝时，以AB为直径的圆恒过点M.题型二　定值问题例2　(2022·蚌埠模拟)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的虚轴长为4，直线2x－y＝0为双曲线C的一条渐近线．(1)求双曲线C的标准方程；(2)记双曲线C的左、右顶点分别为A，B，过点T(2,0)的直线l交双曲线C于点M，N(点M在第一象限)，记直线MA的斜率为k1，直线NB的斜率为k2，求证：为定值．解　(1)∵虚轴长为4，∴2b＝4，即b＝2，∵直线2x－y＝0为双曲线C的一条渐近线，∴＝2，∴a＝1，故双曲线C的标准方程为x2－＝1.(2)由题意知，A(－1,0)，B(1,0)，成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期由题可知，直线l的斜率不能为零，故可设直线l的方程为x＝ny＋2，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立得(4n2－1)y2＋16ny＋12＝0，∴y1＋y2＝－，y1y2＝，∴ny1y2＝－(y1＋y2)，∵直线MA的斜率k1＝，直线NB的斜率k2＝，∴＝＝＝＝＝－，为定值．思维升华　圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略(1)求代数式为定值．依题设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式，化简即可得出定值．(2)求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得．(3)求某线段长度为定值．利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得．跟踪训练2　(2022·郑州模拟)已知点F(0,1)，直线l：y＝4，P为曲线C上的任意一点，且|PF|是P到l的距离的.(1)求曲线C的方程；(2)若经过点F且斜率为k(k≠0)的直线交曲线C于M，N两点，线段MN的垂直平分线交y轴于点H，求证：为定值．(1)解　设P(x，y)，由已知得＝|y－4|，整理得＋＝1，即为曲线C的方程．成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期(2)证明　设经过点F且斜率为k(k≠0)的直线的方程为y＝kx＋1，与曲线C的方程联立得消去y整理得(4＋3k2)x2＋6kx－9＝0，Δ＝36k2＋4×9×(4＋3k2)＝144(1＋k2)>0恒成立，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则|MN|＝|x1－x2|＝×＝，x1＋x2＝－，设线段MN的中点为T(x0，y0)，则x0＝＝－，y0＝kx0＋1＝，线段MN的垂直平分线的斜率为－，方程为y－＝－，令x＝0，解得y＝，即为点H的纵坐标，∴|FH|＝1－＝，∴＝＝，即为定值.课时精练1．已知抛物线C：x2＝2py(p>0)与圆O：x2＋y2＝12相交于A，B两点，且点A的横坐标为2.F是抛物线C的焦点，过焦点的直线l与抛物线C相交于不同的两点M，N.(1)求抛物线C的方程；(2)过点M，N作抛物线C的切线l1，l2，P(x0，y0)是l1，l2的交点，求证：点P在定直线上．(1)解　点A的横坐标为2，代入圆O得y＝2，所以A(2，2)，代入解得p＝2，所以抛物线的方程为x2＝4y.(2)证明　抛物线C：y＝，则y′＝，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期所以切线PM的方程为y－y1＝(x－x1)，即y＝x－，同理切线PN的方程为y＝x－，联立解得点P，设直线MN的方程为y＝kx＋1，代入x2＝4y，得x2－4kx－4＝0，所以x1x2＝－4，所以点P在y＝－1上，结论得证．2．已知双曲线C的渐近线方程为y＝±x，且过点P(3，)．(1)求C的方程；(2)设Q(1,0)，直线x＝t(t∈R)不经过P点且与C相交于A，B两点，若直线BQ与C交于另一点D，证明：直线AD过定点M.解　(1)因为双曲线C的渐近线方程为y＝±x，则可设双曲线的方程为－＝λ(λ≠0)，将点P(3，)代入得－＝λ，解得λ＝，所以双曲线C的方程为－y2＝1.(2)显然直线BQ的斜率不为零，设直线BQ：x＝my＋1，B(x1，y1)，D(x2，y2)，A(x1，－y1)，联立消去x，整理得(m2－3)y2＋2my－2＝0，依题意得m2－3≠0，且Δ＝4m2＋8(m2－3)>0，即m2>2且m2≠3，y1＋y2＝－，y1y2＝－，直线AD的方程为y＋y1＝(x－x1)，令y＝0，成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 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