备考2024届高考数学一轮复习好题精练第八章平面解析几何突破3圆锥曲线中的定点定值定线问题命题点2定值问题

命题点2　定值问题例2已知抛物线C：y2＝2px经过点P（1，2）.过点Q（0，1）的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N.（1）求直线l的斜率的取值范围；（2）设O为原点，QM＝λQO，QN＝μQO，求证：1λ＋1μ为定值.解析　（1）因为抛物线y2＝2px过点（1，2），所以2p＝4，即p＝2.故抛物线C的方程为y2＝4x.由题意知，直线l的斜率存在且不为0.设直线l的方程为y＝kx＋1（k≠0）.由y2=4x，y＝kx+1得k2x2＋（2k－4）x＋1＝0.依题意，得Δ＝（2k－4）2－4×k2×1＞0，解得k＜0或0＜k＜1.又PA，PB与y轴相交，故直线l不过点（1，－2）.从而k≠－3.所以直线l的斜率的取值范围是（－∞，－3）∪（－3，0）∪（0，1）.（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）.由（1）知x1＋x2＝－2k－4k2，x1x2＝1k2.直线PA的方程为y－2＝y1－2x1－1（x－1）.令x＝0，得点M的纵坐标为yM＝－y1+2x1－1＋2＝－kx1+1x1－1＋2.同理得点N的纵坐标为yN＝－kx2+1x2－1＋2.由QM＝λQO，QN＝μQO得λ＝1－yM，μ＝1－yN.所以1λ＋1μ＝11－yM＋11－yN＝x1－1（k－1）x1＋x2－1（k－1）x2＝1k－1·2x1x2－（x1＋x2）x1x2＝1k－1·2k2＋2k－4k21k2＝2.所以1λ＋1μ为定值.方法技巧圆锥曲线中定值问题的特点及两大解法1.特点：待证几何量不受动点或动线的影响而有固定的值.2.两大解法 （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关.（2）引进变量法，其解题流程为：训练2[2023武汉市四月调研]过点（4，2）的动直线l与双曲线E：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）交于M，N两点，当l与x轴平行时，｜MN｜＝42，当l与y轴平行时，｜MN｜＝43.（1）求双曲线E的标准方程；（2）点P是直线y＝x＋1上一定点，设直线PM，PN的斜率分别为k1，k2，若k1k2为定值，求点P的坐标.解析　（1）根据双曲线的对称性，可知双曲线E过点（±22，2）和点（4，±23），所以8a2－4b2=1，16a2－12b2=1，得a2=4，b2=4.故双曲线E的标准方程为x24－y24＝1.（2）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k（x－4）＋2，与双曲线方程联立得y＝k（x－4）+2，x24－y24=1，消去y，得（k2－1）x2－（8k2－4k）x＋16k2－16k＋8＝0，Δ＞0.设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1＋x2＝8k2－4kk2－1，x1x2＝16k2－16k+8k2－1.设P（t，t＋1），则k1k2＝（y1－t－1)(y2－t－1）（x1－t)(x2－t）＝（kx1－4k－t+1)(kx2－4k－t+1）（x1－t)(x2－t）＝k2x1x2－k（4k＋t－1)(x1＋x2）＋（4k＋t－1）2x1x2－t（x1＋x2）＋t2＝k2（16k2－16k+8)－k（4k＋t－1)(8k2－4k）＋（4k＋t－1）2（k2－1）16k2－16k+8－t（8k2－4k）＋t2（k2－1）＝（t2+2t－11）k2－8（t－1）k－（t－1）2（t－4）2k2+4（t－4）k－（t2－8）.当t＝4时，不满足k1k2为定值.当t≠4时，若k1k2为定值，则t2+2t－11（t－4）2＝－8（t－1）4（t－4）＝－（t－1）2－（t2－8），解得t＝3，此时k1k2＝4.（若一个分式为定值，则对应系数成比例，因为要保证分母不为0，所以要考虑t＝4和t≠4两种情况）经检验，当直线l的斜率不存在时，对P（3，4），也满足k1k2＝4.所以点P的坐标为（3，4）.