备考2024届高考数学一轮复习好题精练第八章平面解析几何突破3圆锥曲线中的定点定值定线问题命题点3定线问题

命题点3　定线问题例3[2023新高考卷Ⅱ]已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为（－25，0），离心率为5.（1）求C的方程；（2）记C的左、右顶点分别为A1，A2，过点（－4，0）的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线MA1与NA2交于点P，证明：点P在定直线上.解析　（1）设双曲线C的方程为x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0），c为双曲线C的半焦距，由题意可得c=25，ca＝5，c2＝a2＋b2，解得c=25，a=2，b=4.所以双曲线C的方程为x24－y216＝1.（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），直线MN的方程为x＝my－4，则x1＝my1－4，x2＝my2－4.由x＝my－4，x24－y216=1，得（4m2－1）y2－32my＋48＝0.因为直线MN与双曲线C的左支交于M，N两点，所以4m2－1≠0，且Δ＞0.由根与系数的关系得y1＋y2＝32m4m2－1，y1y2＝484m2－1，所以y1＋y2＝2m3y1y2.因为A1，A2分别为双曲线C的左、右顶点，所以A1（－2，0），A2（2，0）.直线MA1的方程为y1x1+2＝yx+2，直线NA2的方程为y2x2－2＝yx－2，所以y1x1+2y2x2－2＝yx+2yx－2，得（x2－2）y1（x1+2）y2＝x－2x+2，（my2－6）y1（my1－2）y2＝my1y2－6y1my1y2－2y2＝x－2x+2.因为my1y2－6y1my1y2－2y2＝my1y2－6（y1＋y2）+6y2my1y2－2y2＝my1y2－6·2m3y1y2+6y2my1y2－2y2＝－3my1y2+6y2my1y2－2y2＝－3，所以x－2x+2＝－3，解得x＝－1，所以点P在定直线x＝－1上.方法技巧 定线问题是指因图形的变化或点的移动而产生的动点在定线上的问题.这类问题的本质是求点的轨迹方程，一般先求出点的坐标，看横、纵坐标是否为定值，或者找出横、纵坐标之间的关系.训练3[2023福州市质检]已知抛物线E：y2＝2px（p＞0），过点（－2，0）的两条直线l1，l2分别交E于A，B两点和C，D两点.当l1的斜率为23时，｜AB｜＝13.（1）求E的标准方程；（2）设G为直线AD与BC的交点，证明：点G必在定直线上.解析　（1）当l1的斜率为23时，得l1的方程为y＝23（x＋2）.由y2=2px，y＝23（x+2),消元并整理得，y2－3py＋4p＝0，由弦长公式及根与系数的关系得，｜AB｜＝1+（32）2·（3p）2－16p＝13，即9p2－16p＝2，解得p＝2或p＝－29（舍去），从而E的标准方程为y2＝4x.（2）设直线AB的方程为y＝k1（x＋2），k1≠0，由y＝k1（x+2),y2=4x，消去x并整理得k1y2－4y＋8k1＝0，设A（y124，y1），B（y224，y2），则y1y2＝8.设直线CD的方程为y＝k2（x＋2），k2≠0，C（y324，y3），D（y424，y4），同理可得y3y4＝8.直线AD的方程为y－y1＝y4－y1y424－y124（x－y124），即y＝4y4＋y1x＋y1y4y4＋y1，化简得4x－（y1＋y4）y＋y1y4＝0，同理得，直线BC的方程为4x－（y2＋y3）y＋y2y3＝0.因为直线AD与BC相交，所以y2＋y3≠y1＋y4，由4x－（y1＋y4）y＋y1y4=0，4x－（y2＋y3）y＋y2y3=0，消去y，解得x＝y2y3（y1＋y4）－y1y4（y2＋y3）4[(y2＋y3）－（y1＋y4)]＝y1y2y3＋y2y3y4－y1y2y4－y1y3y44[(y2＋y3）－（y1＋y4)]＝8y3+8y2－8y4－8y14[(y2＋y3）－（y1＋y4)]＝2，所以点G的横坐标为2，即直线AD与BC的交点G在定直线x＝2上.