备考2024届高考数学一轮复习好题精练第七章立体几何与空间向量突破4立体几何中的翻折问题与探索性问题命题点2探索性问题

命题点2　探索性问题例2[2021全国卷甲]如图，已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面AA1B1B为正方形，AB＝BC＝2，E，F分别为AC和CC1的中点，D为棱A1B1上的点，BF⊥A1B1.（1）证明：BF⊥DE.（2）当B1D为何值时，平面BB1C1C与平面DFE所成的二面角的正弦值最小？解析　（1）因为F为CC1的中点，所以CF＝12CC1＝12BB1＝1，BF＝BC2＋CF2＝5.如图，连接AF，由BF⊥A1B1，AB∥A1B1，得BF⊥AB，于是AF＝BF2＋AB2＝3，所以AC＝AF2－CF2＝22.则AB2＋BC2＝AC2，所以BA⊥BC，故以B点为坐标原点，AB，BC，BB1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz，则B（0，0，0），E（1，1，0），F（0，2，1），BF＝（0，2，1）.设B1D＝m（0≤m≤2），则D（m，0，2），于是DE＝（1－m，1，－2）.所以BF·DE＝0，所以BF⊥DE.（2）易知平面BB1C1C的一个法向量为n1＝（1，0，0）.设平面DFE的法向量为n2＝（x，y，z），则DE·n2=0，EF·n2=0，又DE＝（1－m，1，－2），EF＝（－1，1，1），所以（1－m）x＋y－2z=0，－x＋y＋z=0，令x＝3，得y＝m＋1，z＝2－m，于是，平面DFE的一个法向量为n2＝（3，m＋1，2－m），所以cos＜n1，n2＞＝n1·n2｜n1||n2｜＝32（m－12）2＋272.设平面BB1C1C与平面DFE所成的二面角为θ，则sinθ＝1－cos2＜n1，n2＞，故当m＝12时，平面BB1C1C与平面DFE所成的二面角的正弦值最小，为33，即当B1D＝12时，平面BB1C1C与平面DFE所成的二面角的正弦值最小.方法技巧1.对于存在判断型问题的求解，一般先假设存在，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“方程（在规定范围内）是否有解”的问题.2.借助空间直角坐标系，引进参数，将几何问题代数化是解决探索性问题的常见方法. 训练3[多选/2023重庆名校联盟联考]在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，Q分别为AD1，B1C上的动点，且满足AP＝B1Q，则（　ACD　）A.存在PQ的某一位置，使AB∥PQB.△BPQ的面积为定值C.当PA＞0时，直线PB1与直线AQ一定异面D.无论P，Q运动到何位置，均有BC⊥PQ解析　对于A，当P，Q分别是AD1与B1C的中点时，AB∥PQ，故A正确.对于B，设正方体的棱长为2，当P在A处，Q在B1处时，△BPQ的面积为2，当P在AD1的中点，Q在B1C的中点时，△BPQ的面积为2，故B错误.对于C，当PA＞0时，设直线PB1与AQ是共面直线，则AP与B1Q共面，矛盾，所以直线PB1与直线AQ是异面直线，故C正确.对于D，当P与A重合或P与D1重合时，易证BC⊥PQ.当P不与A，D1重合时，设点P在平面ABCD内的射影为M，点Q在平面ABCD内的摄影为N，连接PM，QN，MN，PQ，由AP＝B1Q知，AM＝BN，则BC⊥MN，又QN⊥BC，MN∩QN＝N，所以BC⊥平面PMNQ，因为PQ⊂平面PMNQ，所以BC⊥PQ，故D正确.故选ACD.训练4如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA＝AD＝CD＝2，BC＝3.E为PD的中点，点F在PC上，且PFPC＝13.（1）求证：CD⊥平面PAD.（2）求二面角F－AE－P的余弦值.（3）设点G在PB上，且PGPB＝23.判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由.解析　（1）因为PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以PA⊥CD.又AD⊥CD，AD∩PA＝A，AD，PA⊂平面PAD，所以CD⊥平面PAD.（2）过点A作AD的垂线交BC于点M.因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AM，PA⊥AD.以点A为坐标原点，分别以AM，AD，AP所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（2，－1，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2）.因为E为PD的中点，所以E（0，1，1）.所以AE＝（0，1，1），PC＝（2，2，－2），AP＝（0，0，2）.所以PF＝13PC＝（23，23，－23），AF＝AP＋PF＝（23，23，43）. 设平面AEF的法向量为n＝（x，y，z），则n·AE=0，n·AF=0，即y＋z=0，23x＋23y＋43z=0，令z＝1，则y＝－1，x＝－1.于是n＝（－1，－1，1）为平面AEF的一个法向量.易得平面PAD的一个法向量为p＝（1，0，0），则cos＜n，p＞＝n·p｜n||p｜＝－33.由题知，二面角F－AE－P为锐二面角，所以其余弦值为33.（3）直线AG在平面AEF内.理由如下.因为点G在PB上，且PGPB＝23，PB＝（2，－1，－2），所以PG＝23PB＝（43，－23，－43），AG＝AP＋PG＝（43，－23，23）.由（2）知，平面AEF的一个法向量为n＝（－1，－1，1）.所以AG·n＝－43＋23＋23＝0.所以直线AG在平面AEF内.