2023-2024学年天津市津南区九年级上学期数学月考试卷及答案

2023-2024学年天津市津南区九年级上学期数学月考试卷及答案一、选择题（本大题共12小题，共36.0分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.一元二次方程的解为（　　）A.B.CD.【答案】A【解析】【分析】用直接开平方法求解即可．【详解】解：，故选：A．【点睛】本题主要是考查了用直接开平方法解一元二次方程，解题的关键是掌握平方根的定义和用直接开平方法解一元二次方程的方法和步骤．2.关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（　　）A.1B.C.1或D.【答案】B【解析】【分析】把代入原方程，再结合一元二次方程的定义可得答案．【详解】解：根据题意得：且，解得：．故选：B．【点睛】本题考查的是一元二次方程的解的含义，一元二次方程的解法，一元二次方程的定义，理解方程的解的含义是解本题的关键．3.如果x＝﹣2是一元二次方程ax2﹣8＝12﹣a的解，则a的值是（）A.﹣20B.4C.﹣3D.﹣10【答案】B【解析】【分析】将x＝﹣2代入原方程即可求出a的值． 【详解】解：将x＝﹣2代入ax2﹣8＝12﹣a，得：4a﹣8＝12﹣a，移项，得合并同类项，得系数化为1，得a＝4，故选：B．【点睛】本题主要考查一元二次方程的根，掌握一元二次方程的根的概念是解题的关键．4.下列垃圾分类标识的图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念逐项判断即可．【详解】A．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；C．是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意，故选：C．【点睛】本题考查轴对称图形、中心对称图形，理解轴对称图形和中心对称图形是解答的关键．5.函数y＝﹣+3与y＝﹣﹣2的图象的不同之处是（　　）A.对称轴B.开口方向C.顶点D.形状【答案】C【解析】【分析】根据二次函数a、b相同，可得开口方向、形状、对称轴的关系，可得答案． 【详解】解：y＝﹣+3与y＝﹣﹣2，a＝-，b＝0，对称轴都是y轴，开口方向都向上，形状相同，y＝-+3的顶点坐标是（0，3），y＝﹣﹣2的顶点坐标是（0，﹣2），即它们的顶点坐标不同．故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质：图像形状、开口方向、对称轴、顶点、增减性，注意数形结合6.已知x1、x2是关于x的方程x2﹣ax﹣2=0的两根，下列结论一定正确的是（　　）A.x1≠x2B.x1+x2＞0C.x1•x2＞0D.x1＜0，x2＜0【答案】A【解析】【分析】A、根据方程的系数结合根的判别式，可得出△＞0，由此即可得出x1≠x2，结论A正确；B、根据根与系数的关系可得出x1+x2=a，结合a的值不确定，可得出B结论不一定正确；C、根据根与系数的关系可得出x1•x2=﹣2，结论C错误；D、由x1•x2=﹣2，可得出x1＜0，x2＞0，结论D错误．综上即可得出结论．【详解】A∵△=（﹣a）2﹣4×1×（﹣2）=a2+8＞0，∴x1≠x2，结论A符合题意；B、∵x1、x2是关于x的方程x2﹣ax﹣2=0的两根，∴x1+x2=a，∵a的值不确定，∴B结论不一定正确，不符合题意；C、∵x1、x2是关于x的方程x2﹣ax﹣2=0的两根，∴x1•x2=﹣2，结论C错误，不符合题意；D、∵x1•x2=﹣2，∴x1＜0，x2＞0，结论D错误，不符合题意．故选A．【点睛】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键． 7.有一个人患流感，经过两轮传染后共有81个人患流感，每轮传染中平均一个人传染几个人？设每轮传染中平均一个人传染x个人，可到方程为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】平均一人传染了x人，根据有一人患了流感，第一轮有（x+1）人患流感，第二轮共有x+1+（x+1）x人，即81人患了流感，由此列方程求解．【详解】x+1+（x+1）x=81整理得，（1+x）2=81．故选：D．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，关键是得到两轮传染数量关系，从而可列方程求解．8.一元二次方程的根情况是（    ）A.无实数根B.有两个不相等的实数根C.有两个相等的实数根D.有一个实数根【答案】A【解析】【分析】根据一元二次方程根的判别式，进行计算，即可求解．【详解】解：∵中，∴，∴原方程无实数根故选：A．【点睛】本题考查了一元二次方程(为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．9.用公式法解方程时，、、的值分别是（    ）A.、、B.、、C.、、D.、、 【答案】D【解析】【分析】化为一元二次方程的一般形式，即可求解．【详解】解：即∴故选：D．【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键．10.如图，在6×4的方格纸中，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是（）A.点MB.格点NC.格点PD.格点Q【答案】B【解析】【分析】此题可根据旋转前后对应点到旋转中心的距离相等来判断所求的旋转中心．【详解】解：如图，连接N和两个三角形的对应点；发现两个三角形的对应点到点N的距离相等，因此格点N就是所求的旋转中心；故选：B．【点睛】本题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是确定旋转中心的关键所在．11.若是方程的两个根，则的值为()A.B.C.D. 【答案】A【解析】【分析】根据韦达定理求得，然后由变形为含有x1+x2和x1•x2的式子，并代入求值即可．【详解】∵方程的二次项系数a=2，一次项系数b=−6，常数项c=3，∴根据韦达定理，得,∴故选:A.【点睛】考查一元二次方程根与系数的关系,熟记公式是解决本题的关键.12.用配方法解一元二次方程，配方正确的是（）．A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】按照配方法的步骤进行求解即可得答案．【详解】解：，移项得，二次项系数化1的，配方得，即， 故选：A．【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤为（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）13.已知二次函数图象开口向上，则________________．【答案】【解析】【分析】由解析式是二次函数可知，m2-3m+2=2，得m=0或3，再由图像的开口向上，得m＞1，故排除m=0，得m=3.【详解】解：∵是二次函数∴m2-3m+2=2解得m=0或3∵图像的开口向上∴m-1＞0即m＞1∴m=3故答案为3.【点睛】本题考查了二次函数的性质与定义.图像开口向上时，a＞0，图像开口向下时，a＜0.14.若关于x的一元二次方程kx2+2x+1＝0有实数根，则k的取值范围是____．【答案】k≠0且k≤1【解析】【分析】根据方程根的情况可以判定其根的判别式的取值范围，进而可以得到关于k的不等式，解不等式即可，同时还应注意二次项系数不能为0．【详解】由题意可知：△＝4﹣4k≥0，∴k≤1，∵k≠0，∴k≠0且k≤1，故答案为：k≠0且k≤1；【点睛】考查了一元二次方程根的判别式，解题关键是了解根的判别式如何决定一元二次方程根的情况． 15.两年前生产某种药品的成本是元，现在生产这种药品的成本是元，设平均每年降价的百分率为，根据题意列出的方程是_____．【答案】【解析】【分析】设平均每年降价的百分率为，根据题意可得，两年前的生产成本（降价百分率）现在的生产成本，据此列方程即可．【详解】解：设平均每年降价的百分率为，由题意得，．故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解．16.二次函数的图象的顶点坐标是_____．【答案】（0，5）．【解析】【分析】由抛物线解析式可求得答案．【详解】∵，∴抛物线顶点坐标为（0，5），故答案为（0，5）．17.抛物线可由抛物线沿轴向____平移____个单位得到，它的开口向____，顶点坐标是____，对称轴是____，有最____点【答案】①.下②.③.④.⑤.轴(或)⑥.低【解析】【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可．【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为，而抛物线的顶点坐标为，∴平移方法为向下平移个单位． ∵，它的开口向上，顶点坐标为，对称轴为轴，有最低点，故答案为：上，，上，，轴，低．【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，二次函数的性质，掌握平移规律是解题的关键．18.如图，边长为4的等边三角形中，是对称轴上的一个动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到，连接，则在点运动过程中，的最小值是________．【答案】1【解析】【分析】取AC的中点G，则CG＝CD，利用SAS证明△CDE≌△CGF，得∠FGC＝∠EDC＝90°，则点F在直线BG上运动，作DH⊥BG时，此时DF的最小值即为DH，根据垂线段最短从而解决问题．【详解】解：如图，取AC的中点G，连接EG，∵将线段CE绕点C顺时针旋转60°得到CF，∴CE＝CF，∠ECF＝60°，∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，∴∠DCE+∠ECA=∠ECA+∠GCF=60°∴∠DCE＝∠GCF，∵AD为△ABC对称轴，∴CD=BD=∵G为AC的中点，∴CG=AG=，∴CD=CG，∴△CDE≌△CGF（SAS）， ∴∠FGC＝∠EDC＝90°，∴点F在直线BG上运动，作DH⊥BG时，此时DF的最小值即为DH，∵BD＝BC＝2，∴DH＝1，故答案为1.【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，确定点F的运动路径是解题的关键．三、计算题（本大题共2小题，共16.0分）19.（1）解方程：x（x﹣3）＝x﹣3；（2）用配方法解方程：x2﹣10x+6＝0【答案】（1）x＝3或x＝1；（2）x＝5【解析】【分析】（1）利用因式分解法求解可得；（2）利用配方法求解可得．【详解】解：（1）∵x（x﹣3）＝x﹣3，∴x（x﹣3）﹣（x﹣3）＝0，则（x﹣3）（x﹣1）＝0，∴x﹣3＝0或x﹣1＝0，解得x＝3或x＝1； （2）∵x2﹣10x+6＝0，∴x2﹣10x＝﹣6，则x2﹣10x+25＝﹣6+25，即（x﹣5）2＝19，∴x﹣5＝±，则x＝5．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．20.按要求解下列方程：(1)3x2＋x－5＝0；(公式法)(2)(x＋2)2－4(x－3)2＝0.(因式分解法)【答案】(1)x1＝,x2＝.(2)x1＝8,x2＝.【解析】【分析】(1)一元二次方程公式解法步骤:先将方程整理成一般形式,分别写出二次项系数,一次项系数,常数项,再计算,当时,代入公式进行求解,当时,则方程无解.(2)根据平方差公式进行因式分解,将方程等号左边化为一次式乘积形式,等号右边为0的形式,根据有理数乘法性质可得两个一元一次方程,分别解方程即可.【详解】(1)3x2＋x－5＝0,(公式法)解:因为a=3,b=1,c=-5,所以,所以x1＝,x2＝.(2)(x＋2)2－4(x－3)2＝0,,,, 所以x1＝,x2＝.【点睛】本题主要考查公式法和因式分解法解一元二次方程,解决本题的关键是要熟练掌握一元二次方程的公式和因式分解的步骤.四、解答题（本大题共6小题，共50.0分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）21.已知关于的方程．（1）求证：无论取任何实数，方程总有实数根；（2）若等腰三角形一边长为4，另两边长恰好是这个方程的两个根，求此时的值和这个等腰三角形的周长．【答案】（1）详见解析（2），周长：【解析】【分析】（1）分情况讨论：，化为一元一次方程，求解；，化为一元二次方程，运用根的判别式处理；（2）对等腰三角形分情况讨论，分别求解，运用三角形三边关系定理判断取舍．【小问1详解】解：当时，方程化为，解得：，方程有解；当时，，，，无论取任何实数，方程总有实数根；综上，无论取任何实数，方程总有实数根；【小问2详解】解：解方程得，，①当腰长为4，则∴，周长②当底边为4，则， ∴．，，不符合题意．故，周长为9【点睛】本题一元二次方程根的判别式，一元二次方程的求解；注意分情况讨论是解题的关键．22.（1）在同一直角坐标系中，画出函数，的图象．（2）观察（1）中所画的图象，回答下面的问题：①抛物线的开口向____，对称轴是____，顶点坐标是____；②抛物线的开口向____，对称轴是____，顶点坐标是____（3）请写出函数与的关系．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）将抛物线向上平移3个单位可得到抛物线的图象．【解析】【分析】（1）先列表，再描点并连线即可；（2）根据（1）中的二次函数的图象填空即可；（3）二次函数解析式在平移中的变化规律可求解．．【详解】解：（1）列表如下：01220 535再描点连线，∴，的图象如图所示：；（2）①抛物线的开口向上，对称轴是直线，顶点坐标是；②抛物线的开口向上，对称轴是直线，顶点坐标是；（3）将抛物线向上平移3个单位可得到抛物线的图象．【点睛】本题考查的是画二次函数的图象，二次函数的性质，熟练的利用五点画图的方法画二次函数的图象是解本题的关键．23.已知关于x的一元二次方程．（1）若该方程有两个实数根，求m的最小整数值；（2）若方程的两个实数根为，且，求m的值．【答案】（1）-2；（2）2【解析】【分析】（1）根据判别式即可求出m的取值范围，进而得到答案；（2）根据根与系数的关系即可求出答案． 【详解】解：（1）根据题意得，解得，∴m的最小整数值为；（2）根据题意得，∵，∴，∴，整理得，解得，∵，∴m的值为2．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，掌握相关公式是解决本题的关键．24.为积极响应新旧动能转换．提高公司经济效益．某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为30万元，经过市场调研发现，每台售价为40万元时，年销售量为600台；每台售价为45万元时，年销售量为550台．假定该设备年销售量y(单位∶台)和销售单价(单位∶万元)成一次函数关系．(1)求年销售量与销售单价的函数关系式；(2)根据相关规定，此设备的销售单价不得高于70万元，如果该公司想获得10000万元的年利润．则该设备的销售单价应是多少万元？【答案】（1）；（2）该公可若想获得10000万元的年利润，此设备的销售单价应是50万元．【解析】【分析】（1）根据点的坐标，利用待定系数法即可求出年销售量y与销售单价x的函数关系式；（2）设此设备的销售单价为x万元/台，则每台设备的利润为（x﹣30）万元，销售数量为（﹣10x+1000）台，根据总利润=单台利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其小于70的值即可得出结论．【详解】（1）设年销售量y与销售单价x的函数关系式为y=kx+b（k≠0），将（40，600）、（45，550）代入y=kx+b，得：，解得：， ∴年销售量y与销售单价x的函数关系式为y=﹣10x+1000．（2）设此设备的销售单价为x万元/台，则每台设备的利润为（x﹣30）万元，销售数量为（﹣10x+1000）台，根据题意得：（x﹣30）（﹣10x+1000）=10000，整理，得：x2﹣130x+4000=0，解得：x1=50，x2=80．∵此设备的销售单价不得高于70万元，∴x=50．答：该设备的销售单价应是50万元/台．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．25.如图，要利用一面墙（墙长为25米）建一个矩形场地，用100米的围栏围成三个大小相同的矩形，设矩形的边长AB为x米，矩形场地的总面积为y平方米.（1）请用含有x的式子表示y（不要求写出x的取值范围）；（2）当x为何值时，矩形场地的总面积为400平方米？【答案】（1）y=-4x2+100x；（2）20米.【解析】【分析】（1）设AB为x，则可以求出BC的长度，用x表示，面积=AB×BC即可求出．（2）令y=400，解方程即可求得x的值，要注意题中限制条件：墙长为25米.【详解】解：（1）设AB=x，BC=100-4x，依题意得：（2）当y=400时，解得：∵墙长为25米∴当时，BC=100-4x=80>25 不符合题意，舍去∴x=20答：（1）y与x的关系是：；（2）当x=20时，矩形场地的总面积为400平方米.【点睛】本题考查了用未知数表示已知量以及方程的运用，准确找到数量关系是解决本题的关键．26.已知关于的方程有实数根．(1)求的取值范围；(2)设方程的两根分别是、，且，试求k的值．【答案】(1)；(2).【解析】【分析】(1)根据一元二次方程有两个不相等的实数根得到，求出的取值范围即可；(2)根据根与系数的关系得出方程解答即可．【详解】(1)解：∵原方程有实数根，∴，∴，∴.(2)∵，是方程的两根，根据一元二次方程根与系数的关系，得：，，又∵，∴，∴，∴， 解之，得：，．经检验，都符合原分式方程的根，∵，∴．【点睛】本题主要考查了根的判别式以及根与系数关系的知识，解答本题的关键是根据根的判别式的意义求出k的取值范围，此题难度不大．