2021-2022学年天津市河北区九年级上学期数学月考试卷及答案

2021-2022学年天津市河北区九年级上学期数学月考试卷及答案一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.下列图形是中心对称图形的是（　　）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【详解】解：A.不是中心对称图形，故本选项不合题意；B.不是中心对称图形，故本选项不合题意；C.不是中心对称图形，故本选项不合题意；D.是中心对称图形，故本选项符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．2.下列事件中，是必然事件的是（）A掷一枚硬币，正面朝上B.购买一张彩票，一定中奖C.任意画一个三角形，它的内角和等于D.存在一个实数，它的平方是负数【答案】C【解析】【分析】必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是1的事件．根据定义即可解决．【详解】解：A．掷一枚硬币，正面朝上是随机事件；B．购买一张彩票，一定中奖是随机事件； C．任意画一个三角形，它的内角和等于180°是必然事件；D．存在一个实数，它的平方是负数是不可能事件；故选：C．【点睛】本题考查的是对必然事件的概念的理解；解决此类问题，要学会关注身边的事物，并用数学的思想和方法去分析、看待、解决问题．用到的知识点为：必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．3.下列一元二次方程没有实数根的是（　　）A.x2+2x+1=0B.x2+x+2=0C.x2﹣1=0D.x2﹣2x﹣1=0【答案】B【解析】【分析】求出每个方程的根的判别式，然后根据判别式的正负情况即可作出判断．【详解】解：A、△=22﹣4×1×1=0，方程有两个相等实数根，此选项错误；B、△=12﹣4×1×2=﹣7＜0，方程没有实数根，此选项正确；C、△=0﹣4×1×（﹣1）=4＞0，方程有两个不等的实数根，此选项错误；D、△=（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）=8＞0，方程有两个不等的实数根，此选项错误；故选：B．【点睛】本题主要考查一元二次方程根情况，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．4.抛物线y＝2(x－3)2＋4的顶点坐标是(　　)A.(3，4)B.(－3，4)C.(3，－4)D.(2，4)【答案】A【解析】【详解】根据的顶点坐标为，易得抛物线y=2（x﹣3）2+4顶点坐标是（3，4）.故选A.5.抛物线y=（x﹣2）2﹣1可以由抛物线y=x2平移而得到，下列平移正确的是（　　）A.先向左平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度B.先向左平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度C.先向右平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度 D.先向右平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度【答案】D【解析】【分析】抛物线平移问题可以以平移前后两个解析式的顶点坐标为基准研究．【详解】抛物线y=x2顶点为（0，0），抛物线y=（x﹣2）2﹣1的顶点为（2，﹣1），则抛物线y=x2向右平移2个单位，向下平移1个单位得到抛物线y=（x﹣2）2﹣1的图象．故选D．【点睛】本题考查二次函数图象平移问题，解答时最简单方法是确定平移前后的抛物线顶点，从而确定平移方向．6.如图，在RtABC中，BAC＝，将ABC绕点A顺时针旋转后得到A（点B对应点是点，点C的对应点是点），连接C．若C＝，则B的大小是（）A.32°B.64°C.77°D.87°【答案】C【解析】【详解】解：根据旋转可得：，则，则，则，则根据旋转图形的性质可得：．故选：C.7.如图，⊙O是∆ABC的外接圆，半径为，若，则的度数为（） A.30°B.25°C.15°D.10°【答案】A【解析】【分析】连接OB和OC，证明△OBC为等边三角形，得到∠BOC的度数，再利用圆周角定理得出∠A．【详解】解：连接OB和OC，∵圆O半径为2，BC=2，∴△OBC为等边三角形，∴∠BOC=60°，∴∠A=30°，故选A．【点睛】本题考查了圆周角定理和等边三角形的判定和性质，解题的关键是正确的作出辅助线．8.如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC的大小为()A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据平行四边形的性质和圆周角定理可得出答案．【详解】根据平行四边形的性质可知∠B=∠AOC，根据圆内接四边形的对角互补可知∠B+∠D=180°，根据圆周角定理可知∠D=∠AOC， 因此∠B+∠D=∠AOC+∠AOC=180°，解得：∠AOC=120°，因此∠ADC=60°．故选：C．【点睛】该题主要考查了圆周角定理及其应用问题；应牢固掌握该定理并能灵活运用．9.在等腰三角形ABC中，AC=BC=2，D是AB边上一点，以AD为直径的⊙O恰好与BC相切于点C，则BD的长为（　　）A.1B.C.2D.【答案】B【解析】【分析】连接OC，根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠B，∠A＝∠ACO，推出∠COB＝2∠B，根据切线的性质得到∠OCB＝90°，求得∠B＝30°，根据直角三角形的性质得到结论．【详解】解：如图，连接OC，∵AC＝BC，∴∠A＝∠B，∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO，∵∠COB＝∠A+∠ACO＝2∠A，∴∠COB＝2∠B，∵⊙O与BC相切于点C， ∴∠OCB＝90°，∴∠COB+∠B＝2∠B+∠B＝90°，∴∠B＝30°，∴OC＝BC＝，∴OB＝2OC＝，∴BD＝OB﹣OD＝，故选：B．【点睛】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．10.已知二次函数y＝a（x+1）（x﹣m）（a为非零常数，1＜m＜2），当x<-1时，y随x的增大而增大，则下列结论正确的是（　　）①当x＞2时，y随x的增大而减小；②若图象经过点（0，1），则﹣1＜a＜0；③若（﹣2021，y1），（2021，y2）是函数图象上的两点，则y1＜y2；④若图象上两点（，y1），（+n，y2）对一切正数n，总有y1＞y2，则1＜m≤．A①②B.①③C.①②③D.①③④【答案】D【解析】【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．【详解】解：①：∵二次函数y＝a（x+1）（x﹣m）（a为非零常数，1＜m＜2），∴x1＝﹣1，x2＝m，x1＜x2，又∵当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，∴a＜0，开口向下，∴当x＞2＞x2时，y随x的增大而减小， 故①正确；②：∵二次函数y＝a（x+1）（x﹣m）（a为非零常数，1＜m＜2），当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，∴a＜0，若图象经过点（0，1），则1＝a（0+1）（0﹣m），得1＝﹣am，∵a＜0，1＜m＜2，∴﹣1＜a＜﹣，故②错误；③：又∵对称轴为直线x＝，1＜m＜2，∴0＜＜，∴若（﹣2021，y1），（2021，y2）是函数图象上的两点，2021离对称轴近些，则y1＜y2，故③正确；④若图象上两点（，y1），（+n，y2）对一切正数n，总有y1＞y2，1＜m＜2，∴该函数与x轴的两个交点为（﹣1，0），（m，0），∴0＜≤，解得1＜m≤，故④正确；∴①③④正确；②错误．故选：D．【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．二、填空题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分．11.在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，则点的坐标为__________．【答案】【解析】【分析】利用两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（x，y），进而得出答案． 【详解】解：∵点与点关于原点对称，∴点的坐标为；故答案为：【点睛】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确掌握关于原点对称点的性质是解题关键．12.大小、形状完全相同的5张卡片，背面分别写着“我”“的”“中”“国”“梦”这5个字，从中随机抽取一张，则这张卡片背面恰好写着“中”字的概率是______．【答案】【解析】【分析】属于求简单事件的概率，所有的等可能结果，从中确定符合事件的结果，利用概率公式计算即可．【详解】解：背面分别写着“我”“的”“中”“国”“梦”这5个字，从中随机抽取一张，共有5种情况，“中”只有一种情况，随机抽取一张，背面恰好写着“中”字的概率是．故答案为：．【点睛】本题考查的是求简单事件的概率，掌握求简单事件的概率方法，从中随机抽取一张确定出出现总的可能情况，找出符合条件的情况是解答此类问题的关键．13.如图，设A(-2，y1)、B(1，y2)、C(2，y3)是抛物线y=-(x+1)2+m上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为________(用“>”连接)．【答案】y1>y2>y3【解析】【分析】根据二次函数的解析式确定其对称轴，根据三个点的横坐标到对称轴的距离，结合抛物线即可得到答案．【详解】解：由抛物线的解析式可知，其对称轴为x=-1 ∵点A和点B以及点C的横坐标分别为-2,1，2∴点C距离x=-1最远，点A距离x=-1最近又∵抛物线的开口向下∴y1＞y2＞y3，故答案为：y1＞y2＞y3.【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．14.用一个圆心角为120°，半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径是_____．【答案】2【解析】【详解】解：扇形的弧长==2πr，∴圆锥的底面半径为r=2．故答案为2．15.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（图中的），点O是这段弧的圆心，C是上一点，．垂足为D，，，则这段弯路的半径是______m．【答案】【解析】【分析】设这段弯路的半径是rm，可得由垂径定理可得：再由勾股定理建立方程，解方程可得答案．【详解】解：设这段弯路的半径是rm，，则OA=OC=rm，，∵OC⊥AB，∴，在Rt△AOD中， 由勾股定理得：，解得：，则这段弯路的半径是100m．故答案为：．【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理，熟练掌握垂径定理是关键，在圆中常利用勾股定理列方程求圆的半径，是常考知识点．16.已知：如图，半圆O的直径AB＝12cm，点C，D是这个半圆的三等分点，则弦AC，AD和围成的图形（图中阴影部分）的面积S是___.【答案】【解析】【分析】如图，连接OC、OD、CD，OC交AD于点E，由点C，D是这个半圆的三等分点可得，在同圆中，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，即可得出，再根据得，，都是等边三角形，所以，，可证，故，由扇形的面积公式计算即可．【详解】如图所示，连接OC、OD、CD，OC交AD于点E，点C，D是这个半圆的三等分点， ，，，，都是等边三角形，，，在与中，，，，．故答案为：．【点睛】本题考查了扇形面积公式的应用，证明，把求阴影部分面积转化为求扇形面积是解题的关键．17.抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其与x轴的一个交点坐标为(3，0)，对称轴为直线x＝1，则当y＜0时，x的取值范围是___．【答案】﹣1＜x＜3【解析】 【分析】根据抛物线与x轴的一个交点坐标和对称轴，由抛物线的对称性可求抛物线与x轴的另一个交点，再根据抛物线的开口方向即可求得当y＜0时的x的取值范围．【详解】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的一个交点坐标为（3，0），对称轴为直线x＝1，∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），由图象可知，当y＜0时，x的取值范围是﹣1＜x＜3．故答案为：﹣1＜x＜3．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，关键是得到抛物线与x轴的另一个交点．18.点A和B在直线y＝﹣x+6上，点A的横坐标是2，且AB=5．当线段AB绕点A顺时针旋转90°后，点B的坐标是___．【答案】或【解析】【分析】利用网格结构作出直线的图象，求出直线与坐标轴的交点坐标，再根据相似三角形对应边成比例求出点B的横坐标与纵坐标的变化值，然后分点B在点A的左边和右边两种情况分别求解即可．【详解】解：如图所示，直线y＝﹣x+6与x轴、y轴的交点分别为E(8，0)，D（0，6），根据勾股定理可得DE=10，设点B旋转以后横纵坐标的变化值分别为a，b，则有，解得a=3，b=4，由题意可得，点A的坐标为，当点B在点A左边时，即图中B2的位置，旋转以后的点B的坐标为，其横坐标为2+a=2+3=5，纵坐标为 ，所以旋转以后的坐标为当点B在点A右边时，旋转以后的点B的坐标为，其横坐标为2-a=2-3=-1，纵坐标为，所以旋转以后的坐标为故答案为：或．【点睛】本题考查了利用旋转变换作图，建立网格结构平面直角坐标系，作出图形是解题的关键．三、解答题：本大题共6个小题，共46分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19.解方程：．【答案】x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣【解析】【分析】先化二次项系数为1，然后常数项移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数2的一半的平方，然后配成完全平方，再开方求解即可．【详解】解：二次项系数化为1，得：，移项得：，左右两边同时加上一次项系数2的一半的平方，得：∴，∴，∴，．【点睛】本题考查了解一元二次方程配方法．将一元二次方程配成 的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．20.小明参加某个智力竞答节目，答对最后两道单选题就顺利通关．第一道单选题有3个选项，第二道单选题有4个选项，这两道题小明都不会，不过小明还有一个“求助”没有用（使用“求助”可以让主持人去掉其中一题的一个错误选项）．（1）如果小明第一题不使用“求助”，那么小明答对第一道题的概率是_____．（2）如果小明将“求助”留在第二题使用，请用树状图或者列表来分析小明顺利通关的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）直接利用概率公式求解；（2）画树状图得到共有9种等可能的结果数，小明顺利通关的的结果数为1，然后根据概率公式求解．【小问1详解】解：根据题意得：小明答对第一道题的概率是；【小问2详解】解：分别用A，B，C表示第一道单选题的3个选项，a，b，c表示剩下的第二道单选题的3个选项，画树状图得：共有9种等可能的结果数，小明顺利通关的的结果数为1，所以小明顺利通关的概率为．【点睛】本题考查了列表法与树状图法求概率，明确题意，准确画出树状图或列出表格是解题的关键．21.已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E，过点C作⊙O的切线，与BA的延长线交于点P，∠BPC=38°． （1）如图①，连接OD，若D为的中点，求∠ODC的大小；（2）如图②，连接BD，若DE=DB，求∠PBD的大小．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）连接，根据等弧所对的圆心角相等可得，再利用切线的性质可得，从而求得，进而求出，最后利用等腰三角形的性质进行计算即可解答；（2）连接，利用切线的性质可得，从而求得的值，进而求得的值，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得的值，最后利用等腰三角形的性质进行计算即可解答．【小问1详解】如图1，连接，图1∵D为的中点，∴，∴，∵是的切线，为切点， ∴，∴，∴，∵，∴，∴∴；【小问2详解】如图2，连接，图2∵是的切线，为切点，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴．【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的性质，直角三角形的性质等知识点，熟练掌握切线的性质、圆周角定理以及正确的画出辅助线是解答本题的关键．22. 已知某品牌床单进价为每件60元，每月的销量w（件）与售价x（元）的相关信息如下表（符合一次函数关系）：售价（元/件）100110120130…月销售量（件）200180160140…（1）销售该品牌床单每件的利润是______元（用含x的式子表示）．（2）用含x的代数式表示月销量w．（3）设销售该品牌床单的月利润为y元，那么售价为多少时，当月的利润最大，最大利润是多少？【答案】（1）（x﹣60）；（2）W=﹣2x+400；（3）售价为130元时，当月的利润最大，最大利润是9800元【解析】【分析】（1）根据利润=售价﹣进价列式即可；（2）根据月销量和售价符合一次函数关系，故利用待定系数法求解即可；（3）根据月利润=单件利润×月销量列出y与x的函数关系式，利用求二次函数求最值的方法求解即可．【详解】解：（1）由题意，每件的利润是（x﹣60）元，故答案为：（x﹣60）；（2）由题意，设w与x的关系式为w=kx+b，将x=100，w=200，x=110，w=180代入，得：，解得：，∴w=﹣2x+400；（3）由题意，y=（﹣2x+400）（x﹣60）=﹣2x2+520x﹣24000=﹣2（x﹣130）2+9800，∵﹣2＜0，∴当x=130时，y有最大值9800，答：售价为130元时，当月的利润最大，最大利润是9800元．【点睛】本题考查列代数式、待定系数法求解函数关系式、二次函数的最值，解答的关键是理解题意，正确列出函数关系式，会利用二次函数求最值的方法解决问题．23.在平面直角坐标系中，为原点，点，点，把绕点逆时针旋转得到，点A、旋转后的对应点为、，记旋转角为． （1）如图①，若，求的长；（2）如图②，若，求点的坐标；（3）如图③，P为AB上一点，且，连接、，在绕点B逆时针旋转一周的过程中，求的面积的最大值和最小值（直接写出结果可）．【答案】（1）（2）（3），【解析】 【分析】（1）连接，过点作轴，由旋转的性质可求得和AD的值，再利用勾股定理即可求解．（2）过点作于点H，连接，由旋转的性质得是等边三角形，根据等边三角形的性质即可求解．（3）设P到的距离为h，则，由题意得O是在以B为圆心的圆上运动，当时，的面积最小；时，的面积最大利用勾股定理即可求解．【小问1详解】解：连接，过点作轴，如图所示：把绕点逆时针旋转得到，且点，点，得，，∴，AD=OA-OD=4-3=1，．【小问2详解】过点作于点H，连接，如图所示： 把绕点逆时针旋转得到，且旋转角α=60°，∴是等边三角形，∴，∴，，．【小问3详解】设P到的距离为h，∴，∵△ABO绕点B逆时针旋转，∴O是在以B为圆心的圆上运动，如图所示： 当时，的面积最小；时，的面积最大；∵，，①当时，，∴，②当时，，∴，∴的面积的最大值和最小值分别为和．【点睛】本题是几何变换综合题，考查了旋转性质，勾股定理，含30°的直角三角形，圆等知识．解题的关键在于熟练掌握旋转的性质．24.如图，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A，B两点，交轴于点C，点A，B的坐标分别为（-1，0），（4，0）． （1）求抛物线的解析式；（2）点P是直线BC下方的抛物线上一动点，求△CPB的面积最大时点P的坐标；（3）若M是抛物线上一点，且∠MCB＝∠ABC，请直接写出点M的坐标．【答案】（1）（2）（3）的坐标为或【解析】【分析】（1）待定系数法求解即可；（2）待定系数法求直线的解析式，如图1，过作交于，设，则，，求解面积最大时的值，进而可得点坐标；（3）由题意知，分两种情况求解；①如图2，作，两直线平行，内错角相等，可知直线与抛物线的交点即为点，根据二次函数的对称性求解的坐标即可；②如图2，作直线使交于，可知直线与抛物线的交点即为点，根据勾股定理求出点坐标，待定系数法求的解析式，联立求交点坐标即可．【小问1详解】解：将点坐标代入抛物线解析式得 解得∴抛物线的解析式为．【小问2详解】解：当时，∴设直线的解析式为，将两点坐标代入得解得∴直线的解析式如图1，过作交于，设，则∴∴∵，∴时，面积最大 ∴．【小问3详解】解：由题意知，分两种情况求解；①如图2，作，∵∴∴直线与抛物线的交点即为点∵关于抛物线的对称轴直线对称∴；②如图2，作直线使交于∵∴直线与抛物线的交点即为点∴设，则在中，由勾股定理得，即解得∴ 设直线的解析式为，将点坐标代入得解得∴直线的解析式为∴联立解得或∴；综上所述，时，点M的坐标为或．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与面积综合，二次函数与角度综合．解题的关键在于对知识的灵活运用．