2023-2024学年天津市河西区九年级上学期数学第一次月考试卷及答案

2023-2024学年天津市河西区九年级上学期数学第一次月考试卷及答案一、选择题（每小题3分，共12小题，共36分）1.把一元二次方程化为一般形式，若二次项系数为1，则一次项系数及常数项分别为（）A.2，3B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先将变形为，再根据一次项系数及常数项的定义即可得到答案.【详解】根据题意可将方程变形为，则一次项系数为，常数项为．故选D．【点睛】本题考查二次方程，解题的关键是掌握一次项系数及常数项的定义.2.用配方法解方程．下列变形正确的是（　　）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先把常数项移到方程右侧，再把方程两边加上4，然后把方程左边写成完全平方式即可．【详解】解：∵，∴，∴，∴，故选B．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程—配方法，熟知配方法是解题的关键．3.已知关于的一元二次方程的常数项是0，则的值为（）A.1B.C.1或D.【答案】B 【解析】【分析】根据一元二次方程的定义和题意列出a满足的条件求解即可．【详解】解：由题意，，解得：，故选：B．【点睛】本题考查一元二次方程的定义和解法，掌握一元二次方程的定义与基本解法是解题关键．4.若方程x2-6x+8=0的两个根是等腰三角形的底边和腰长，则三角形的周长为（）A.6B.8C.10D.8或10【答案】C【解析】【分析】先解一元二次方程，根据题意分类讨论，即可确定三角形的周长．【详解】方程x2-6x+8=0的两个根是等腰三角形的底边和腰长，解得，当等腰三角形的腰为时，，不能构成三角形，当等腰三角形的腰为时，定三角形的周长为．故选C．【点睛】本题考查了解一元二次方程，三角形三边关系，等腰三角形的定义，分类讨论是解题的关键．5.抛物线的对称轴是（）A.y轴B.直线C.直线D.直线【答案】B【解析】【分析】由二次函数的对称轴为直线，进行求解即可．【详解】解：由题意得：，对称轴为直线；故选：B．【点睛】本题考查了求二次函数的对称轴，掌握对称轴公式是解题的关键． 6.将抛物线平移后得到抛物线，下列平移方式正确的是（）A.先向右平移个单位，再向上平移个单位B.先向左平移个单位，再向下平移个单位C.先向左平移个单位，再向上平移个单位D.先向右平移个单位，再向下平移个单位【答案】A【解析】【分析】根据函数图像的平移规律：左加右减，上加下减，进行平移判断即可．【详解】使函数平移后：，将函数先向右平移1个单位，再向上平移1个单位后为：即为：，故选：A．【点睛】题目主要考查二次函数的平移规律，掌握左加右减，上加下减是解题关键．7.顶点，且开口方向、形状与函数的图象相同的抛物线的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据顶点式解析式特点即可解答．【详解】由抛物线顶点式可知，顶点为，∵顶点为，∴抛物线为，∵该抛物线开口，形状与函数的图象相同，∴， 即抛物线解析式为，∴C选项正确，故选：C．【点睛】此题考查了抛物线的解析式—顶点式，正确理解顶点式解析式各字母的意义是解题的关键．8.如图选项中，能描述函数与y＝ax+b，（ab＜0）的图象可能是（　　）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先判断直线解析式中的符号，再判断抛物线中的符号，如果一致则符合题意，据此即可求解．【详解】A．y＝ax+b的a＜0，b＞0，的a＞0，b＞0，故选项A不符合题意；B．y＝ax+b的a＞0，b＜0，的a＞0，b＜0，故选项B符合题意；C．y＝ax+b的a＜0，b＞0，的a＜0，b＜0，故选项C不符合题意；D．y＝ax+b的a＞0，b＜0，的a＜0，b＜0，故选项D不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了二次函数的图像以及一次函数图像与系数的关系，分a＞0及a＜0两种情况寻找两函数图像是解题的关键．9.已知二次函数图象上三点，则 的大小关系为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先算出对称轴，将所有点转换在一边，结合二次函数的性质判断即可得到答案；【详解】解：由题意可得，，∴A点关于对称轴的对称点是：，∵，，∴，故选：B．【点睛】本题考查抛物线的性质，解题的关键将所有点转换在对称轴的同一侧．10.如表中列出了二次函数的一些对应值，则一元二次方程的一个近似解x的范围是（　　）　x…﹣3﹣2　﹣1　0　1　…　y…﹣11﹣5　﹣1　1　1　…A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据表格中的数据可得出“当时，；当时，”由此即可得出结论．【详解】解：当时，；当时，，∴方程的一个近似根x的范围是，故选：A．【点睛】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，熟练掌握用图象法求一元二次方程的近似根的方法是解题的关键． 11.若x1，x2（x1＜x2）是方程（x-a）（x-b）=1（a＜b）两个根，则实数x1，x2，a，b的大小关系为（　　）A.x1＜x2＜a＜bB.x1＜a＜x2＜bC.x1＜a＜b＜x2D.a＜x1＜b＜x2【答案】C【解析】【分析】因为x1和x2为方程的两根，所以满足方程（x-a）（x-b）=1，再由已知条件x1＜x2、a＜b结合图象，可得到x1，x2，a，b的大小关系．【详解】用作图法比较简单，首先作出（x﹣a）（x﹣b）=0图象，任意画一个（开口向上的，与x轴有两个交点），再向下平移一个单位，就是（x﹣a）（x﹣b）=1，这时与x轴的交点就是x1，x2，画在同一坐标系下，很容易发现：答案是：x1＜a＜b＜x2．故选C．12.如图，已知二次函数的图象与x轴交于点，对称轴为直线，与y轴的交点B在和之间（包括这两点），下列结论：（1）当时，；（2）；（3）；（4），其中正确的结论有（）个A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】【分析】根据题意和图象可以分别计算出各个小题中的结论是否成立，从而可以解答本题．【详解】解：①由抛物线的对称性可求得抛物线与轴另一个交点的坐标为，当时， 故①正确；②抛物线开口向下，故，，．，故②正确；③设抛物线的解析式为，则，令得：．抛物线与轴的交点在和之间，．解得：，故③正确；④抛物线与轴的交点在和之间，，，，故④错误．故选：C．【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系、抛物线与轴的交点，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质解答．二、填空题（每小题3分，共6小题，共18分）13.二次函数的最小值是_____．【答案】1【解析】【分析】把二次函数解析式整理成顶点式形式，然后写出最小值即可．【详解】配方得：=x+2x+1+1=(x+1)+1，当x=−1时,二次函数y=x+2x+2取得最小值为1.故答案是：1.【点睛】此题考查二次函数的最值，解题关键在于化为顶点式. 14.若函数（是常数）是二次函数，则的值是_________．【答案】－2【解析】【分析】根据二次函数的定义解答．【详解】由题意知，且，解得：，故答案为：－2．【点睛】本题考查二次函数的定义，属于基础题型．15.函数y=x2-2x-3，当-2＜x＜2时，函数值的取值范围是_________【答案】【解析】【分析】求得顶点坐标，得出最小值，然后求出x＝−2，x＝2时y的值，就可得到y的取值范围．【详解】解：二次函数，可知：抛物线开口向上，顶点为（1，-4）∴函数有最小值y＝−4，∵当时，，当时，，∴当-2＜x＜2时，y的取值范围是故答案为：．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，抛物线的对称轴、顶点坐标与抛物线解析式的关系，抛物线的顶点式：y＝a（x−h）2＋k，顶点坐标为（h，k），对称轴x＝h．16.汽车刹车后行驶的距离s（单位：m）关于行驶的时间t（单位：s）的函数解析式是s＝20t﹣5t2，汽车刹车后停下来前进的距离是_____．【答案】20m【解析】【分析】函数的对称轴为：t＝＝＝2，当t＝2时，函数的最大值，即可求解． 【详解】函数的对称轴为：t＝＝＝2，a＝﹣5＜0，函数有最大值，当t＝2时，函数的最大值为s＝20×2﹣5×22＝20，故答案为20m．【点睛】本题考查的是二次函数的应用，一定要注意审题，弄清楚题意，题目难度不大．17.二次函数y＝ax2﹣12ax+36a﹣5的图象在4＜x＜5这一段位于x轴下方，在8＜x＜9这一段位于x轴上方，则a的值为_____【答案】【解析】【分析】根据抛物线顶点式得到对称轴为直线x=6，在4<x<5这一段位于x轴的上方，利用抛物线对称性得到抛物线在7<x<8这一段位于x轴的上方，而图象在8<x<9这一段位于x轴的下方，于是可得抛物线过点（8，0），然后把（8，0）代入y=ax2-12ax+36a-5可求出a的值．【详解】∵抛物线y=ax²−12ax+36a−5的对称轴为直线x=6，而抛物线在4<x<5这一段位于x轴的下方，∴抛物线在7<x<8这一段位于x轴的下方，∵抛物线在8<x<9这一段位于x轴的上方，∴抛物线过点(8,0)，把(8,0)代入y=ax²−12ax+36a−5得64a−96a+36a−5=0，解得：a=.故答案为.【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点以及抛物线的轴对称性：求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y=0，即ax2+bx+c=0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．△=b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数：△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．18.已知二次函数为常数，当时，函数值y的最小值为，则m的值是_________.【答案】或 【解析】【分析】将二次函数配方成顶点式，分m<−1、m>2和−1⩽m⩽2三种情况，根据y的最小值为−2，结合二次函数的性质求解可得．详解】解：，故该抛物线的对称轴为直线x=m，且开口向上，①若m<−1，当x=−1时，y=1+2m=−2，解得：；②若m>2，当x=2时，y=4−4m=−2，解得(舍)；③若−1⩽m⩽2，当x=m时，，解得：或(舍)，∴m的值为或，故答案为：或．【点睛】本题主要考查二次函数的最值，根据二次函数的增减性分类讨论是解题的关键．三、解答题（共7小题，共66分）19.解下列一元二次方程（1）（2）【答案】（1），；（2），【解析】【分析】（1）用配方法求解即可；（2）用因式分解法求解即可．【小问1详解】解：，， ∴∴，∴，；【小问2详解】解：，，∴或，∴，．【点睛】本题考查了解一元二次方程，能够根据方程特点灵活选用不同的解法是解题的关键．20.已知关于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1=0有两个实数根x1，x2．（1）求实数k的取值范围；（2）若x1，x2满足x12+x22=16+x1x2，求实数k的值．【答案】(1)k≤;(2)-2.【解析】【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=﹣4k+5≥0，解之即可得出实数k的取值范围；（2）由根与系数的关系可得x1+x2=1﹣2k、x1x2=k2﹣1，将其代入x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=16+x1x2中，解之即可得出k的值．【详解】（1）∵关于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1=0有两个实数根x1，x2，∴△=（2k﹣1）2﹣4（k2﹣1）=﹣4k+5≥0，解得：k≤，∴实数k的取值范围为k≤．（2）∵关于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1=0有两个实数根x1，x2，∴x1+x2=1﹣2k，x1x2=k2﹣1．∵x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=16+x1x2，∴（1﹣2k）2﹣2×（k2﹣1）=16+（k2﹣1），即k2﹣4k﹣12=0，解得：k=﹣2或k=6（不符合题意，舍去）． ∴实数k的值为﹣2．21.抛物线的图象如图所示，根据图象填空．（1）时，y随x的增大而______；（2）方程的根是______；（3）时y的取值范围是______；（4）若方程没有实数根，k的取值范围是______．【答案】（1）减小（2），3（3）（4）【解析】【分析】（1）结合二次函数图象即可作答；（2）根据图象可知抛物线交x轴于点、点，则问题即可得解；（3）结合二次函数图象即可作答；（4）将方程变形：，根据图象可知，若，则原方程没有实数根，问题得解．【小问1详解】解：根据二次函数图象可知：时，y随x的增大而减小，故答案为：减小；【小问2详解】解：根据图象可知：抛物线交x轴于点、点， 则的根为：、，故答案为：，3；【小问3详解】解：根据图象可知：时，y＜0，最小值为，即y的取值范围为：；【小问4详解】解：将方程变形为：，根据二次函数图象可知：若，则原方程没有实数根，即此时，故答案为：．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质，注重数形结合的思想，是解答本题的关键．22.如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为．（1）求m的值及抛物线的对称轴．（2）点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当的值最小时，求点P的坐标．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）首先把点B的坐标代入抛物线，利用待定系数法即可求得m的值，继而求得抛物线的顶点坐标；（2）首先连接交抛物线对称轴l于点P，则此时的值最小，然后利用待定系数法求得直线的解析式，继而求得答案． 【小问1详解】解：把点B的坐标代入抛物线得：，解得：，∴，∴抛物线的对称轴为直线；小问2详解】解：对于，当时，，∴点，连接交抛物线对称轴l于点P，则此时的值最小，设直线的解析式为：，把点，点代入得：，解得：．∴直线BC的解析式为：，当时，，∴当的值最小时，点P的坐标为．【点睛】此题考查了二次函数的性质、待定系数法求解析式以及距离最短问题．注意找到点P的位置是解此题的关键．23.已知，y与x的部分对应值如下表： x…－2－102…y…－3－4－35…（1）求二次函数的表达式；（2）求该函数图象与x轴的交点坐标；（3）直接写出不等式的解集．【答案】（1）；（2）(－3，0)，(1，0)；（3）x＞0或x＜－2【解析】【分析】（1）根据待定系数法计算即可；（2）求出时x的值，即可得解；（3）根据表格得出时x的值，在根据二次函数的性质即可得出解集；【详解】（1）依题意有：将(－2，－3)，(－1，－4)，(0，－3)代入得：，解得：，∴二次函数的解析式为：；（2）令时，则有：，解得：，，∴该函数图象与x轴两个交点的坐标分别是(－3，0)，(1，0)；（3）由表格可知，，即的解为或0，∵，抛物线开口向上，∴不等式的解集是：x＞0或x＜－2． 【点睛】本题主要考查了利用待定系数法求二次函数解析式，抛物线于坐标轴的交点，二次函数与不等式，准确计算是解题的关键．24.直播带货新平台“西方甄选”所推销的大米成本为每袋40元，当售价为每袋80元时，每分钟可销售100袋，为了吸引更多顾客，“西方甄选”采取降价措施，据市场调查反映：销售单价每降1元，则每分钟可多销售5袋，设每袋大米的售价为x元（x为正整数），每分钟的销售量为y袋．（1）求出y与x的函数关系式；（2）设“西方甄选”每分钟获得的利润为w元，当销售单价为多少元时，每分钟获得的利润最大，最大利润是多少？【答案】（1）y与x的函数关系式为；（2）当销售单价为70元时，每分钟获得的利润最大，最大利润是4500元；【解析】【分析】（1）根据销售单价每降1元，则分钟可多销售5袋，写出与的函数关系式；（2）根据“西方甄选”每分钟获得的利润元等于每袋的利润乘以销售量，列出函数关系式，根据二次函数的性质求解即可．【小问1详解】由题意可得：，与的函数关系式为；【小问2详解】由题意，得：，，抛物线开口向下，当时，最大，最大值4500，答：当销售单价为70元时，每分钟获得的利润最大，最大利润是4500元；【点睛】本题考查了二次函数和一元二次方程在销售问题中的应用，理清题中的数量关系、熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 25.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点，与x轴交于、C两点（点B在点C的左侧），抛物线的顶点为D．（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标；（2）点P是线段上的动点．①过点P作x轴的垂线交抛物线于点E，若，求点E的坐标；②若点Q是射线上的动点，且始终满足，连接，，请求出的最小值．【答案】（1），点的坐标为（2）①；②【解析】【分析】（1）将点A和点B的坐标代入抛物线，即可得出其表达式，再将抛物线解析式改写成顶点式，即可得出顶点坐标；（2）①令，求出点C坐标，设点E坐标为，则点P坐标为，利用列出方程，求出x即可解决问题；②在x轴上取点H，使，连接，，，证明，可得，求出的最小值为的长，然后根据两点间距离公式计算即可．【小问1详解】解：将点，代入得， 解得：，∴抛物线的解析式为：，∵，∴顶点的坐标为；【小问2详解】①令，解得：或，∵抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），∴点C的坐标为，∵点E在抛物线上，设点E坐标为，则点P坐标为，∴，∵，∴，∴或，∵点是线段上的动点，∴，∴点E的坐标为；②如图，在x轴上取点H，使，连接，，， 又∵，，∴，∴，∴，∴当点Q在上时，取最小值，最小值为的长，∵，，∴的最小值为：．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象和性质，解一元二次方程，全等三角形的判定和性质，两点间距离公式等知识，作出合适的辅助线，找出取最小值时的情况是解题的关键．附加题26.已知函数，若使y＝k成立的x值恰好有三个，则k的值为_______．【答案】3【解析】【分析】首先在坐标系中画出已知函数的图象，利用数形结合的方法即可找到使y=k成立的x值恰好有三个的k值．【详解】函数的图象如图： 根据图象知道当y=3时，对应成立的x有恰好有三个，∴k=3．故答案为3．【点睛】本题主要考查了利用二次函数的图象解决交点问题，解题的关键是把解方程的问题转换为根据函数图象找交点的问题．27.对于每个非零自然数n，抛物线与x轴交于两点，以表示这两点之间的距离，则的值是_________．【答案】【解析】【分析】根据根与系数关系得到两根和与积的关系，从而得到两点间距离求解即可得到答案；【详解】解：由题意可得，，，∴，∴，故答案为：；【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系及分式的规律，解题的关键是熟练掌握，．28.已知关于x的方程的一个根大于且小于，另一个根大于2且小于3，则m的取值范围是_________． 【答案】【解析】【分析】根据抛物线与x轴交点关系，结合不等式的性质求解即可得到答案；【详解】解：由题意可得，方程的两个根满足：，，∵抛物线开口向上，∴时y随x增大而减小，时y随x增大而增大，∴，∴，故答案为：；【点睛】本题考查二次函数与一元二次方程关系，解题的关键是将根转换成函数与x轴交点问题结合函数性质列不等式．29.若关于x的二次函数的图象与端点为和的线段只有一个交点，则m的范围是________．【答案】或【解析】【分析】根据，得到线段：y随x增大而增大，找到抛物线对称轴为，结合抛物线与线段只有一个交点，分时：时，小于1，时的大于3列式求解即可得到答案，当时：时，大于1，时的小于3列式求解即可得到答案；【详解】解：∵，，∴线段：y随x增大而增大，∵，∴， ∵二次函数的图象与端点为和的线段只有一个交点，∴当时，∴，解得：，当时，解得：，故答案为：或；【点睛】本题考查二次函数与线段交点问题，解题的关键是注意分类讨论．