2022-2023学年天津市武清区九年级上学期数学第一次月考试卷及答案

2022-2023学年天津市武清区九年级上学期数学第一次月考试卷及答案一、选择题（共36分）1下列方程中，一元二次方程有（　　）①3x2+x＝20；②2x2﹣3xy+4＝0；③；④x2＝1；⑤A.2个B.3个C.4个D.5个【答案】B【解析】【分析】根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．【详解】解：①符合一元二次方程定义，正确；②方程含有两个未知数，错误；③不是整式方程，错误；④符合一元二次方程定义，正确；⑤符合一元二次方程定义，正确．故选B．【点睛】判断一个方程是否是一元二次方程时，首先判断方程是整式方程，若是整式方程，再把方程进行化简，化简后是含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，在判断时，一定要注意二次项系数不是0．2.如果（m+3）x2﹣mx+1=0是一元二次方程，则（　　）A.m≠﹣3B.m≠3C.m≠0D.m≠﹣3且m≠0【答案】A【解析】【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．【详解】解：如果（m+3）x2-mx+1=0一元二次方程，（m+3）≠0，即：m≠-3．故选A．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的一般形式中二次项系数不能为0． 3.关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0，常数项为0，则m值等于（　　）A.1B.2C.1或2D.0【答案】B【解析】【分析】由题意知，计算求出符合要求的解即可．【详解】解：由题意知解①得解②得令或解得或∴故选B．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，因式分解法解一元二次方程．解题的关键在于明确．4.武清2022年投入教育经费3300万元，预计2024年投入教育经费5600万元，若每年投入教育经费的年平均增长率为x，则根据题意下列方程正确的是（）A.3300(1+x)2=5600B.3300+3300(1+x)+1200(1+x)2=5600C.3300(1﹣x)2=5600D.3300(1+x)+3300(1+x)2=5600【答案】A【解析】【分析】根据年平均增长率为x，得到一年后变为原来的（1+x），两年后变为原来的，可得方程3300（1+x）2=5600．【详解】∵年平均增长率为x，∴两年后变为原来的， ∴可列方程3300（1+x）2=5600．故选A．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用——平均增长率问题，解决问题的关键是熟练掌握连续变化的特征，2023年投入教育经费是在2022年的基础上变化的，2024年投入教育经费是在2023年的基础上变化的．5.若将抛物线y=x2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，则所得抛物线的表达式为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先确定抛物线y=x2的顶点坐标为（0,0），把点（0,0）向右平移2个单位，再向上平移3个单位后得到的点的坐标为（2,3），然后根据顶点式写出平移后抛物线的解析式．【详解】∵函数y=x2的图象的顶点坐标为，将函数y=x2的图象向右平移2个单位，再向上平移3个单位，∴平移后，新图象的顶点坐标是．∴所得抛物线的表达式为．故选B．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．6.抛物线的顶点坐标是()A.（3，1）B.（3，﹣1）C.（﹣3，1）D.（﹣3，﹣1）【答案】A【解析】【分析】直接根据二次函数的顶点式进行解答即可．【详解】解：抛物线的解析式为：， 其顶点坐标为：．故选：A．【点睛】本题考查的是二次函数的性质，二次函数的顶点式为，此时顶点坐标是，对称轴是直线，此题考查了学生的应用能力．7.如果关于x的一元二次方程的两根分别为，，那么这个一元二次方程是()A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据根与系数的关系，直接代入计算即可．【详解】解：∵关于x的一元二次方程的两根分别为，，∴3＋1＝−p，3×1＝q，∴p＝−4，q＝3，所以这个一元二次方程是，故选：A．【点睛】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握根与系数的字母表达式，并会代入计算．8.已知函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（　　）A.a＞0，c＞0B.a＜0，c＜0C.a＜0，c＞0D.a＞0，c＜0【答案】D【解析】 【详解】∵抛物线开口向上，与y轴交于负半轴，∴a＞0，c＜0，故选D.9.三角形两边长分别是8和6，第三边长是一元二次方程一个实数根，则该三角形的面积是（）A.24B.48C.24或D.【答案】C【解析】【分析】先利用因式分解法解方程得到x1=6，x2=10，当第三边长为6时，利用等腰三角形的性质和勾股定理可计算出底边上的高=，则根据三角形面积公式可计算出此时三角形的面积；当第三边长为10时，利用勾股定理的逆定理可判断三角形为直角三角形，然后根据三角形面积公式求解．【详解】解：，，或，所以，，当第三边长为6时，三角形为等腰三角形，则底边上的高，此时三角形的面积，当第三边长为10时，∵,∴三角形为直角三角形，此时三角形的面积．故选C．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了直角三角形的判定和勾股定理的应用．10.二次函数配成顶点式正确是（），顶点坐标为（）A.；（3，﹣4）B.；（﹣3，﹣4） C.；（﹣3，5）D.；（3，14）【答案】A【解析】【分析】利用配方法把二次函数的一般式化为顶点式，即可得到抛物线的顶点坐标．【详解】解：∴顶点坐标为：故选A【点睛】本题考查是把抛物线的一般式化为顶点式，顶点坐标的确定，掌握“二次函数的顶点式”是解本题的关键．11.已知一次函数y=ax+c与二次函数y=ax2+bx+c，它们在同一坐标系内的大致图象是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】可先根据一次函数的图象判断a、c的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误．【详解】A、由一次函数y＝ax＋c图象，得a＞0，c＜0，由二次函数y＝ax2＋bx＋c图象，得a＜0，c＞0，故A错误；B、由一次函数y＝ax＋c图象，得a＞0，c＞0，由二次函数y＝ax2＋bx＋c图象，得a＞0，c＜0，故B错误；C、由一次函数y＝ax＋c图象，得a＜0，c＞0，由二次函数y＝ax2 ＋bx＋c图象，得a＜0，c＞0，故C正确；D、由一次函数y＝ax＋c图象，得a＜0，c＞0，由二次函数y＝ax2＋bx＋c图象，得a＞0，c＞0，故D错误；故选：C．【点睛】本题考查了二次函数图象，应该熟记一次函数y＝kx＋b在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．12.已知二次函数(为常数),当自变量的值满足时,与其对应的函数值的最大值为-1,则的值为()A.3或6B.1或6C.1或3D.4或6【答案】B【解析】【分析】分h＜2、2≤h≤5和h＞5三种情况考虑：当h＜2时，根据二次函数的性质可得出关于h的一元二次方程，解之即可得出结论；当2≤h≤5时，由此时函数的最大值为0与题意不符，可得出该情况不存在；当h＞5时，根据二次函数的性质可得出关于h的一元二次方程，解之即可得出结论．综上即可得出结论．【详解】解：如图，当h＜2时，有-（2-h）2=-1，解得：h1=1，h2=3（舍去）；当2≤h≤5时，y=-（x-h）2的最大值为0，不符合题意；当h＞5时，有-（5-h）2=-1，解得：h3=4（舍去），h4=6．综上所述：h的值为1或6．故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的最值以及二次函数的性质，分h＜2、2≤h≤5和h＞5三种情况求出h值是解题的关键．二、填空题（18分）13.关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______．【答案】k＜1．【解析】【分析】由方程有两个不等实数根可得出关于k的一元一次不等式，解不等式即可得出结论．【详解】∵关于x的一元二次方程x2+2x+k=0有两个不相等的实数根，∴△=，解得：，故答案为.【点睛】本题考查了根的判别式以及解一元一次不等式，解题的关键是得出关于k的一元一次不等式．熟知“在一元二次方程中，若方程有两个不相等的实数根，则△=”是解答本题的关键.14.把二次函数y=x2-2x+4化为y=a(x-h)2+k的形式为_________________.【答案】y=(x-1)2+3【解析】【分析】根据配方法，可得顶点式函数解析式．【详解】y=x2-2x+4配方，得y=x2-2x+1+3=（x-1）2+3，故答案是：y=(x-1)2+3.【点睛】考查了二次函数的三种形式，熟练掌握配方法是解题的关键．15.九年级女生进行乒乓球比赛，在女子单打中，每一个选手都和其他选手进行一场比赛，现有12名选手参加比赛，则一共要进行_________场比赛．【答案】66【解析】【分析】根据单循环比赛规则：每两人之间比赛一场首先求得每人比赛数，乘以人数后除以2即可．【详解】解：∵共有12人，每人打比赛11场，∴共比赛12×11=132场，∵是单循环， ∴共比赛×132=66场，故答案为：66．【点睛】本题考查了对单循环的了解，解题的关键是能够了解单循环的意义：单循环就是每两人之间比赛一场，难度不大．16.对于抛物线，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线x=1；③顶点坐标为（﹣1，3）；④x＞1时，y随x的增大而减小，其中正确的有_______．【答案】③【解析】【分析】根据二次函数的性质对各小题分析判断即可得解．【详解】解：抛物线中，∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，∴时，y随x的增大而增大，故③正确．①②④错误，故答案为③．【点睛】本题考查了二次函数的性质，主要利用了抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标，以及二次函数的增减性．17.已知A（﹣4，y1），B（﹣3，y2）两点都在二次函数y=﹣2（x+2）2的图象上，则y1，y2的大小关系为_____．【答案】y1＜y2．【解析】【分析】先分别计算出自变量为-4，-3时的函数值，然后比较函数值得大小．【详解】把A（-4，y1），B（-3，y2）分别代入y=-2（x+2）2得y1=-2（x+2）2=-8，y2=-2（x+2）2=-2，所以y1＜y2．故答案是：y1＜y2．【点睛】考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．18.已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+4（k﹣）＝0．若等腰三角形ABC的一边长a＝4，另两边边长b、c恰好是这个方程的两个实数根，则△ABC的周长为_____． 【答案】10【解析】【分析】分a为腰长以及底边长两种情况考虑．①等a为腰长时，将x＝4代入原方程可求出k值，将k值代入原方程解方程可得出底边长，再利用三角形的三边关系验证后可得出结论；②当a为底边长时，根据根的判别式△＝0即可求出k值，将k值代入原方程解方程可得出腰长，再利用三角形的三边关系验证后即可得出结论．综上即可得出结论．【详解】解：①当a为腰长时，将x＝4代入x2﹣（2k+1）x+4（k﹣）＝0中得：10﹣4k＝0，解得：k＝，∴原方程为x2﹣6x+8＝0，解得：x1＝4，x2＝2，∵4，4，2满足任意两边之和大于第三边，∴C＝4+4+2＝10；②当a为底边长时，方程x2﹣（2k+1）x+4（k﹣）＝0有两个相等的实数根，∴△＝[﹣（2k+1）]2﹣4×1×4（k﹣）＝4k2﹣12k+9＝0，解得：k＝．当k＝时，原方程为x2﹣4x+4＝0，解得：x＝2，∵2，2，4不满足任意两边之和大于第三边，∴a为底边长不符合题意．综上可知：△ABC的周长为10．故答案为10．【点睛】本题考查了根的判别式、三角形三边关系以及等腰三角形的性质，分a为腰长以及底边长两种情况考虑是解题的关键．三、解答题19.用适当的方法解下列方程：（1）；（2）； （3）；（4）．【答案】（1）（2）（3）（4）【解析】【分析】（1）利用直接开平方法解方程即可；（2）先把方程左边分解因式，再利用因式分解的方法解方程即可；（3）先利用提公因式的方法分解因式，再解两个一次方程即可；（4）把看成是整体因式，先分解因式，再解方程即可．【小问1详解】解：∴解得：【小问2详解】∴∴或解得：【小问3详解】∴∴ 解得：【小问4详解】，∴即解得：【点睛】本题考查是一元二次方程的解法，掌握“直接开平方法与因式分解的方法解方程”是解本题的关键．20.已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0．（1）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根；（2）若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根．【答案】（1）见解析；（2）a=，x1=﹣【解析】【分析】（1）根据根的判别式即可求解；（2）将x=1代入方程x2+ax+a﹣2=0，求出a，再利用根与系数的关系求出方程的另一根．【详解】解：（1）∵△=a2﹣4（a﹣2）=a2﹣4a+8=a2﹣4a+4+4=（a﹣2）2+4>0，∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．（2）将x=1代入方程x2+ax+a﹣2=0得1+a+a﹣2=0，解得a=；∴方程为x2+x﹣=0，即2x2+x﹣3=0，设另一根为x1，则1×x1==﹣，∴另一根x1=﹣．【点睛】此题主要考查一元二次方程根的求解，解题的关键是熟知根的判别式与根与系数的关系．21. 山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：（1）每千克核桃应降价多少元？（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？【答案】（1）4元或6元；（2）九折【解析】【分析】（1）设每千克核桃降价x元，利用销售量×每件利润=2240元列出方程求解即可；（2）为了让利于顾客因此应下降6元，求出此时的销售单价即可确定几折．【详解】解：（1）设每千克核桃应降价x元根据题意，得（60﹣x﹣40）（100+×20）=2240，化简，得x2﹣10x+24=0，解得x1=4，x2=6.答：每千克核桃应降价4元或6元.（2）由（1）可知每千克核桃可降价4元或6元.∵要尽可能让利于顾客，∴每千克核桃应降价6元此时，售价为：60﹣6=54（元），答：该店应按原售价的九折出售．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题目中的等量关系列出方程．22.如图，抛物线y＝ax2＋2x＋c经过点A(0，3)，B(－1，0)，请回答下列问题：(1)求抛物线对应的二次函数的表达式；(2)抛物线的顶点为D，对称轴与x轴交于点E，连接BD，求BD的长．【答案】(1)y＝－x2＋2x＋3；(2). 【解析】【详解】试题分析：（1）把点A、B的坐标代入解析式列方程组可求得的值，可得解析式；（2）把（1）中所求解析式配方，可得顶点D的坐标，在Rt△BDE中由勾股定理可求得BD的长.试题解析：(1)∵抛物线y＝ax2＋2x＋c经过点A(0，3)，B(－1，0)，∴解得，∴二次函数的表达式为y＝－x2＋2x＋3.(2)∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，∴D(1，4)．∴DE＝4，OE＝1.∵B(－1，0)，∴BO＝1，∴BE＝2，∴在Rt△BDE中，BD＝.23.如图，有长为24m的篱笆，现一面利用墙(墙的最大可用长度a为10m)围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为xm，面积为Sm2．(1)求S与x的函数关系式及x值的取值范围；(2)要围成面积为45m2的花圃，AB的长是多少米？【答案】（1）S=﹣3x2+24x（）；（2）AB=5m．【解析】【分析】（1）根据AB为xm，BC就为（24-3x），利用长方体的面积公式，可求出关系式．（2）将S=45m代入（1）中关系式，可求出x即AB的长．【详解】解∶（1）S=x（24﹣3x） =﹣3x2+24x又∵0＜24﹣3x≤10，∴；（2）根据题意，﹣3x2+24x=45．x2﹣8x+15=0，解得：，，又∵∴AB=5m．【点睛】本题以实际问题为载体，主要考查了二次函数的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．本题的关键是垂直于墙的有三道篱笆．24.已知：如图，抛物线与x轴、y轴分别相交于点A（﹣1，0）、B（0，3）两点，其顶点为D．（1）求这条抛物线的解析式；（2）若抛物线与x轴的另一个交点为E．求△ODE的面积；抛物线的对称轴上是否存在点P使得△PAB的周长最短．若存在请求出P点的坐标，若不存在说明理由．【答案】（1）（2），存在，P（1，2）【解析】【分析】（1）把A点和B点坐标分别代入得到关于b、c的方程组，然后解方程组即可； （2）通过解方程得到E点坐标，再把一般式配成顶点式得到D点坐标，然后根据三角形面积公式计算△ODE的面积；连接BE交直线x=1于点P，如图，利用两点之间线段最短可判断此时PA+PB的值最小，然后求出BE的解析式后易得P点坐标．【小问1详解】解：根据题意得，解得∴抛物线解析式为；【小问2详解】当y=0时，，解得，则E（3，0）；∵，则D（1，4），∴；连接BE交直线x=1于点P，如图，则PA=PE，∴PA+PB=PE+PB=BE，此时PA+PB的值最小，设BE的解析式为 ∴解得：易得直线BE的解析式为．，当x=1时，，∴P（1，2）．【点睛】本题考查了利用待定系数法求解抛物线的解析式，抛物线与x轴的交点：把求二次函数（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了最短路径问题．