天津市武清区2023-2024学年高二上学期11月期中数学试题（Word版附解析）

2023~2024学年度第一学期期中练习高二数学一、选择题：本大题共9小题，每小题4分，共36分.1.直线的倾斜角为（）A.45°B.60°C.120°D.150°【答案】B【解析】【分析】求出直线的斜率，进而得到倾斜角.【详解】的斜率为，设倾斜角为，则，故.故选：B2.已知空间向量则下列结论正确的是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用空间向量的坐标运算一一判定即可.【详解】由题意可知，，.故选：A3.圆的圆心和半径分别为（）A.，2B.，C.，2D.【答案】B【解析】【分析】将圆的一般方程转化为标准方程即可.【详解】由可得，，所以圆心为，半径为，故选:B. 4.如图，在平行六面体中，若，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据空间向量的线性运算得到，然后求即可.【详解】解：，又因，，∴，∴，，，故选：A.5.已知直线过点(2,1)，且横截距、纵截距满足，则该直线的方程为（）A.2x+y-5=0B.x+2y-4=0C.x-2y=0或x+2y-4=0D.x-2y=0或2x+y-5=0【答案】C【解析】【分析】分截距为0和截距不为0时，根据直线过点（2，1）求解.【详解】解：当截距为0时，设直线的方程为：，因为直线过点(2,1)，所以，即，则直线方程为：；当截距不为0时，设直线方程为，因为直线过点（2，1），所以，则，所以直线方程为，即，综上：直线的方程为：x-2y=0或x+2y-4=0，故选：C 6.已知向量空间，若,,共面，则实数x等于（）A.2B.C.2或D.2或0【答案】A【解析】【分析】利用向量共面定理即可.【详解】若,,共面,则，所以，解得.故选：A7.若直线l与直线x+2y=0垂直，且与圆相切，则l的方程为（）A.x+2y-8=0B.x+2y+2=0C.2x-y-1=0D.2x-y-10=0【答案】C【解析】【分析】根据已知条件，结合直线垂直的性质，设出直线l的方程，再结合相切，点到直线的距离等于圆的半径求解即可.【详解】因为直线l与直线x+2y=0垂直，所以可设直线l方程为，因为直线l与相切，则有，即或，所以直线方程为或，故选：C.8.已知两点，，直线与线段有公共点，则实数a的取值范围是（）A.B. C.D.【答案】D【解析】【分析】先求得直线恒过点.然后求出直线的斜率，结合图象，即可得出答案.【详解】直线可化为，由可得，，所以直线恒过点.，，如图可知，直线的倾斜角介于直线倾斜角与直线的倾斜角之间.所以当时，有；当时，有.又直线的斜率为，所以，或.故选：D.9.在平面直角坐标系xOy中，若圆(r>0)上存在点P，且点P关于直线对称点Q在圆上，则r的取值范围是（）A.(2，+∞)B.[2，+∞)C.(2，8)D.[2，8]【答案】D 【解析】【分析】求出圆关于对称的圆的方程，转化为此圆与有交点，再由圆心距与半径的关系列不等式组求解.【详解】圆心坐标，设关于直线的对称点为，由，可得，所以圆关于直线对称圆的方程为，则条件等价为：与有交点即可，两圆圆心为，，半径分别为，3，则圆心距，则有，由得，由得，综上：，所以r的取值范围是，故选：D.二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.10.经过两点的直线的方向向量为，则______．【答案】2【解析】【分析】方向向量与平行，由此可得．【详解】由已知，是直线的方向向量，则，故答案为：2.11.若直线是圆的一条对称轴，则实数a的值为_____________.【答案】 【解析】【分析】根据直线为圆对称轴知直线过圆心求解.【详解】圆的圆心为，由题意，直线过圆的圆心，所以，解得.故答案为：12.已知空间向量且与相互垂直，则实数λ的值为_____________.【答案】【解析】【分析】根据空间向量数量积公式表示向量垂直关系计算即可得出λ.【详解】因为与相互垂直，所以,所以.故答案为:13.已知两条平行直线则l₁与l₂间的距离为_______.【答案】【解析】【分析】根据两平行线间的距离可求解.【详解】由题意得：直线，直线可化简为：，所以两平行线间的距离为：.故答案为：.14.已知点，直线l过点，且l的一个方向向量为则点P到直线l的距离为_____. 【答案】【解析】【分析】利用空间中点到直线的距离公式计算【详解】易知，所以点P到直线l距离为.故答案为：15.已知直线与交于A，B两点，写出满足的面积为的实数m的一个值____________.【答案】（任意一个也对）【解析】【分析】求出圆心和半径，求出圆心到直线距离，根据垂径定理得到弦长，根据面积得到方程，求出或，进而求出实数m的值.【详解】的圆心为，半径为，则圆心到的距离为，则，故，解得或，当时，，解得，当时，，解得，故或 故答案为：（任意一个也对）三、解答题：本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.已知点，，O为坐标原点，向量（1）求向量的单位向量（2）求（3）求【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）计算出模长，进而利用得到答案；（2）计算出，得到模长；（3）利用空间向量夹角余弦公式求出答案.【小问1详解】由已知得：，则，因此；【小问2详解】因为，所以，则.【小问3详解】因为，所以， 则17.已知的三个顶点，，.（1）求边所在直线的方程；（2）求边上的高所在直线的方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据两点坐标写出直线方程即可.（2）根据斜率求出高线斜率，再根据过点，可求出边AB上的高所在直线的方程.【小问1详解】直线的斜率为，直线的方程为，即.【小问2详解】由（1）知直线的斜率为，所以由垂直关系可得边高线的斜率为，因为上的高过点，所以上的高线方程为,化为一般式可得：.18.如图，在三棱锥中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，E，F，M分别为AP，AC，PB的中点， （1）求证:（2）求直线EF与AB所成角的余弦值；（3）求平面PAC与平面PBC夹角的大小.【答案】（1）证明见解析（2）（3）【解析】分析】（１）建立空间直角坐标系，利用向量法证明，从而求解；（２）利用空间向量可求出两直线和所成的余弦值；（３）利用空间向量可求出平面和平面的夹角大小.小问1详解】证明：以为原点，为轴，过且与平行的直线为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图：则：，，，，， ，所以：，即：，所以：.【小问2详解】由（1）可得：，所以：所以：直线与所成角的余弦值为：.【小问3详解】由（1）可得：，，，，设平面的一个法向量为：，则得：，令，得，所以：，设平面的一个法向量为：，则得：，令，得：，所以：，所以：，所以：平面与平面夹角为：.19.已知圆C过点A(8，-1)，且与直线相切于点B(3，4).（1）求圆C的方程;（2）过点P(-3，0)的直线与圆C交于M，N两点，若为直角三角形，求的方程.【答案】19.20.或 【解析】【分析】（1）根据题意中设圆心，分别求出过圆心与切点的直线斜率，且圆过点，利用，从而求解.(2)根据题意设出过点的直线，然后利用圆心到直线的距离建立等式，从而求解.【小问1详解】设圆心坐标为，又直线与圆相切，所以：，设分别代表直线，的斜率，所以有：，由题意得：，所以有：，结合，并联立得：，解之得：，所以：圆的半径，所以：圆的方程为：.【小问2详解】因为为直角三角形且，所以，圆心到直线的距离：，易知直线的斜率存在，记为，又直线过点，设直线方程的方程为：，即：，因为圆心到直线的距离为：，整理得：，解之得：或，所以直线方程的方程为：或. 20.如图，且，，且，且，平面，，M是AB的中点.（1）若求证：平面DMF；（2）求直线EB与平面DMF所成角的正弦值；（3）若在DG上存在点P，使得点P到平面DMF的距离为，求DP的长．【答案】（1）证明见解析（2）（3）【解析】【分析】（1）根据线面平行判断定理结合空间向量法证明；（2）空间向量法求线面角即可；（3）根据点到平面空间向量法求参.【小问1详解】因为，，平面，而平面，所以，，因此以为坐标原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，  因为且，且，， 所以，，，，，，，，因为，所以所以设为平面的法向量，，，则，不妨令，可得；所以，得，又直线平面，平面．【小问2详解】由（1）知平面的法向量为设直线与平面所成角为，则所以直线与平面所成角的正弦值为.【小问3详解】设点坐标为，则，由（1）知平面的法向量为点到平面的距离解得，