2022-2023学年天津市武清区九年级上学期数学10月月考试卷及答案

2022-2023学年天津市武清区九年级上学期数学10月月考试卷及答案一、选择题（本大题12小题，每小题3分，共36分）。1.下列方程是一元二次方程的是（　　）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且最高次项的次数是2次，并且得是整式方程，即可判断．【详解】．符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意；．整理后可得，是一元一次方程，故本选项不合题意；．是分式方程，故本选项不合题意；．是一元三次方程，故本选项不合题意；故选：．【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，掌握一元二次方程的概念是解题的关键.2.下列函数中，是二次函数的有（）①；②；③；④；⑤.A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】B【解析】【详解】①不是整式，不符合二次函数的定义；②符合二次函数的定义；③整理后x的最高次数为3，不符合二次函数的定义；④不是整式，不符合二次函数的定义；⑤符合二次函数的定义；所以是二次函数的共有2个，故选B.3.已知函数为二次函数，则的取值范围是（） A.B.C.，且D.【答案】C【解析】【分析】根据二次函数定义可知二次项系数m2+m≠0，解不等式，即可得到答案.【详解】∵函数y=(m2+m)x2+mx+4为二次函数，∴二次项系数m2+m≠0，即m(m+1)≠0，解得m≠0且m≠-1.故选C.【点睛】本题考查二次函数的定义，利用二次函数的定义得到关于m的不等式是解题的关键.4.已知二次函数（m为常数）的图象与x轴的一个交点为，则关于x的一元二次方程的两实数根是（　　）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先把代入得到，则方程化为，然后利用因式分解法解方程即可．【详解】∵二次函数（m为常数）的图象与轴的一个交点为，∴，解得，当时，方程化为，解得，故选：D．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数（，，是常数，）与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．5.将抛物线向左平移1个单位，再向下平移3个单位后所得抛物线的解析式为　　A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．【详解】解：将向左平移1个单位所得直线解析式为：；再向下平移3个单位为：．故选：D．【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，解题的关键是熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．6.某机械厂七月份生产零件50万个，九月份生产零件72万个．设该厂八九月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（　　）A.500（1+x）2=72B.50（1+x）=72C.50（1+x）2=72D.50（1+2x）=72【答案】C【解析】【分析】一次增长后的量=增长前的量×(1+增长率)，如果该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么可以用x分别表示八、九月份的产量，然后根据题意可得方程.【详解】设该厂七、八九月份平均每月的增长率为x，则九月份的产量是50（1+x）2，故可列方程为：50（1+x）2=72.故选C【点睛】本题考查了一元二次方程的应用---增长率问题；本题的关键是掌握增长率问题中的一般公式为a(1+x)n=b，其中n为共增长了几次，a为第一年的原始数据，b是增长后的数据，x是增长率．7.已知m，n是关于x的一元二次方程x2-3x+a=0的两个解，若mn-(m+n)=-7，则a的值为(　　)A.-10B.4C.-4D.10【答案】C【解析】【分析】先根据根与系数的关系得到m＋n＝3，mn＝a，然后利用mn−（m＋n）＝−7可得到关于a的方程，再解此方程即可．【详解】根据题意得m＋n＝3，mn＝a，而mn−（m＋n）＝−7，则a−3＝−7， 所以a＝−4．故选C．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根时，x1＋x2＝−，x1x2＝.8.二次函数y=﹣x2+1的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，下列说法错误的是（　　）.A.点C的坐标是（0，1）B.线段AB的长为2C.△ABC是等腰直角三角形D.当x＞0时，y随x增大而增大【答案】D【解析】【分析】点C的坐标可以令x＝0，得到的y值即为点C的纵坐标；令y＝0，得到的两个x值即为与x轴的交点A、B的横坐标，且AB的长也有两点横坐标求得；分别求出AC、BC的长，根据勾股定理的逆定理即可判断△ABC的形状；a=-1＜0，抛物线开口向下，对称轴为x=0,对函数的增减性进行判断．【详解】A．根据题意可知：当x=0时，y=1，∴点C的坐标为（0，1），故选项正确，不合题意；B．当y=0时，x=-1或x=1，∴AB=2，故选项正确,不合题意；C．∵OA=1，OB=1，OC=1，∴AC==，BC==，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC是等腰直角三角形，故选项正确，不合题意；D．由y=-x2+1可知：a=-1＜0，抛物线开口向下，对称轴为x=0，∴当x＞0时，y随x增大而减小，故选项错误，符合题意；故选：D【点睛】本题考查了二次函数的性质、勾股定理、函数图像与坐标轴的交点、判定函数的增减性等知识，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 9.方程x2﹣9x＋18＝0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（　　）A.12B.15C.12或15D.不能确定【答案】B【解析】【分析】先解一元二次方程，再根据腰长、底长进行分情况讨论，从而得到其周长．【详解】解：方程变形得：，解得：，，当3为腰，6为底时，三角形三边为3，3，6，不能构成三角形，舍去；当3为底，6为腰时，三角形三边为6，6，3，周长为6＋6＋3＝15，故选：B．【点睛】本题考查一元二次方程的解法、等腰三角形的性质，注意分类讨论．10.关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（　　）A.k＞﹣1B.k＜1C.k＞﹣1且k≠0D.k＜1且k≠0【答案】C【解析】【分析】利用一元二次方程定义和判别式的意义得到k≠0且Δ=（﹣2）2﹣4×k×（﹣1）＞0，然后求出两个不等式的公共部分即可．【详解】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，∴k≠0且Δ＞0，即（﹣2）2﹣4×k×（﹣1）＞0，解得k＞﹣1且k≠0．故选：C．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．11.已知0≤x≤，那么函数y=﹣2x2+8x﹣6的最大值是（　　）A.﹣10.5B.2C.﹣2.5D.﹣6【答案】C【解析】【详解】解：∵y=﹣2x2+8x﹣6=﹣2（x﹣2）2+2．∴该抛物线的对称轴是x=2，且在x＜2上y随x的增大而增大． 又∵0≤x≤，∴当x=时，y取最大值，y最大=﹣2（﹣2）2+2=﹣2.5．故选：C．【点睛】本题考查二次函数的最值．12.二次函数的图象如图所示，则下列结论：①，②，③，④，⑤中正确的是（）A.②④⑤B.①②④C.①③④D.①③④⑤【答案】C【解析】【详解】①由图象可知：a<0，b>0，c>0，abc<0，故此选项正确；②当x=−1时，y=a−b+c<0，即b>a+c，错误；③由对称知，当x=2时，函数值大于0，即y=4a+2b+c>0，故此选项正确；④当x=3时函数值小于0,y=9a+3b+c<0,且x=−=1，即a=−b,代入得9(−b)+3b+c<0，得2c<3b，故此选项正确；⑤当x=1时，y的值最大．此时，y=a+b+c，而当x=m时,y=am2+bm+c，所以a+b+c>am²+bm+c，故a+b>am²+bm,即a+b>m(am+b)，故此选项错误．故①③④正确．故选C.点睛：本题考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定.二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13.若x2=5，则x=_________．【答案】±【解析】 【详解】解：x=±．故答案为：±．14.参加足球联赛的每两个队之间都进行两次比赛，共要比赛72场，共有_____个队参加比赛．【答案】9【解析】【分析】每个队都要与其余队比赛一场，2队之间要赛2场，等量关系为：队的个数×（队的个数-1）=72；接下来设有x队参加比赛，根据等量关系列方程求解即可.【详解】设有x队参加比赛.x(x-1)=72，(x-9)(x+8)=0，解得x1=9，x2=-8（不合题意，舍去）.即共有9个队参加比赛.故答案为9.【点睛】本题是有关一元二次方程应用的题目，关键是找到题中的等量关系列出方程.15.拋物线的顶点为（2，﹣3），与y轴交于点（0，﹣7），则该抛物线的解析式为_____．【答案】y=﹣（x﹣2）2﹣3【解析】【分析】因知道了顶点坐标，所以可设顶点式求解，即设y=a(x-2)2-3，然后把（0，﹣7）代入即可求出a的值．【详解】设y=a(x-2)2-3，然后把（0，﹣7）代入，得-7=a(0-2)2-3，解之得，a=-1．∴y=-(x-2)2-3．故答案为y=-(x-2)2-3．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，正确利用顶点式设出函数解析式是解答本题的关键．16.已知点（﹣2，y1），（﹣5，y2），（1，y3）在函数y=2x2+8x+7的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为_____．【答案】y2＞y3＞y1【解析】 【分析】先求出二次函数y=2x2+8x+7的图象的对称轴，然后判断出（﹣2，y1），（﹣5，y2），（1，y3）在抛物线上的位置，再求解．【详解】∵二次函数y=2x2+8x+7中a=2＞0，∴开口向上，对称轴为x=﹣2，∵（﹣2，y1）中x=﹣2，y1最小.∵-2-（﹣5）=3，1-（-2）=3，∴y2＞y3，∴y2＞y3＞y1.（1，y3），点B关于对称轴的对称点B′横坐标是2×（﹣2）﹣1=﹣5，则有B′（﹣5，y3），因为在对称轴得右侧，y随x得增大而增大，故y3＞y2．∴y3＞y2＞y1．故答案为y3＞y2＞y1．【点睛】本题考察了二次函数的图像和性质，对于二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0），当a>0时，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧y随x的增大而增大；当a<0时，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的增大而减小.17.已知抛物线的顶点在坐标轴上，则k的值为_____．【答案】4，，【解析】【分析】由于抛物线的顶点在坐标轴上，故应分在x轴上与y轴上两种情况进行讨论．【详解】当抛物线的顶点在轴上时，，即，解得或，当抛物线的顶点在轴上时，，解得，故答案为：4，，．【点睛】本题考查的是二次函数的性质，解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．18.如图，点P是等边三角形ABC内一点，且，， ，则这个等边三角形ABC的边长为________．【答案】【解析】【分析】将三角形BCP绕点B逆时针旋转60°得三角形BDA，过B作BH⊥直线AP于H，先证明三角形BDP为等边三角形，利用勾股定理逆定理得∠DPA=90°，进而得∠BPH=30°，利用勾股定理解直角三角形即可得答案．【详解】解：将三角形BCP绕点B逆时针旋转60°，得三角形BDA，BC边落在AB上，过B作BH⊥直线AP于H，如图所示，由旋转知，△BDP为等边三角形，AD=PC=，∴BP=PD=BD=，∠BPD=60°，∵PA=，∴，∴∠APD=90°，∴∠BPH=30°，∴BH=，PH=， 由勾股定理得：AB=，故答案为：．【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定、勾股定理逆定理、旋转变换的应用等知识点，解题关键是作旋转变换，将分散的条件集中在同一三角形中．三、解答题（本大题共7小题，共66分，解答题写出文字说明、演算步骤或推理过程）19.解下列方程：（1）；（2）．【答案】（1），；（2），．【解析】【分析】（1）利用直接开平方法求解即可；（2）移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【小问1详解】解：，，则，解得，，【小问2详解】，∴，则或，解得，． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．20.二次函数的图象如图所示，根据图象回答下列问题（1）方程的两个根是______．（2）不等式的解集是______．（3）y随x的增大而减小的自变量x的取值范围是______．（4）若方程无实根，则k取值范围是______．【答案】（1），；（2）或；（3）；（4）【解析】【分析】（1）根据一元二次方程的根即为抛物线与x轴的交点横坐标解答；（2）根据二次函数图象y<0解答（3）根据二次函数的性质解答；（4）当y=k时无实数根即为直线y=k与抛物线没有交点，由此得到答案．【详解】解：（1）由图象可知：二次函数的图象与x轴的两个交点为（0,0）、（2,0），∴方程的两个根是，；（2）由图象可知：二次函数的图象或时y<0，∴不等式的解集是或；（3）由图象可知：二次函数的图象与x轴的两个交点为（0,0）、（2,0），开口向下，∴二次函数的对称轴为直线x=1，∴当时y随x的增大而减小，故答案为：； （4）方程无实根，即为直线y=k与抛物线没有交点，由图象可知：抛物线的顶点纵坐标为2，∴方程无实根，则k的取值范围是，故答案为：．【点睛】此题考查二次函数的图象，对称轴，顶点坐标，增减性，利用抛物线判定方程的根及不等式的解集，直线与抛物线的交点，熟练掌握二次函数的知识点是解题的关键．21.用m长的铝合金型材做一个形状如图所示的矩形窗框，应做成长、宽各为多少时，才能使做成的窗框的透光面积为m2？（设窗框宽为m）【答案】长为1.8m、宽为0.8m或长和宽均为1.2m时，能使做成的窗框的透光面积为1.44m2【解析】【分析】设窗框的宽为xm，则窗框的长为m，利用面积公式列方程求解即可．【详解】解：设窗框的宽为xm，则窗框的长为m，由题意得整理得解得，当宽为0.8m时，长为m；当宽为1.2m时，长为m；∴长为1.8m、宽为0.8m或长和宽均为1.2m时，能使做成的窗框的透光面积为1.44m2．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用．解题的关键在于正确的列方程求解． 22.中，，，，点P从点A开始沿边向终点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以2cm/s的速度移动．如果点P、Q分别从点A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒．（1）填空：________，________（用含t的代数式表示）；（2）是否存在t的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1），（2）存在，当时，的面积等于【解析】【分析】（1）根据“路程=速度×时间”可表示出BQ、AP．再用AB-AP就可以求出PB即可；（2）利用（1）的结论，根据三角形的面积公式建立方程求出t的值即可．【小问1详解】（1）由题意得：BQ=2t，AP=t，则BP=5-AP=5-t．故答案为：2t，5-t．【小问2详解】（3）存在．由题意可得：的面积为，∵的面积等于，∴=4，解得：t1=1，t2=4（不符合题意，舍去），∴当t=1时，△PBQ的面积等于4cm2．【点睛】本题考查了行程问题的运用、一元二次方程的解法、三角形面积公式的运用等知识点．在解答时要注意所求的解的实际问题有意义成为解答本题的关键．23. 某商店经营一种小商品，进价是每件40元．据市场调查，销售价是60元时，平均每星期的销售量是300件．而销售价每降价1元，平均每星期的期就多售出30件．（1）假定每件商品降价x元，商店每星期的销售量是y件，请写出y与x之间的函数关系式（请直接写出结果）；（2）每件小商品销售价是多少元时，商店每星期销售这种小商品的利润吸最大？最大利润是多少？【答案】（1）y=﹣30x2+300x+6000；（2）每件小商品销售价是55元时，商店每天销售这种小商品的利润最大，最大利润是6750元．【解析】【分析】(1)根据总利润=(实际售价-进价)×销售量，即可得函数解析式;(2)将(1)中函数解析式配方即可得最值情况.【详解】（1）依题意有：y=（60﹣x﹣40）（300+30x）=﹣30x2+300x+6000；（2）∵y=﹣30x2+300x+6000=﹣30（x﹣5）2+6750；∵a=﹣30＜0，∴当x=5时y取最大值，最大值是6750，即降价5元时利润最大，∴每件小商品销售价是55元时，商店每天销售这种小商品的利润最大，最大利润是6750元．【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据总利润=(实际售价-进价)×销售量列出函数关系式是解答本题的关键.24.在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，点，点．以点A为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点O，B，C的对应点分别为D，E，F，记旋转角为．（1）如图1，当时，求点D的坐标；（2）如图2，当点E落在的延长线上时，求点D的坐标；（3）当点D落在线段上时，求点E的坐标．【答案】（1），；（2），；（3）【解析】 【分析】（1）过点作轴于，由旋转的性质得出，，，由直角三角形的性质得出，，得出，即可得出点的坐标为，；（2）过点作轴于，于，则，，由勾股定理得出，由面积法求出，得出，由勾股定理得出，即可得出点的坐标为，；（3）连接，作轴于，由旋转的性质得出，，由等腰三角形的性质得出，得出，证出，由平行线的性质的，证出，证明，得出，，得出，即可得出答案．【详解】解：（1）过点作轴于，如图所示：点，点．，，以点为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，，，，在中，，，，点的坐标为，；（2）过点作轴于，于，如图所示： 则，，，，，，，，，点的坐标为，；（3）连接，作轴于，如图所示：由旋转的性质得：，，，，，，，在和中， ，，，，，点的坐标为．【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质、坐标与图形性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、旋转变换的性质、含角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，正确作出辅助线，属于中考压轴题．25.如图，抛物线与轴交于，两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交轴于点，在该抛物线的对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点，使的面积最大？若存在，求出面积的最大值．若没有，请说明理由．【答案】（1）抛物线的解析式为：（2）存在，点的坐标为（3）存在，最大值【解析】 【分析】（1）根据题意可知，将点、的坐标代入函数解析式，列出方程组即可求得、的值，求得函数解析式；（2）根据题意可知，边的长是定值，要想的周长最小，即是最小，所以此题的关键是确定点的位置，找到点的对称点，求得直线的解析式，求得与对称轴的交点即是所求；（3）设，过点作轴交于点，连接、、，根据，将表示成二次函数，再根据二次函数的性质，即可求得的最大值．【小问1详解】解：将，代入中，可得：，解得：，∴抛物线的解析式为：；【小问2详解】解：存在，理由如下：如图，∵、两点关于抛物线的对称轴对称，∴直线与的交点即为点，此时周长最小，连接、，∵点是抛物线与轴的交点，∴的坐标为，又∵，∴直线解析式为：，∴点坐标即为， 解得：，∴；【小问3详解】解：存在，理由如下：如图，设，过点作轴交于点，连接、、，∵，若有最大值，则就最大，∴，∵，又∵，∴，∴，∴，∴当时，最大值为． 【点睛】本题考查了二次函数综合应用，要注意距离最短问题的求解关键是点的确定，还要注意面积的求解可以借助于图形的分割与拼凑，特别是要注意数形结合思想的应用．