2022-2023学年天津市和平区九年级上学期数学第一次月考试卷及答案

2022-2023学年天津市和平区九年级上学期数学第一次月考试卷及答案第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.下列图形中，是中心对称图形的是（）AB.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据中心对称图形定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心进行解答即可．【详解】解：A、把选项A中的图形绕某一点旋转，不能与自身重合，故不是中心对称图形，故此选项不符合题意；B、把选项A中的图形绕某一点旋转，不能与自身重合，故不是中心对称图形，故此选项不符合题意；C、把选项A中的图形绕某一点旋转，能与自身重合，故是中心对称图形，故此选项符合题意；D、把选项A中的图形绕某一点旋转，不能与自身重合，故不是中心对称图形，故此选项不符合题意；故选：C．【点睛】本题主要考查了中心对称图形，关键是掌握中心对称图形定义．2.在平面直角坐标系中，点关于原点对称点的坐标是（）A.B.C.D. 【答案】B【解析】【分析】直接利用关于原点对称点的性质：即横纵坐标都是原来的相反数，得出答案．【详解】解：点A（−3，2）关于原点对称的点的坐标是（3，−2）．故选：B．【点睛】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号关系是解题关键．3.下列方程是一元二次方程的是（　　）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据一元二次方程定义（等号的两边都是整式，只有一个未知数且未知数的最高次为二次）解题即可．【详解】A中未知数在分母上，不为一元二次方程；B中化简后没有二次项，不为一元二次方程；C中二元一次方程；D符合定义，正确；故选D．【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义，熟练化简方程是解题关键．4.用配方法将二次函数y=x2﹣8x﹣9化为y=a（x﹣h）2+k的形式为（　　）A.y=（x﹣4）2+7B.y=（x+4）2+7C.y=（x﹣4）2﹣25D.y=（x+4）2﹣25【答案】C【解析】【分析】直接利用配方法进而将原式变形得出答案．【详解】y=x2-8x-9=x2-8x+16-25=（x-4）2-25．故选C． 【点睛】此题主要考查了二次函数的三种形式，正确配方是解题关键．5.自行车车轮要做成圆形，主要是根据圆的以下哪个特征(　　)A.圆是轴对称图形B.圆是中心对称图形C.圆上各点到圆心的距离相等D.直径是圆中最长的弦【答案】C【解析】【分析】利用车轮中心与地面的距离保持不变，坐车的人感到非常平稳进行判断．【详解】因为圆上各点到圆心距离相等，所以车轮中心与地面的距离保持不变，坐车的人感到非常平稳，所以自行车车轮要做成圆形．故选C．【点睛】本题考查了圆的认识：熟练掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．6.如图，将绕点逆时针旋转得到，若且于点，则的度数为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由旋转的性质可得∠BAD=55°，∠E=∠ACB=70°，由直角三角形的性质可得∠DAC=20°，即可求解．【详解】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转55°得△ADE，∴∠BAD=55°，∠E=∠ACB=70°，∵AD⊥BC，∴∠DAC=20°，∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=75°．故选C． 【点睛】本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质是本题的关键．7.已知二次函数的图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表，下列结论正确的是（）…012……0343…A.当时y随x增大而减小B.是方程的一个解C.抛物线解析式为D.当时，【答案】B【解析】【分析】由抛物线的对称性及抛物线经过，可得抛物线对称轴和顶点坐标，利用待定系数法求得抛物线的解析式，进而可判断各选项．【详解】解：∵抛物线经过，∴抛物线对称轴为直线，∴抛物线的顶点坐标为，设抛物线的解析式为，∵抛物线经过，∴，∴，∴抛物线的解析式为，∴选项C错误，不符合题意；∵对称轴为直线，，∴当时，y随x增大而减小，∴选项A错误，不符合题意； ∵抛物线的对称轴为直线，且经过，∴一定经过，∴是方程的一个解，∴选项B正确，符合题意；∵抛物线的顶点坐标为，∴当时，，∴选项D错误，不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是根据表格得出二次函数的开口方向及对称轴．8.数学活动课上，同学们想测出一个残损轮子的半径，小宇的解决方案如下：如图，在轮子圆弧上任取两点A，B，连接，再作出的垂直平分线，交于点C，交于点D，测出的长度，即可计算得出轮子的半径．现测出，则轮子的半径为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由垂径定理，可得出BC的长；连接OB，在Rt△OBC中，可用半径OB表示出OC的长，进而可根据勾股定理求出得出轮子的半径即可．【详解】解：设圆心为O，连接OB． Rt△OBC中，BC=AB=20cm，根据勾股定理得：OC2+BC2=OB2，即：（OB-10）2+202=OB2，解得：OB=25；故轮子的半径为25cm．故选：C．【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．9.关于x的方程的解是（a，m，b均为常数，a≠0），则方程的解是（　　）A.B.C.D.无法求解【答案】C【解析】【分析】可以把方程看作是关于的一元二次方程，从而得到，即可求解．【详解】解：根据题意得：方程可以看作是关于的一元二次方程，∵关于x的方程的解是，∴关于的方程的解是，∴．故选：C【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．10.某商品的进价为每件60元，现在的售价为每件80元，每星期可卖出200件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件．则每星期售出商品的利润（单位：元）与每件涨价 （单位：元）之间的函数关系式是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由每件涨价元，可得出销售每件的利润为元，每星期的销售量为，再利用每星期售出商品的利润=销售每件的利润×每星期的销售量，即可得出结论．【详解】解：∵每涨价1元，每星期要少卖10件，每件涨价x元，∴销售每件的利润为元，每星期的销售量为，∴每星期销售出商品的利润．故选：D．【点睛】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出y与x之间的函数关系式．11.已知，如图，（Ⅰ）作的直径AB；（Ⅱ）以点A为圆心，AO长为半径画弧，交于C，D两点；（Ⅲ）连接CD交AB于点E，连接AC，BC．根据以上作图过程及所作图形，有下面三个推断：①；②；③．其中正确的推断的个数是（）A.0个B.1个C.2个D.3个【答案】D 【解析】【分析】①连接，根据作图过程可得，再根据垂径定理即可判断；②根据作图过程可得，即是等边三角形，再根据等边三角形的性质即可判断；③可以根据直角三角形30度角所对直角边等于斜边的一半即可得结论．【详解】解：如图，连接，①∵是的直径，∴，∵以点A为圆心，长为半径画弧，交于两点，∴，根据垂径定理，得：，所以①正确；②∵，∴是等边三角形，∵，∴，∴，∴②正确；③∵，∴．所以③正确．故选：D．【点睛】本题考查了垂径定理、圆周角定理、作图-复杂作图，解决本题的关键是掌握基本作图．12.如图，抛物线的对称轴为直线，与轴交于点，点 在抛物线上，有下列结论：①；②一元二次方程的正实数根在2和3之间；③；④点，在抛物线上，当实数时，．其中，正确结论的个数是（）A.4B.3C.2D.1【答案】B【解析】【分析】由抛物线开口方向得到a＞0，利用抛物线的对称轴方程得到b＝−2a＜0，即可判断①；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标在（2，0）与（3，0）之间，则根据抛物线与x轴的交点问题可对②进行判断；把B（0，−2），A（−1，m）和b＝−2a代入抛物解析式可对③选项进行判断；利用二次函数的增减性对④进行判断．【详解】解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线的对称轴为直线x＝＝1，∴b＝-2a＜0，∴ab＜0，故①正确；∵抛物线的对称轴为直线x＝1，抛物线与x轴的一个交点坐标在（0，0）与（﹣1，0）之间，∴抛物线与x轴的另一个交点坐标在（2，0）与（3，0）之间，∴一元二次方程ax2+bx+c＝0的正实数根在2和3之间，故②正确；把B（0，﹣2），A（﹣1，m）代入抛物线得c＝﹣2，a﹣b+c＝m，而b＝﹣2a，∴a+2a﹣2＝m， ∴a＝，故③正确；∵点P1（t，y1），P2（t+1，y2）在抛物线上，∴当点P1、P2都在直线x＝1的右侧时，y1＜y2，此时t≥1；当点P1在直线x＝1的左侧，点P2在直线x＝1的右侧时，y1＜y2，此时0＜t＜1且t+1﹣1＞1﹣t，即＜t＜1，∴当＜t＜1或t≥1时，y1＜y2，故④错误；故选B．【点睛】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根：利用二次函数图象的对称性确定抛物线与x轴的交点坐标，从而得到一元二次方程的根．也考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的相关知识是解题的关键．第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色字迹的签字笔将答案写在“答题卡”上（作图可用2B铅笔）．2．本卷共13题，共84分．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13.将一元二次方程化为一般形式后，其中二次项系数为______，一次项系数为________，常数项为________．【答案】①.3②.③.0【解析】【分析】根据一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中叫做二次项，a叫做二次项系数；叫做一次项；c叫做常数项可得答案．【详解】解：将一元二次方程化为一般形式为，故二次项系数、一次项系数、常数项分别是．故答案为．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是掌握一元二次方程的一般形式为． 14.青山村2012年的人均收入12000元，2014年的人均收入为14520元，则该村人均收入的年平均增长率为________ （填百分数）．【答案】10％【解析】【分析】设该村人均收入的年平均增长率为x,2012年的人均收入(1+平均增长率)=2014年人均收入,把相关数值代入求得年平均增长率.【详解】解:设该村人均收入的年平均增长率为x,由题意得:12000(1+x)=14520,解得:=-2.1(不合题意舍去),=0.1=10%.答:该村人均收入的年平均增长率为10%.故答案为:10%.;【点睛】本题考查了一元二次方程的运用,应明确增长的基数,增长的次数,根据公式增长后的人均收入=增长前的人均收入(1+增长率).15.把二次函数y=2x2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，平移后抛物线的解析式为____________．【答案】或（答出这两种形式中任意一种均得分）【解析】【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答．【详解】由“左加右减”的原则可知，将二次函数y=2x2的图象向左平移1个单位长度所得抛物线的解析式为：y=2（x+1）2，即y=2（x+1）2；由“上加下减”的原则可知，将抛物线y=2（x+1）2向下平移2个单位长度所得抛物线的解析式为：y=2（x+1）2﹣2，即y=2（x+1）2﹣2．故答案为y=2（x+1）2﹣2．考点：二次函数图象与几何变换．16.线段，的端点均在正方形的网格格点上，如图建立平面直角坐标系，线段由线段绕点旋转得到，点的对应点的坐标为（2，2），则点的坐标是____． 【答案】（2，1）【解析】【分析】由旋转的性质可求解．【详解】解：如图，连接AM，BN，作AM，BN的垂直平分线的交点为点P，∴点P坐标为（2，1）．故答案为：（2，1）．【点睛】本题考查了坐标与图形变化-旋转，熟练运用旋转的性质是本题的关键．17.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，∠ADC=130°，连接AC，则∠BAC的度数为___________．【答案】40°##40度 【解析】【分析】首先利用圆内接四边形的性质和∠ADC的度数求得∠B的度数，然后利用直径所对的圆周角是直角确定∠ACB=90°，然后利用直角三角形的两个锐角互余求得答案即可．【详解】解：∵四边形ABCD内接与⊙O，∠ADC=130°，∴∠B=180°-∠ADC=180°-130°=50°，∵AB为直径，∴∠ACB=90°，∴∠CAB=90°-∠B=90°-50°=40°，故答案为：40°．【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质及圆周角定理的知识，解题的关键是了解圆内接四边形的对角互补．18.在中，，，，将绕点B按逆时针方向旋转，得到，点E为线段中点，点P是线段上的动点，将绕点B按逆时针方向旋转的过程中，点P的对应点是点，（Ⅰ）如图①，______________；（Ⅱ）如图②，线段的最大值为___________，最小值为____________．【答案】①.；②.；③.．【解析】【分析】（Ⅰ）作交与点D，由所对的直角边等于斜边的一半可得，再利用，求出，进一步可得；（Ⅱ）作交与点D，求出，分情况讨论：当P点运动到点D时，在与的交点处，最小，；当、E、B三点共线，点P运动到点C时， 最大，最大值为．【详解】解：（Ⅰ）作交与点D，∵，，∴，∵，∴，∴；（Ⅱ）作交与点D，由（Ⅰ）可知：，，∵E是中点，∴，当P点运动到点D时，在与的交点处，此时，最小，最小值为;当、E、B三点共线，点P运动到点C时，最大，最大值为故答案为：；；【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，熟知相关知识是解题的关键．三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19.（Ⅰ）； （Ⅱ）．【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ），【解析】【分析】（Ⅰ）利用公式法求解；（Ⅱ）利用因式分解法求解．【详解】（Ⅰ）解：，其中，，，∴，∴，∴，．（Ⅱ）解：，移项，得：，因式分解得：，∴或，∴，．【点睛】本题考查利用公式法、因式分解法解一元二次方程，解题的关键是根据方程的特点选择合适的求解方法．20.已知关于x的一元二次方程有两个不等实数根，．（1）求k的取值范围；（2）若，求k的值．【答案】（1）（2）2【解析】【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式大于0建立不等式，解不等式即可得； （2）先利用一元二次方程的根与系数的关系可得，再结合（1）的结论即可得．【小问1详解】解：关于的一元二次方程有两个不等实数根，此方程根的判别式，解得．【小问2详解】解：由题意得：，解得或，由（1）已得：，则的值为2．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、以及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的相关知识是解题关键．21.在⊙O中，弦AB⊥AC，且AB=AC=6．D是⊙O上一点（不在上），连接AD、BD、CD．（1）如图①，若AD经过圆心O，求BD、CD的长；（2）如图②，若∠BAD=2∠DAC，连接BC、OD，且BC是直径，求BD、CD的长．【答案】（1）BD＝6，CD＝6（2），BD＝【解析】【分析】（1）由AD经过圆心O，利用圆周角定理得∠ACD=∠ABD=90°，又因为AB⊥AC，得到四边形ABCD为矩形，易得结果；（2）由∠BAD=2∠DAC，AB⊥AC，由圆周角定理得BC直径，易得∠CAD=30°，∠BAD=60°，证明△COD为等边三角形，求得CD，BD． 【小问1详解】解：AD是⊙O的直径，∴∠C=∠B=90°，∵AB⊥AC，∴∠BAC=90°，∴四边形ABDC是矩形，∵AB=AC=6，∴BD=AC=6，CD=AB=6；【小问2详解】∵∠BAC=90°，∠BAD=2∠DAC，∴∠BAD=60°，∠DAC=30°，∴∠COD=2∠CAD=60°，∵OC＝OD，∴△COD是等边三角形，∴CD=OC，在Rt△ABC中，，∴，在Rt△BCD中，．【点睛】本题主要考查了圆周角定理、勾股定理、等边三角形的判定和性质、矩形的判定和性质等知识，熟练掌握相关定理是解答此题的关键．22.已知是的直径，为上一点，连接，过点作于，交于点，连接，交于． （1）如图1，求证：．（2）如图2，连接，若，，求的长．【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）根据AB是直径，得到∠ACB=90°，推出，证得∠CAF=∠AEO，由OA=OE得到∠AEO=∠OAE，由此得到结论；（2）由，，得到∠FAB=∠FBA，由此证得，利用直角三角形30度角的性质分别求出EF、AF的长即可．【小问1详解】证明：如图1中，是直径，，，，，，，，；【小问2详解】解：如图2中， ，，，，，，，，，，，，，，，．【点睛】本题考查圆周角定理，直角三角形30度角的性质，解题的关键是学会利用特殊三角形解决问题，属于中考常考题型．23.如图，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形苗圃园，已知墙长为18米，设这个苗圃园垂直于墙的一边长为米．（1）若苗圃园的面积为72平方米，求的值．（2）若平行于墙的一边长不小于8米，当取何值时，这个苗圃园的面积有最大值，最大值是多少？ 【答案】（1）；（2）当时，苗圃园的面积有最大值，最大值是平方米．【解析】【分析】（1）根据题意列出一元二次方程，然后解方程即可得出答案；（2）先根据题意求出x的取值范围，然后表示出苗圃园的面积，再利用二次函数的性质求最大值即可．【详解】（1）依题意可列方程，即．解得，．当时，，故舍去；当时，，．（2）依题意，得，解得．面积.当时，有最大值，；答：当时，苗圃园的面积有最大值，最大值是平方米．【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用和二次函数的应用及性质，掌握一元二次方程的解法及二次函数的性质是解题的关键．24.阅读：旋转具有丰富的性质，我们常常可以借助旋转解决问题．（1）如图①，点B，C，D在同一条直线上，和都是等边三角形，可以看作绕点________，________时针旋转________度得到． （2）理解：如图②，点D是等边内一点，，，，求的度数（可以通过（1）思路尝试解决问题）；（3）应用：如图③，点D是等边外一点，，，当的长度最大时，的面积为____________．【答案】（1）C；逆；60；（2）；（3）．【解析】【分析】（1）结合图形以及等边三角形的性质即可解答；（2）把绕点C逆时针旋转得到，连接，证明是等边三角形．再利用勾股定理逆定理证明是直角三角形，得到，即可求出；（3）以为边构造等边，连接，证明，利用三角形三边关系证明：当点A、D、E三点共线时，的最大值为8，作交于点F，求出 ，进一步求出的面积为．【小问1详解】解：∵和都是等边三角形，∴，，，由图可知：可以看作绕点C逆时针旋转得到；故答案为：C；逆；60【小问2详解】解：如图，把绕点C逆时针旋转得到，连接，∴，．∴，．∵，，∴是等边三角形．∴，．∵，，∴．∴是直角三角形，．∴．【小问3详解】解：以为边构造等边，连接，如图： ∵和为等边三角形，∴，∴，即，在和中，∴，∴，∵，∴当点A、D、E三点共线时，取得最大值，此时，即的最大值为8，作交于点F，∵，∴，∵，∴，，∵， ∴，∴，∵，∴，∴，∴的面积为．【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定及性质，等边三角形的判定及性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握旋转的性质，全等三角形的判定及性质，等边三角形的判定及性质，勾股定理，是一道综合性较强的题．25.已知抛物线（a，b为常数，）与x轴交于点，顶点为D，且过点．（1）求抛物线解析式和点C，D的坐标；（2）点P在该抛物线上（与点B，C不重合），设点P的横坐标为t．①当点P在直线BC的下方运动时，求的面积的最大值；②连接BD，当时，求点P的坐标．【答案】（1），，（2）①，②点P的坐标为或．【解析】【分析】（1）把点，点代入，求出抛物线解析式，进一步可求出，；（2）①由题意可知点P坐标为，过点P作轴于点H，交直线BC于点E，求出直线BC的解析式为．利用点P的坐标可知，故点E的坐标为．进一步可求出，所以当时，的面积的最大值为 ；②分情况讨论：当点P在直线BC的上方，求出直线BD的解析式为，和直线PC的解析式为．即可求出点P的坐标为；当点P在直线BC的下方时，设直线PC与BD交于点M，设，求出．求出直线CM的解析式为，进一步可求出．【小问1详解】解：把点，点代入，可得：，解得∴抛物线解析式为，，∴顶点．把代入在，得，∴点．【小问2详解】解：由题意可知点P坐标为，①如图，过点P作轴于点H，交直线BC于点E，设直线BC的解析式为，将，点代入， 得，解得．∴直线BC的解析式为．∵点P的坐标为，由题意可知，∴点E的坐标为．∴．∴．∵，∴当时，的面积的最大值为．②存在．如图①，当点P在直线BC的上方，且时，则， 设直线DB的解析式为，将，点代入，得，解得．∴直线BD的解析式为．∵，∴设直线PC的解析式为．∵，∴．∴．∴直线PC的解析式为．∴．解得，（舍）．当时，．∴点P的坐标为．如图②，当点P在直线BC的下方时，设直线PC与BD交于点M， ∵，∴．设，∵，，∴解得．∴点M的坐标为．由点和点可得直线CM的解析式为，由，解得，（舍）．所以点．综上，点P的坐标为或．【点睛】本题考查二次函数与一次函数的综合，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式，会求两直线的交点坐标，掌握二次函数的图象及性质．