2022-2023学年山东省济宁市高二（上）期末数学试卷

2022-2023学年山东省济宁市高二（上）期末数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若直线l1：2x+ay+1＝0与直线l2：x﹣2y+2＝0平行，则a＝（　　）A．1B．﹣1C．4D．﹣42．（5分）已知圆C1：x2+y2﹣4y＝0，圆C2：x2+y2﹣2x﹣2y+1＝0，则两圆的位置关系为（　　）A．内切B．相交C．外切D．外离3．（5分）假设P（A）＝0.3，P（B）＝0.4，且A与B相互独立，则P（A∪B）＝（　　）A．0.12B．0.58C．0.7D．0.884．（5分）已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)，抛物线E：y2＝4x的焦点为F，抛物线E的准线与双曲线C的两条渐近线分别交于点A，B，若△ABF为正三角形，则双曲线C的渐近线方程为（　　）A．y=±33xB．y=±32xC．y=±233xD．y=±3x5．（5分）已知数列{an}为等比数列，且a3是a2与a4﹣4的等差中项，若a1＝2，则该数列的前5项和为（　　）A．2B．10C．31D．626．（5分）已知平面α的一个法向量为n→=(1，2，1)，直线l的一个方向向量为m→=(1，0，1)，则直线l与平面α所成角的正弦值为（　　）A．33B．22C．63D．327．（5分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），过C的焦点且斜率为2的直线l交抛物线C于A，B两点，以AB为直径的圆与抛物线C的准线相切于点M，若点M的纵坐标为4，则抛物线C的标准方程为（　　）A．y2＝4xB．y2＝8xC．y2＝12xD．y2＝16x8．（5分）已知数列{an}为等差数列且a1＞0，数列{1anan+1}的前n项和为n2n+1，则an＝（　　）,A．n+1B．n+2C．2n﹣1D．2n+1二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（多选）9．（5分）下列说法中正确的是（　　）A．直线x+y+2＝0在y轴上的截距是﹣2B．直线x+3y+1=0的倾斜角是60°C．直线mx﹣y+m+2＝0（m∈R）恒过定点（﹣1，2）D．过点（1，2）且在x轴、y轴上的截距相等的直线方程为x+y﹣3＝0（多选）10．（5分）抛掷两枚质地均匀的正四面体骰子，每个骰子四个面的点数分别为1，2，3，4，分别观察底面上的数字，记事件A＝“第一枚骰子底面数字为奇数”，事件B＝“第二枚骰子底面数字为奇数”，事件C＝“两枚骰子底面数字之和为偶数”，事件D＝“两枚骰子底面数字之和为奇数”，下列判断中正确的是（　　）A．事件A与事件C互斥B．事件C与事件D互为对立事件C．事件A与事件B相互独立D．P（A）＝P（D）（多选）11．（5分）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且Sn+2an+1＝18，数列{an}的前n项积为Tn，则下列结论中正确的是（　　）A．数列{an}是递增数列B．a1＝9C．Tn的最大值为T4D．Tn的最大值为T5（多选）12．（5分）已知F为双曲线x2−y24=1的右焦点，直线y＝kx（k＞0）与该双曲线相交于A，B两点（其中A在第一象限），连接AF，BF，下列说法中正确的是（　　）A．k的取值范围是（0，2）B．若|AF|＝2，则|BF|＝4C．若AF⊥BF，则点A的纵坐标为355D．若双曲线的右支上存在点C，满足A，F，C三点共线，则|AF|的取值范围是（2，+∞）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2＝4，S7＝﹣7，则a6＝　　．,14．（5分）如图所示，在空间四边形OABC中，OA→=a→，OB→=b→，OC→=c→，点M在OA上，且OM→=3MA→，N为BC中点，若MN→=xa→+yb→+zc→．则x+y+z＝　　．15．（5分）如图所示、点A，B1，B2为椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的顶点，F为C的右焦点，若AB1⊥B2F，则椭圆C的离心率为　　．16．（5分）已知圆心在x轴上移动的圆经过点A（2，0），且与x轴，y轴分别相交于B（x，0），C（0，y）两个动点，则点M（x，y）的轨迹方程为　　．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）在空间直角坐标系中，已知向量a→=(x，−1，2)，b→=(2，y，1)，其中x，y∈R，a→，b→分别是平面α与平面β的法向量．（1）若a∥β，求x，y的值；（2）若α⊥β且|a→|=3，求x，y的值．18．（12分）已知圆C的圆心在直线x﹣2y＝0上，且与直线x﹣2y+5＝0相切于点（3，4）．（1）求圆C的标准方程；（2）求直线l：3x﹣4y﹣6＝0被圆C截得的弦AB的长．19．（12分）某班级从3名男生和2名女生中随机抽取2名同学参加学校组织的校史知识竞赛．（1）求恰好抽到1名男生和1名女生的概率；,（2）若抽到的2名同学恰好是男生甲和女生乙，已知男生甲答对每道题的概率均为12，女生乙答对每道题的概率均为23，甲和乙各自回答两道题，且甲、乙答对与否互不影响，各题的结果也互不影响．求甲答对2道题且乙只答对1道题的概率．20．（12分）已知数列{an}满足：a1＝1，且nan+1＝（n+1）an+1，n∈N*．（1）求数列{an}的通项公式；（2）求数列{an•2n}的前n项和Sn．21．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝BC＝BB1＝2，∠ABC＝120°，点E满足AE→=λAC→，λ∈（0，1）．（1）当λ=12时，求A1C与B1E所成角的余弦值；（2）是否存在实数λ使得平面B1C1E与平面BB1C1C的夹角为30°．22．（12分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0），点A（0，1）为椭圆C的上顶点，设直线l过点E（﹣1，0）且与椭圆C交于P，Q两点，点P，Q不与C的顶点重合，当PQ⊥x轴时，|PQ|=3．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线AP、AQ与直线x＝3的交点分别为M、N，求|MN|的取值范围．,2022-2023学年山东省济宁市高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若直线l1：2x+ay+1＝0与直线l2：x﹣2y+2＝0平行，则a＝（　　）A．1B．﹣1C．4D．﹣4【解答】解：∵直线l1：2x+ay+1＝0与直线l2：x﹣2y+2＝0平行，∴1×a+2×2＝0，即a＝﹣4．此时两直线不重合．故选：D．2．（5分）已知圆C1：x2+y2﹣4y＝0，圆C2：x2+y2﹣2x﹣2y+1＝0，则两圆的位置关系为（　　）A．内切B．相交C．外切D．外离【解答】解：⊙O1：x2+y2﹣4y＝0的圆心为O1（0，2），半径r＝2，⊙O2：x2+y2﹣2x﹣2y+1＝0的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1，圆心为O2（1，1），半径R＝1，两圆的圆心距|O1O2|=11+(1−2)2=2，2﹣1＜2＜2+1＝3，故两圆相交，故选：B．3．（5分）假设P（A）＝0.3，P（B）＝0.4，且A与B相互独立，则P（A∪B）＝（　　）A．0.12B．0.58C．0.7D．0.88【解答】解：P（A）＝0.3，P（B）＝0.4，且A与B相互独立，则P（AB）＝P（A）P（B）＝0.12，故P（A∪B）＝P（A）+P（B）﹣P（AB）＝0.3+0.4﹣0.12＝0.58．故选：B．4．（5分）已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)，抛物线E：y2＝4x的焦点为F，抛物线E的准线与双曲线C的两条渐近线分别交于点A，B，若△ABF为正三角形，则双曲线C的渐近线方程为（　　）,A．y=±33xB．y=±32xC．y=±233xD．y=±3x【解答】解：由题意可知，抛物线E：y2＝4x的焦点F（1，0），准线方程为x＝﹣1，∵△ABF为正三角形，∴A（﹣1，233），设双曲线C的一条渐近线方程为y=−bax，∴233=−ba×（﹣1），∴ba=233，∴双曲线C的渐近线方程为y＝±233x．故选：C．5．（5分）已知数列{an}为等比数列，且a3是a2与a4﹣4的等差中项，若a1＝2，则该数列的前5项和为（　　）A．2B．10C．31D．62【解答】解：设等比数列的公比为q，由a3是a2与a4﹣4的等差中项得a2+a4﹣4＝2a3，解得q＝2，于是，数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列，则S5=2×(1−25)1−2=62．故选：D．6．（5分）已知平面α的一个法向量为n→=(1，2，1)，直线l的一个方向向量为m→=(1，0，1)，则直线l与平面α所成角的正弦值为（　　）A．33B．22C．63D．32,【解答】解：由已知，设直线l与平面α所成角为θ，则sinθ＝|cos＜m→，n→＞|=|1×1+2×0+1×1|1+4+1⋅1+0+1=26⋅2=33，故选：A．7．（5分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），过C的焦点且斜率为2的直线l交抛物线C于A，B两点，以AB为直径的圆与抛物线C的准线相切于点M，若点M的纵坐标为4，则抛物线C的标准方程为（　　）A．y2＝4xB．y2＝8xC．y2＝12xD．y2＝16x【解答】解：抛物线y2＝2px的焦点为F（p2，0），准线为x=−p2，设直线的方程为y＝2（x−p2），A（x1，y1），B（x2，y2），联立y=2(x−p2)y2=2px，消去y整理得4x2﹣6px+p2＝0，所以x1+x2=3p2，x1x2=p24，以AB为直径的圆与抛物线C的准线相切于点M，设线段AB的中点为E，则有AE＝EM＝BE，因为点M的纵坐标为4，所以点E的纵坐标为4，所以y1+y2＝8，又y1+y2＝2（x1−p2）+2（x2−p2）＝2（x1+x2）﹣2p＝p，∴p＝8，∴y2＝16x，故选：D．8．（5分）已知数列{an}为等差数列且a1＞0，数列{1anan+1}的前n项和为n2n+1，则an＝（　　）A．n+1B．n+2C．2n﹣1D．2n+1【解答】解：数列{1anan+1}的前n项和为n2n+1，则1a1a2=131a1a2+1a2a3=25，即a1a2=3a2a3=15，设公差为d，,则a1(a1+d)=3(a1+d)(a1+2d)=15，解方程得a1＝1（负值舍去），d＝2，故an＝2n﹣1．故选：C．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（多选）9．（5分）下列说法中正确的是（　　）A．直线x+y+2＝0在y轴上的截距是﹣2B．直线x+3y+1=0的倾斜角是60°C．直线mx﹣y+m+2＝0（m∈R）恒过定点（﹣1，2）D．过点（1，2）且在x轴、y轴上的截距相等的直线方程为x+y﹣3＝0【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，直线x+y+2＝0，令x＝0可得y＝﹣2，即直线与y轴的交点坐标为（0，﹣2），则直线x+y+2＝0在y轴上的截距是﹣2，A正确；对于B，直线x+3y+1=0，即y=−33x−33，直线的斜率k=−33，则该直线的倾斜角为150°，B错误；对于C，直线mx﹣y+m+2＝0（m∈R）即y﹣2＝m（x+1），恒过定点（﹣1，2），C正确；对于D，过点（1，2）且在x轴、y轴上的截距相等的直线方程为x+y﹣3＝0和y＝2x，D错误；故选：AC．（多选）10．（5分）抛掷两枚质地均匀的正四面体骰子，每个骰子四个面的点数分别为1，2，3，4，分别观察底面上的数字，记事件A＝“第一枚骰子底面数字为奇数”，事件B＝“第二枚骰子底面数字为奇数”，事件C＝“两枚骰子底面数字之和为偶数”，事件D＝“两枚骰子底面数字之和为奇数”，下列判断中正确的是（　　）A．事件A与事件C互斥B．事件C与事件D互为对立事件C．事件A与事件B相互独立D．P（A）＝P（D）【解答】解：抛掷两枚骰子，用表格表示试验的所有可能结果如下：1234,1（1，1）（1，2）（1，3）（1，4）2（2，1）（2，2）（2，3）（2，4）3（3，1）（3，2）（3，3）（3，4）4（4，1）（4，2）（4，3）（4，4）事件A＝“第一枚骰子底面数字为奇数”，则A有8个样本点，且P（A）=12，事件B＝“第二枚骰子底面数字为奇数”，则B有8个样本点，且P（B）=12，事件C＝“两枚骰子底面数字之和为偶数”，则C有8个样本点，且P（C）=12，事件D＝“两枚骰子底面数字之和为奇数”，则D有8个样本点，且P（D）=12；所以事件A与事件C不是互斥事件，有共同事件（1，1），（1，3），（3，1）和（3，3），选项A错误；事件C与事件D是互为对立事件，选项B正确；因为AB＝{（1，1），（1，3），（3，1），（3，3）}共四个样本点，所以P（AB）=14，P（A）P（B）=14，所以P（AB）＝P（A）P（B），事件A与事件B相互独立，选项C正确；P（A）＝P（D）=12，选项D正确．故选：BCD．（多选）11．（5分）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且Sn+2an+1＝18，数列{an}的前n项积为Tn，则下列结论中正确的是（　　）A．数列{an}是递增数列B．a1＝9C．Tn的最大值为T4D．Tn的最大值为T5【解答】解：等比数列{an}中，Sn+2an+1＝18，所以Sn+1+2an+2＝18，所以an+1+2an+2﹣2an+1＝0，所以q=an+2an+1=12，所以a1+2a2＝a1（1+2q）＝2a1＝18，解得a1＝9，选项B正确；an＝9×(12)n−1，数列{an}是单调递减数列，选项A错误，前n项积为Tn＝9×9×12×9×122×...×9×12n−1=9n×(12)n(n−1)2，,所以Tn+1Tn=an+1＝9×(12)n，即n≤3时，an+1≥1，Tn+1≥Tn；n＞3时，an+1＜1，Tn+1＜Tn，所以Tn的最大值是T4，选项C正确，选项D错误．故选：BC．（多选）12．（5分）已知F为双曲线x2−y24=1的右焦点，直线y＝kx（k＞0）与该双曲线相交于A，B两点（其中A在第一象限），连接AF，BF，下列说法中正确的是（　　）A．k的取值范围是（0，2）B．若|AF|＝2，则|BF|＝4C．若AF⊥BF，则点A的纵坐标为355D．若双曲线的右支上存在点C，满足A，F，C三点共线，则|AF|的取值范围是（2，+∞）【解答】解：双曲线x2−y24=1的渐近线方程为：y＝±2x，直线y＝kx（k＞0）与该双曲线相交于A，B两点（其中A在第一象限），则A在渐近线的下方，所以k＜2，所以k的取值范围是（0，2），所以A正确；双曲线的左焦点为F1，连接BF1，AF1，四边形AFBF1是平行四边形，∵|AF1|﹣|AF|＝2a＝2，∴|BF|＝|AF1|＝2+|AF|＝4，所以B正确；当AF⊥BF时，可知A1F⊥AF，且|AF1|﹣|AF|＝2，∴在Rt△AF1F中，|AF1|2+|AF|2=|F1F|2=4c2=4×(a2+b2)=4×（1+4）＝20，解得|AF1|＝4，|AF|＝2，∴S△AF1F=12×|F1F|×yA=12|AF1||AF|，可得yA=455，所以C不正确；当AF平行渐近线y＝2x时，直线AF：y＝﹣2（x−5），联立双曲线y=−2(x−5)x2−y24=1，可得A（355，455），|AF|＝2，为满足条件，A应在A′右边，∴|AF|＞2，|AF|的取值范围是（2，+∞），所以D正确．故选：ABD．,三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2＝4，S7＝﹣7，则a6＝　﹣6　．【解答】解：∵等差数列{an}的前n项和为Sn，a2＝4，S7＝﹣7，∴a1+d=47a1+21d=−7，解得a1=132，d=−52，∴a6＝a1+5d=132−252=−6．故答案为：﹣6．14．（5分）如图所示，在空间四边形OABC中，OA→=a→，OB→=b→，OC→=c→，点M在OA上，且OM→=3MA→，N为BC中点，若MN→=xa→+yb→+zc→．则x+y+z＝　14　．【解答】解：在四面体OABC中，MN→=MO→+OC→+CN→，点M在OA上，且OM＝3MA，N为BC的中点，可得OM→=34OA→=34a→，CN→=12CB→=12（OB→−OC→）=12（b→−c→），则MN→=−34a→+c→+12（b→−c→）=−34a→+12b→+12c→，又MN→=xa→+yb→+zc→，,可得x=−34，y＝z=12，则x+y+z=−34+12+12=14．故答案为：14．15．（5分）如图所示、点A，B1，B2为椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的顶点，F为C的右焦点，若AB1⊥B2F，则椭圆C的离心率为　−1+52　．【解答】解：根据题意易得B1（0，b），A（a，0），F（c，0），B2（0，﹣b），又AB1⊥B2F，∴kAB1⋅kB2F=−1，∴b−a⋅bc=−1，∴b2＝ac，∴a2﹣c2＝ac，∴e2+e﹣1＝0，又e∈（0，1），∴e=−1+52，故答案为：−1+52．16．（5分）已知圆心在x轴上移动的圆经过点A（2，0），且与x轴，y轴分别相交于B（x，0），C（0，y）两个动点，则点M（x，y）的轨迹方程为　y2＝﹣2x　．【解答】解：因为动圆圆心在x轴上移动，且该动圆始终经过点A（2，0）和B（x，0），所以AB为该动圆的直径，又因为点C（0，y）在该动圆上，所以CA→•CB→=0，即2x+y2＝0，所以点M（x，y）的轨迹方程为y2＝﹣2x．故答案为：y2＝﹣2x．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.,17．（10分）在空间直角坐标系中，已知向量a→=(x，−1，2)，b→=(2，y，1)，其中x，y∈R，a→，b→分别是平面α与平面β的法向量．（1）若a∥β，求x，y的值；（2）若α⊥β且|a→|=3，求x，y的值．【解答】解：（1）∵a→∥b→，∴x2=−1y=21，解得x＝4，y=−12；（2）∵|a→|＝3，∴x2+1+4=3，解得x＝±2，又∵a→⊥b→，∴2x﹣y+2＝0，故x，y的值为x＝2，y＝6；x＝﹣2，y＝﹣2．18．（12分）已知圆C的圆心在直线x﹣2y＝0上，且与直线x﹣2y+5＝0相切于点（3，4）．（1）求圆C的标准方程；（2）求直线l：3x﹣4y﹣6＝0被圆C截得的弦AB的长．【解答】解：（1）设圆C的标准方程为（x﹣2a）2+（y﹣a）2＝r2（其中a＞0，r＞0），则其圆心C（2a，a）到直线x﹣2y+5＝0的距离：|2a−2a+5|5=(3−2a)2+(4−a)2，解得a＝2，r=5．所以圆C的标准方程为（x﹣4）2+（y﹣2）2＝5；（2）圆的圆心到直线3x﹣4y﹣6＝0的距离为：|12−8−6|9+16=25．直线l：3x﹣4y﹣6＝0被圆C截得的弦AB的长为：25−425=225．19．（12分）某班级从3名男生和2名女生中随机抽取2名同学参加学校组织的校史知识竞赛．（1）求恰好抽到1名男生和1名女生的概率；（2）若抽到的2名同学恰好是男生甲和女生乙，已知男生甲答对每道题的概率均为12,，女生乙答对每道题的概率均为23，甲和乙各自回答两道题，且甲、乙答对与否互不影响，各题的结果也互不影响．求甲答对2道题且乙只答对1道题的概率．【解答】解：（1）记3名男生为1，2，3，两名女生为a、b，从3名男生和2名女生中随机抽取2名同学，基本事件为12，13，1a，1b，23，2a，2b，3a，3b，ab共10种不同取法；恰好抽到1名男生和1名女生的基本事件为1a，1b，2a，2b，3a，3b共6种，故所求的概率值为P=610=35；（2）甲答对2道题的概率为12×12=14，乙只答对1道题的概率值为C21×23×（1−23）=49，所以甲答对2道题且乙只答对1道题的概率为14×49=19．20．（12分）已知数列{an}满足：a1＝1，且nan+1＝（n+1）an+1，n∈N*．（1）求数列{an}的通项公式；（2）求数列{an•2n}的前n项和Sn．【解答】解：（1）数列{an}满足：a1＝1，且nan+1＝（n+1）an+1，n∈N*，则（n﹣1）an＝nan﹣1+1，n＝2，3，•••，n，两式相减可得，nan+1﹣（n﹣1）an＝（n+1）an﹣nan﹣1，即nan+1+nan﹣1＝（n+1）an+（n﹣1）an＝2nan，则an+1+an﹣1＝2an，所以{an}为等差数列，因为a1＝1，所以a2＝2a1+1＝3，故数列{an}的通项公式为an＝2n﹣1；（2）∵an⋅2n=(2n−1)⋅2n，∴Sn=1⋅21+3⋅22+5⋅23+⋅⋅⋅+（2n﹣1）•2n，2Sn＝1•22+3•22+5•24+•••+（2n﹣1）•2n+1，两式作差可得，−Sn=2+23+24+⋅⋅⋅+2n+1−（2n﹣1）•2n+1=2+23(1−2n−1)1−2−(2n−1)⋅2n+1，故Sn=(2n−3)⋅2n+1+6．,21．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝BC＝BB1＝2，∠ABC＝120°，点E满足AE→=λAC→，λ∈（0，1）．（1）当λ=12时，求A1C与B1E所成角的余弦值；（2）是否存在实数λ使得平面B1C1E与平面BB1C1C的夹角为30°．【解答】解：（1）以过点B且垂直于BC的直线为x轴，BC为y轴，BB1为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示：因为AB＝BC＝BB1＝2，∠ABC＝120°，所以A1（3，﹣1，2），C（0，2，0），B1（0，0，2），λ=12时，E为AC的中点，所以E（32，12，0），A1C→=（−3，3，﹣2），B1E→=（32，12，﹣2），cos＜A1C→，B1E→＞=A1C→⋅B1E→|A1C→||B1E→|=−32+32+43+9+4×34+14+4=55，所以A1C与B1E所成角的余弦值为55；（2）设存在实数λ使得平面B1C1E与平面BB1C1C的夹角为30°，因为平面BB1C1C的一个法向量为m→=（1，0，0），设平面B1C1E的一个法向量为n→=（x，y，z），因为B1C1→=（0，2，0），AE→=λAC→=（−3λ，3λ，0），所以B1E→=B1B→+BA→+AE→=（0，0，﹣2）+（3，﹣1，0）+（−3λ，3λ，0）＝（3−3λ，﹣1+3λ，﹣2），,所以n→⋅B1C1→=2y=0n→⋅B1E→=3(1−λ)x+(−1+3λ)y−2z=0，则n→=（1，0，32(1−λ)），令cos＜m→，n→＞=m→⋅n→|m→||n→|=11×1+34(1−λ)2=32，解得λ=13，即存在实数λ=13时，使得平面B1C1E与平面BB1C1C的夹角为30°．22．（12分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0），点A（0，1）为椭圆C的上顶点，设直线l过点E（﹣1，0）且与椭圆C交于P，Q两点，点P，Q不与C的顶点重合，当PQ⊥x轴时，|PQ|=3．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线AP、AQ与直线x＝3的交点分别为M、N，求|MN|的取值范围．【解答】解：（1）由题意可得，b＝1，当PQ⊥x轴时，点P，Q关于x轴对称，不妨设点P在x轴上方，又因为此时|PQ|=3，点E（﹣1，0）在线段PQ上，所以点P的坐标为（﹣1，32），所以1a2+34=1，解得a＝2，所以椭圆C的方程为x24+y2＝1．（2）当直线l不存在斜率时，则直线l的方程为x＝﹣1，,不妨设点P在x轴上方，Q在x轴下方，则P（﹣1，32），Q（﹣1，−32），所以直线AP的方程为y＝（1−32）x+1，当x＝3时，解得点M的纵坐标为yM＝4−332，同理，解得点N的纵坐标为yM＝4+332，所以|MN|＝|yM﹣yN|＝33，当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k（x+1），点P，Q与椭圆C的顶点不重合，则k≠0且k≠±1，由y=k(x+1)x24+y2=1，得（1+4k2）x2+8k2x+4k2﹣4＝0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1+x2=−8k21+4k2，x1x2=4k2−41+4k2，|x1﹣x2|=(x1+x2)2−4x1x2=41+3k21+4k2，又直线AP的方程为y=y1−1x1x+1，当x＝3时，解得点M的纵坐标为yM=3(y1−1)x1+x1+3y1−3x1，同理，解得点N的纵坐标为yN=3(y2−1)x2+1=x2+3y2−3x2，所以|MN|＝|yM﹣yN|＝|x1+3y1−3x1−x2+3y2−3x2|＝|(x1x2+3y1y2−3x2)−(x1x2+3y1y2−3x1)x1x2|=3|1−k||x1−x2||x1x2|=3|1−k|41+3k21+4k2|4k2−44k2+1|=31+3k2|k+1|=31+3k2(k2+1)2=33(k+1)2−6(k+1)+4(k+1)2＝34(k+1)2−6k+1+3，令t=1k+1，则t≠12且t≠1，,所以|MN|＝34t2−6t+3=3(2t−32)2+34≥332且|MN|≠3，综上所述，|MN|的取值范围为[332，3）∪（3，+∞）．