2022-2023学年江苏省苏州市高二（上）期末数学试卷

2022-2023学年江苏省苏州市高二（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）在空间直角坐标系Oxyz中，点P（1，3，﹣2）关于平面xOz的对称点的坐标为（）A．（﹣1，3，﹣2）B．（1，﹣3，﹣2）C．（1，3，2）D．（﹣1，﹣3，﹣2）2．（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线在y轴上的截距为（）A．﹣6B．6C．D．3．（5分）双曲线x21的渐近线方程为（）A．y＝±xB．y＝±xC．y＝±2xD．y＝±4x4．（5分）“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的运用，最具代表性的便是园林中的门洞．如图，某园林中的圆弧形洞门高为2.5m，底面宽为1m，则该门洞的半径为（）A．1.2mB．1.3mC．1.4mD．1.5m，当为偶数5．（5分）已知数列{an}满足a1＝24，an+1若ak＝11，则k＝（），当为奇数A．7B．8C．9D．106．（5分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA＝90°，AC＝CC1＝2，M是A1B1的中点，以C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．若，则异面直线CM与A1B所成角的余弦值为（） A．B．C．D．7．（5分）对任意数列{a2n﹣1*n}，定义函数F（x）＝a1+a2x+a3x+⋯+anx（n∈N）是数列{an}2的“生成函数”．已知F（1）＝n，则（）A．B．C．D．8．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：x2＝4y，过点A（0，a）的直线交C于P，Q两点，若为常数，则实数a的值为（）쳌㌳A．1B．2C．3D．4二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（多选）9．（5分）在平面直角坐标系xOy中，关于曲线C：x2+y2﹣2mx+2y+2m＝0的说法正确的有（）A．若m＝0，则曲线C表示一个圆B．若m＝1，则曲线C表示两条直线C．若m＝2，则过点（1，1）与曲线C相切的直线有两条D．若m＝2，则直线x+y＝0被曲线C截得的弦长等于（多选）10．（5分）如图，已知四面体ABCD的所有棱长都等于2，E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则（） A．B．C．D．（多选）11．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆：＞＞的离心率为，直线l：x+y+4＝0与C没有公共点，且C上至少有一个点到l的距离为，则C的短轴长可能是（）A．1B．2C．3D．4（多选）12．（5分）将1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数填入如图所示的3×3正方形网格中，每个小方格中只能填一个数，每个数限填一次．考虑网格中每行从左到右、每列从上到下、两条对角线从上到下所填的数各构成一个数列，共计八个数列，则下列结论中正确的有（）A．这八个数列有可能均为等差数列B．这八个数列中最多有三个等比数列C．若中间一行、中间一列、两条对角线上的数列均为等差数列，则中心小方格中所填的数必为5D．若第一行、第一列上的数列均为等比数列，则其余数列中至多有一个等差数列三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）在空间直角坐标系Oxyz中，已知A（1，1，0），B（﹣1，0，2），点C满足，则点C的坐标为．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2+y2＝1，写出满足条件“过点（3，0） 且与圆O相外切”的一个圆的标准方程为．15．（5分）已知数列{an}的前n项和为Sn，若{an}与均为等差数列且公差不为0，则的值为．16．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知A（﹣1，﹣1），B（1，﹣1），C（0，﹣2），直线AM，BM相交于点M，且AM与BM的斜率之差为2，则|MC|的最小值为．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知四边形OABC满足|OA|＝|AB|＝4，∠OAB＝120°，BC⊥OB，OC∥AB．（1）求直线AB的方程；（2）求点C的坐标．18．（12分）在①S23＝9，S5＝25；②d＝2，且S1，S2，S4成等比数列；③Sn＝3n﹣2n这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答该问题．记等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，已知_____．（1）求{an}的通项公式；（2）令bn，求数列{bn}的前n项和Tn．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，平面ABCD⊥平面PBC，PC＝BC＝2，点E，F分别为AB，PD的中点．（1）求证：쳌；（2）若쳌，求平面FAB与平面PAD夹角的正弦值． 20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知点，，设动点P到直线的距离为d，且쳌．（1）记点P的轨迹为曲线C，求C的方程；（2）若过点F且斜率为k（k＞0）直线l交C于A，B两点，问在y轴上是否存在点D，使得△ABD为正三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．21．（12分）已知数列{an}中的各项均为正数，a1＝2，点，在曲线，为偶数上，数列{bn}满足，记数列{bn}的前n项和为Sn．，为奇数（1）求{bn}的前2n项和S2n；（2）求满足不等式S2n≤b2n﹣1的正整数n的取值集合．22．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线：＞，＞的左顶点为A，右焦点为F，离心率为2，且经过点（4，6），点P（x0，y0）是双曲线右支上一动点，过三点A，P，F的圆的圆心为C，点P，C分别在x轴的两侧．（1）求Γ的标准方程；（2）求x0的取值范围；（3）证明：∠ACF＝3∠PCF． 2022-2023学年江苏省苏州市高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）在空间直角坐标系Oxyz中，点P（1，3，﹣2）关于平面xOz的对称点的坐标为（）A．（﹣1，3，﹣2）B．（1，﹣3，﹣2）C．（1，3，2）D．（﹣1，﹣3，﹣2）【解答】解：空间直角坐标系Oxyz中，点P（1，3，﹣2）关于平面xOz的对称点坐标为P′（1，﹣3，﹣2）．故选：B．2．（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线在y轴上的截距为（）A．﹣6B．6C．D．【解答】解：根据题意，中令x＝0得：y＝﹣6，故直线在y轴上的截距为﹣6．故选：A．3．（5分）双曲线x21的渐近线方程为（）A．y＝±xB．y＝±xC．y＝±2xD．y＝±4x【解答】解：因为双曲线，所以双曲线的渐近线方程为，即y＝±2x．故选：C．4．（5分）“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的运用，最具代表性的便是园林中的门洞．如图，某园林中的圆弧形洞门高为2.5m，底面宽为1m，则该门洞的半径为（） A．1.2mB．1.3mC．1.4mD．1.5m【解答】解：设半径为R，Ǥ，解得，解得R＝1.3．故选：B．，当为偶数5．（5分）已知数列{an}满足a1＝24，an+1若ak＝11，则k＝（），当为奇数A．7B．8C．9D．10，当为偶数【解答】解：∵a1＝24，an+1，，当为奇数∴，∴，∴，∴a5＝a4+2＝5，∴a6＝a5+2＝7，∴a7＝a6+2＝9，∴a8＝a7+2＝11，∴a9＝a8+2＝13，∴a10＝a9+2＝15，∵ak＝11，∴k＝8．故选：B．6．（5分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA＝90°，AC＝CC1＝2，M是A1B1的中点，以C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．若，则异面直线CM与A1B所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意得，设CB＝t＞0，则有，，，，，，，，， ，，，，，，，，，，，，，，，由得．，，，，，，∴‴㘱〈，．故异面直线CM与A1B所成角的余弦值为．故选：A．7．（5分）对任意数列{a2n﹣1*n}，定义函数F（x）＝a1+a2x+a3x+⋯+anx（n∈N）是数列{an}2的“生成函数”．已知F（1）＝n，则（）A．B．C．D．【解答】解：因为，且F（1）＝n2，所以①，当n＝1可得a1＝1，当n≥2时②，①﹣②得，显然当n＝1时上式也成立，所以an＝2n﹣1，所以，则，所以，所以．故选：D．8．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：x2＝4y，过点A（0，a）的直线交C于P，Q两点，若为常数，则实数a的值为（）쳌㌳ A．1B．2C．3D．4【解答】解：当过点A（0，a）的直线斜率不存在时，此时直线与抛物线C：x2＝4y只有1个交点，不合要求，舍去；当直线斜率存在时，设直线方程为y＝kx+a，l联立，可得x2﹣4kx﹣4a＝0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1+x2＝4k，x1x2＝﹣4a，∴쳌ll，同理可得：㌳l，l쳌故，쳌㌳lll要想为常数，与k无关，쳌㌳l쳌故为定值，所以8a＝16，l解得a＝2，此时，满足要求．쳌㌳故选：B．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（多选）9．（5分）在平面直角坐标系xOy中，关于曲线C：x2+y2﹣2mx+2y+2m＝0的说法正确的有（）A．若m＝0，则曲线C表示一个圆B．若m＝1，则曲线C表示两条直线C．若m＝2，则过点（1，1）与曲线C相切的直线有两条D．若m＝2，则直线x+y＝0被曲线C截得的弦长等于【解答】解：∵曲线C：x2+y2﹣2mx+2y+2m＝0，∴对A选项，∵当m＝0，则曲线C：x2+y2+2y＝0，即x2+（y+1）2＝1，表示圆心为（0，﹣1），半径为1的圆，∴A选项正确；对B选项，∵当m＝1，则曲线C：x2+y2﹣2x+2y+2＝0，即（x﹣1）2+（y+1）2＝0，表示点（1，﹣1），∴B选项错误；对C选项，∵当m＝2，则曲线C：x2+y2﹣4x+2y+4＝0，即（x﹣2）2+（y+1）2＝1，表示圆心为C（2，﹣1），半径为1的圆， ∵（1﹣2）2+（1+1）2＝5＞1，∴点（1，1）在圆外，∴过点（1，1）与曲线C相切的直线有两条，∴C选项正确；对D选项，∵圆心C到直线x+y＝0的距离，∴直线与圆相交所得弦长，∴D选项错误．故选：AC．（多选）10．（5分）如图，已知四面体ABCD的所有棱长都等于2，E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则（）A．B．C．D．【解答】解：由题意得：四面体ABCD为正四面体，故∠BAC＝∠CBD＝60°，故‴㘱，∴A正确；因为E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，所以FG∥AC，EF∥BD，且，，故‴㘱쳌，∴B错误；∵‴㘱，∴C正确；取BD的中点H，连接AH，CH，因为△ABD，△BCD均为等边三角形，所以AH⊥BD，且CH⊥BD，因为AH∩CH＝H，且AH，CH⊂平面ACH，所以BD⊥平面ACH，又AC⊂平面ACH，所以BD⊥AC，所以EF⊥FG， 故，D正确．故选：ACD．（多选）11．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆：＞＞的离心率为，直线l：x+y+4＝0与C没有公共点，且C上至少有一个点到l的距离为，则C的短轴长可能是（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：依题意，椭圆：＞＞的离心率，解得a2＝3b2，椭圆C的方程为x2+3y2＝3b2，设椭圆C上的点쳌‴㘱，㘱h，＜，直线l：x+y+4＝0与C没有公共点，即方程组无实数解，因此方程4x2+24x+48﹣3b2＝0无实根，有Δ＝242﹣48（16﹣b2）＜0，即b2＜4，解得0＜b＜2，因为C上至少有一个点到l的距离为，则有点P到直线l的距离d的最小值不大于，‴㘱㘱h㘱h㘱h㈱，当且仅当，即时取等号，于是得，从而1≤b＜2，有2≤2b＜4，显然选项A，D不满足，选项B，C满足．故选：BC．（多选）12．（5分）将1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数填入如图所示的3×3正方形网格中，每个小方格中只能填一个数，每个数限填一次．考虑网格中每行从左到右、每列从上到下、两条对角线从上到下所填的数各构成一个数列，共计八个数列，则下列结 论中正确的有（）A．这八个数列有可能均为等差数列B．这八个数列中最多有三个等比数列C．若中间一行、中间一列、两条对角线上的数列均为等差数列，则中心小方格中所填的数必为5D．若第一行、第一列上的数列均为等比数列，则其余数列中至多有一个等差数列【解答】解：如图1，将1，2，3，4，5，6，7，8，9填入网格中，则这8个数列均为等差数列，∴A选项正确；∵1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数中，成等比数列的有：1，2，4；{bn}；2，4，8；4，6，9，但1，2，4与2，4，8这两个等比数列不可能在同一列，同一行，或对角线上，∴这8个数列中最多有3个等比数列，比如图2，∴B选项正确；若三个数a，b，c成等差数列，则2b＝a+c，根据题意要有4组数列成等差数列，且中间的b相同，则只能是b＝5，∵2×5＝1+9＝2+8＝3+7＝4+6， 如图3满足要求，∴C选项正确；若第一行为1，2，4，第一列为1，3，9，满足第一行，第一列均为等比数列，第二行为3，5，7，第二列为2，5，8，则第二行和第二列均为等差数列，此时有两个等差数列，∴D选项错误，故选：ABC．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）在空间直角坐标系Oxyz中，已知A（1，1，0），B（﹣1，0，2），点C满足，则点C的坐标为（﹣3，﹣1，4）．【解答】解：设C（x，y，z），则，，，，，，因为，所以（x﹣1，y﹣1，z）＝2（﹣2，﹣1，2）＝（﹣4，﹣2，4），即，得，所以点C的坐标为（﹣3，﹣1，4）．故答案为：（﹣3，﹣1，4）．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2+y2＝1，写出满足条件“过点（3，0）且与圆O相外切”的一个圆的标准方程为（x﹣2）2+y2＝1（答案不唯一）．【解答】解：设满足条件的圆的标准方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0），则有，即，两式相减化简得r＝3a﹣5．不妨取a＝2，则r＝1，b＝0，故满足条件的圆的标准方程为（x﹣2）2+y2＝1．故答案为：（x﹣2）2+y2＝1（答案不唯一）．15．（5分）已知数列{an}的前n项和为Sn，若{an}与均为等差数列且公差不为0，则的值为2． 【解答】解：设数列{an}的公差为d，则an＝a1+（n﹣1）d，，因为数列是等差数列，则有，即，，解得a化简整理得：1＝d，显然d＞0，an＝nd与均为等差数列，，则，所以的值为2．故答案为：2．16．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知A（﹣1，﹣1），B（1，﹣1），C（0，﹣2），直线AM，BM相交于点M，且AM与BM的斜率之差为2，则|MC|的最小值为．【解答】解：设M（x，y）（x≠±1），则l，l，所以，即y＝﹣x2，即动点M的轨迹方程为y＝﹣x2，（x≠±1），所以，所以当时h．故答案为：．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知四边形OABC满足|OA|＝|AB|＝4，∠OAB＝120°，BC⊥OB，OC∥AB．（1）求直线AB的方程；（2）求点C的坐标．【解答】解：（1）由图知∠OAB＝120°，则直线AB的倾斜角为60°，直线AB的斜率l，点A（4，0）， 所以直线AB的方程为，即．（2）因为OC∥AB，则直线OC的方程为，而|OA|＝|AB|＝4，则直线OB的倾斜角为30°，斜率l，直线OB的方程为，由解得，，即点，，又BC⊥OB，则有直线BC斜率l，因此直线BC的方程为，即쳌，由解得，即点，，쳌所以点C的坐标是，．18．（12分）在①S23＝9，S5＝25；②d＝2，且S1，S2，S4成等比数列；③Sn＝3n﹣2n这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答该问题．记等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，已知_____．（1）求{an}的通项公式；（2）令bn，求数列{bn}的前n项和Tn．【解答】解：（1）若选条件①S3＝9，S5＝25，则，解得，∴an＝2n﹣1；若选条件②d＝2，且S1，S2，S4成等比数列，，解得a则，∴1＝1，∴an＝2n﹣1；若选条件③S2n＝3n﹣2n，当n＝1时，a1＝S1＝1；当n≥2时，㈱．又a1＝1满足上式，∴an＝6n﹣5．（2）若选条件①②，由（1）知， ∴，∴数列{bn}的前n项和；若选条件③，由（1）知，∴㈱，∴数列{bn}的前n项和．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，平面ABCD⊥平面PBC，PC＝BC＝2，点E，F分别为AB，PD的中点．（1）求证：쳌；（2）若쳌，求平面FAB与平面PAD夹角的正弦值．【解答】解：（1）证明：∵E，F分别为AB，PD的中点，∴，쳌，∴쳌쳌쳌，∴쳌；（2）∵쳌，∴PC⊥DE，又平面ABCD⊥平面PBC，平面ABCD∩平面PBC＝BC，DC⊥BC，DC⊂面ABCD，∴DC⊥平面PBC，又PC⊂平面PBC，∴DC⊥PC，又DC∩DE＝D，DC，DE⊂平面ABCD，∴PC⊥平面ABCD，又BC⊂平面ABCD，∴PC⊥BC， ∴分别以CB，CD，CP所在直线为x，y，z轴，建系如图，则根据题意可得：A（2，2，0），B（2，0，0），F（0，1，1），P（0，0，2），D（0，2，0），∴，，，，，，，，，设平面FAB的法向量为，，，则，取，，，设平面PAD的法向量为，，，则，取，，，设平面FAB与平面PAD的夹角为θ，则‴㘱‴㘱〈，，∴㘱h‴㘱，∴平面FAB与平面PAD夹角的正弦值为．20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知点，，设动点P到直线的距离为d，且쳌．（1）记点P的轨迹为曲线C，求C的方程；（2）若过点F且斜率为k（k＞0）直线l交C于A，B两点，问在y轴上是否存在点D，使得△ABD为正三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）设点P（x，y），∵쳌， ∴，化简可得x2+4y2＝4，∴C的方程为；（2）设直线：ll＞，，，，，线段AB的中点为M，，联立，可得l쳌ll，l，쳌ll∴l，l，易得Δ＞0，ll∴l，ll，ll即，，ll若△ABD为等边三角形，则MD为线段AB的中垂线，lll即MD的直线方程为，∴，，llllllll又l，，lllllll∴由，可得，lll解得l，∴l，此时，l∴存在点，，使得△ABD为等边三角形．21．（12分）已知数列{an}中的各项均为正数，a1＝2，点，在曲线，为偶数上，数列{bn}满足，记数列{bn}的前n项和为Sn．，为奇数（1）求{bn}的前2n项和S2n；（2）求满足不等式S2n≤b2n﹣1的正整数n的取值集合．【解答】解：（1）根据题意可得，∴an+1﹣an＝1，又a1＝2，∴数列{an}是首项为2，公差为1的等差数列，，l∴a，l∈n＝n+1，，，l∴S2n＝b1+b2+b3+⋯+b2n﹣1+b2n＝（b1+b3+⋯+b2n﹣1）+（b2+b4+⋯+b2n） ＝[（21﹣1）+（22﹣3）+（23﹣5）+⋯+（2n﹣2n+1）]﹣（2+4+6+⋯+2n）n+122﹣2n﹣n﹣2；（2）由（1）知，，由Sn+12n2n≤b2n﹣1，得2﹣2n﹣n﹣2≤2﹣2n+1，n2即2≤2n﹣n+3，设，∴，显然g（1）＜g（2）＝g（3），当n≥3时，0＜g（n+1）＜g（n），∴数列{g（n）}从第3项起是递减的，∵＞，＞，＜，则当n≤6时，有g（n）＞1，쳌∴正整数n的取值集合为{1，2，3，4，5，6}．22．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线：＞，＞的左顶点为A，右焦点为F，离心率为2，且经过点（4，6），点P（x0，y0）是双曲线右支上一动点，过三点A，P，F的圆的圆心为C，点P，C分别在x轴的两侧．（1）求Γ的标准方程；（2）求x0的取值范围；（3）证明：∠ACF＝3∠PCF．【解答】解（1）根据题意可得，解得， ∴Γ的标准方程为；（2）∵A（﹣2，0），F（4，0），∴圆心在直线x＝1上．设C（1，y쳌1），则，即，∵点P，C分别在x轴的两侧，∴y0y1＜0，∴＜，解得＜＜，又点P（x0，y0）是双曲线右支上一动点，且A，P，F三点不共线，∴＜＜；（3）证明：由题意知∠APF＞90°，∴∠PAF与∠AFP均为锐角，∴∠쳌，쳌，쳌又∠쳌쳌쳌，∴2∠PAF＝∠AFP，由平面几何知识易得∠ACP＝2∠AFP＝4∠PAF，∠PCF＝2∠PAF，∴∠ACP＝2∠PCF，∴∠ACF＝3∠PCF．