四川省内江市第二中学2024届高三上学期12月月考数学（文）试题（Word版附解析）

内江二中高2024届高三上第四次月考数学（文科）试题一、选择题（本大题共12题，每题5分，共60分，在每题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1.已知集合，集合，则图中阴影部分所表示的集合为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据集合的定义及集合间的关系求解即可.【详解】阴影部分表示在全集范围内属于集合不属于的集合，故图中阴影部分所表示的集合为.故选：B.2.如果是实数，那么“”是“”的（    　）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据余弦函数性质，结合充分必要条件的判断即可求解.【详解】由可得，但不能得到，比如，但是，故“”是“”的充分不必要条件，故选：A3.已知，则z的虚部为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】 【分析】由复数除法求得后，根据定义可得．【详解】，所以虚部为．故选：C．4.已知向量满足，则与的夹角为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据向量的模长可得，进而由夹角公式即可求解.【详解】由得，将代入可得，所以，所以，由于，所以，故选：B5.己知，则下列说法正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则【答案】B【解析】【分析】由不等式性质可判断选项A，B，C；取特殊值可判断选项D.【详解】对于选项A：当时，若，由不等式性质可知，故选项A错误；对于选项B：由不等式性质可知若，则成立，故选项B正确；对于选项C：当时，若，由不等式性质可知，故选项C错误；对于选项D：当时，，故选项D错误.故选：B6.已知，则（） A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据三角恒等变换的知识化简已知等式，从而求得.【详解】因为，即，两边平方可得，解得.故选：A7.已知等比数列满足，则（）A.1B.3C.4D.15【答案】B【解析】【分析】根据题意结合等比数列的通项公式运算求解.【详解】设的公比为，因为，解得，所以.故选：B.8.如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a，b分别为35、28，则输出的a=（） A.1B.14C.7D.28【答案】C【解析】【分析】由循环结构的特点，先判断，再执行，分别计算出当前的值，即可得到结论.【详解】由，则变为，由，则变为，由，则变为，由，则变为，由，则输出的.故选：C9.已知定义在上的偶函数，满足是奇函数，且当时，，则（）A.B.0C.1D.1012【答案】C【解析】【分析】利用奇偶性求出函数的周期，利用周期可得答案.【详解】因为是偶函数，所以，因为是奇函数，所以.又因为，所以， 即，所以，所以.又当时，，所以，，因为所以.故选：C.10.净水机通过分级过滤的方式使自来水逐步达到纯净水的标准，其工作原理中有多次的棉滤芯过滤，其中第一级过滤一般由孔径为5微米的棉滤芯（聚丙烯熔喷滤芯）构成，其结构是多层式，主要用于去除铁锈、泥沙、悬浮物等各种大颗粒杂质，假设每一层棉滤芯可以过滤掉三分之一的大颗粒杂质，若过滤前水中大颗粒杂质含量为80mg/L，现要满足过滤后水中大颗粒杂质含量不超过2mg/L，则棉滤芯的层数最少为（参考数据：，）（）A.9B.8C.7D.6【答案】A【解析】【分析】首先由条件抽象出经过层棉滤芯过滤后的大颗粒杂质含量的函数，再结合指对运算，解不等式.【详解】设经过层棉滤芯过滤后的大颗粒杂质含量为，则，令，解得，两边取常用对数得，即即，因为，，所以，解得，因为，所以的最小值为9．故选：A11.若函数有最小值，则实数取值范围为（） A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】求导得，分类讨论判断得单调性，进而根据最值分析求解.【详解】由题意可得：∵，则当，则当时恒成立，即∴在上单调递减，则在上无最值，即不成立当，则当时恒成立，即∴在上单调递增，则在上无最值，即不成立当，令，则∴在上单调递增，在单调递减，则在上有最小值，即成立故选：A.12.设，，则的大小关系为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】构造，，求导得到函数单调性，从而得到，故，再构造，，求导得到函数单调性，从而得到，得到，得到答案. 【详解】设，，则在上恒成立，故在上单调递减，又，故，即，故，令，，则在恒成立，故在上单调递增，又，故，即，故，综上：.故选：D二、填空题（本大题共4个小题，每题5分，共20分）13.计算______.【答案】【解析】【分析】根据分数指数幂和换底公式可得.【详解】.故答案为：.14.已知数列的前项和为，则数列的通项公式为__________. 【答案】【解析】【分析】利用求解【详解】数列的前n项和，可得；时，，不满足，则，故答案为：.15.已知曲线与曲线（）相交，且在交点处有相同切线，则______.【答案】【解析】【分析】可先设交点为，利用利用两函数在该点处的函数值和切线斜率相同列方程，可求的值.【详解】易知：必有.设两曲线的交点为，，，由题意：，两式相除得：，∵，∴.代入得：解得a=e2.故答案为：16.在中，过重心的直线交边于点，交边于点（、为不同两点），且，则的最小值为______. 【答案】【解析】【分析】由是的重心，得到，再由三点共线，得到，结合题意，得出方程组求得，结合基本不等式，即可求得的最小值.【详解】如图所示，设边上的中点为，因为是的重心，可得，根据向量的线性运算法则，可得，又因为三点共线，可得，即，可得，因为，可得，所以，整理得，即，其中，则，当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为.故答案为：.三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第12-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）（一）必考题：60分17.已知函数． （1）求的最大值及相应的取值集合：（2）设函数，若在区间上有且仅有1个极值点，求的取值范围．【答案】（1），的取值集合为（2）.【解析】【分析】（1）利用二倍角公式、辅助角公式化简，再利用正弦函数性质求解即得.（2）求出函数解析式，确定相位的范围，再结合极值的意义列式求解即得.【小问1详解】依题意，，当，即时，，此时，的取值集合为．【小问2详解】由（1）知，，当时，，由在区间上有且仅有1个极值点，得，解得，所以的取值范围是．18.记△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知．（1）求角B大小；（2）若点D在边AC上，BD平分∠ABC，，，求线段BD长．【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）根据正弦定理以及二倍角公式得出结果；（2）由角平分线结合面积公式、余弦定理得出结果.【小问1详解】由已知，根据正弦定理，得，因为，所以，故有，即有，因为，所以，则，所以，，则．【小问2详解】依题意，，即，也即为，所以．在△ABC中，根据余弦定理，有，即，解得，或（舍去），所以．19.疫情期间，某校使用视频会议的方式上网课．（1）调查知前7天能完成全部网课的班级数y如下表所示：第t天1234567y3434768已知y与t具有线性相关关系，求y关于t的线性回归方程；（t的系数精确到0.01） （2）假定某天老师甲和学生乙两人需要在本班视频会议中见面，且两人在上午9时至11时的时间段中随机进入本班的视频会议中，求这两人等待不超过0.5小时的概率．参考公式：在线性回归方程中，，参考数据：．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由公式计算线性回归方程；（2）数形结合，求面积型几何概型.【小问1详解】由题可知，，，，，，所以，，所以关于的线性回归方程为．【小问2详解】记9时为0时，11时为2时，设老师甲进入的时间为x，学生乙进入的时间为y，则，其对应的区域如图中正方形所示，若这两人等待不超过0.5小时，则，其对应的区域如图中阴影部分所示． 记“这两人等待不超过0.5小时”为事件A，则．故这两人等待不超过0.5小时的概率为．20.已知数列满足.（1）证明：数列是等比数列.（2）求数列的前项和.【答案】（1）证明见解析（2）.【解析】【分析】（1）利用等比数列的定义，结合的条件即可证明；（2）利用错位相减法求和即可.【小问1详解】证明：因为，所以.又，所以，所以数列是等比数列，且首项为4，公比为2.【小问2详解】解：由（1）知， 即，则.，，则，所以.21.已知函数.（1）求证：函数在区间上为单调递增函数；（2）若函数在上的最大值在区间内，求整数的值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）求导，对导函数因式分解，进而得到导函数大于等于0，得到函数单调递增；（2）求导，结合隐零点得到在上单调递增，在上单调递减，求出的最大值，进而构造函数，得到，得到整数的值.【小问1详解】，当时，，，，∴单调递增；【小问2详解】 ，令，则，所以在上单调递增，因为，，所以存在，使得，即，即，故当时，，当时，，又当时，（等号仅在时成立），所以当时，，当时，（等号仅在时成立），所以在上单调递增，在上单调递减，则，令，，则，，所以在上单调递增，则，，所以，所以.【点睛】隐零点的处理思路：第一步：用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，其中难点是通过合理赋值，敏锐捕捉零点存在的区间，有时还需结合函数单调性明确零点的个数；第二步：虚设零点并确定取范围，抓住零点方程实施代换，如指数与对数互换，超越函数与简单函数的替换，利用同构思想等解决，需要注意的是，代换可能不止一次.（二）选考题：共10分.考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做第一题记分.22.在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为，曲线（为参数）．（1）求的极坐标方程；（2）已知点，曲线的极坐标方程为，与的交点为，与的交点为，，求的面积．【答案】22.23.【解析】【分析】（1）首先将的参数方程化为普通方程，再化为极坐标方程；（2）设点、的极坐标分别为、，即可求出、的极坐标，从而求出，求出点到直线的距离，即可求出面积.【小问1详解】曲线（为参数）消去参数可得，又，代入上式得，整理得，即的极坐标方程为.【小问2详解】设点、的极坐标分别为、，由，解得，即的极坐标为，由，解得，即的极坐标为，所以，又点到曲线的距离为， 所以.23.已知函数．（1）求不等式的解集；（2）记函数的最小值为m，正实数a，b满足，证明：．【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意，结合绝对值不等式的解法，分类讨论，即可求解；（2）由（1）求得函数最小值，得到，解法1：利用三角换元法，结合三角函数的性质，即可求解；解法2：利用柯西不等式得到，即可求解.【小问1详解】解：由题意，可得，当时，不等式，即为，此时不等式无解；当时，不等式，即为，解得；当时，不等式，即为，解得，综上，不等式的解集为．【小问2详解】解：由（1）知，当时，函数为递减函数，可得；当时，函数为递减函数，可得；当时，函数为递增函数，可得，故的最小值，所以， 解法1：令，，则（其中）．解法2：由柯西不等式得，即，