四川省内江市威远中学2023-2024学年高三上学期第三次月考数学（文）试题（Word版附解析）

威远中学校2023-2024学年高三上学期第三次阶段考试数学（文科）数学试题共4页.满分150分.考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上.2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号.3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题:（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；各题答案必须答在答题卡上相应的位置.1.设集合A={-1，0，1，2，3}，B={x|x∈A且-x∈A}，则集合B中元素的个数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】【分析】根据集合A={-1，0，1，2，3}，B={x|x∈A且-x∈A}，即集合B中的元素有0，1，-1．【详解】解：由于集合A={-1，0，1，2，3}，B={x|x∈A且-x∈A}，∵-1∈A且1∈A，0的相反数是0，0∈A∴-1∈B，1∈B，0∈B．∴B={-1，0，1}故B中元素个数为3个；故选C．【点睛】本题考查了元素与集合的关系，属于基础题．2.已知为复数单位，，则模为（）A.B.1C.2D.4【答案】A【解析】【分析】根据复数运算的乘除法则，结合复数相等的定义可求得，进而可求得，再结合模长公式即可求解. 【详解】由可得，所以，所以，则.故选：A.3.已知，则（　　）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先由sinα=求出cos2α，然后利用诱导公式和余弦和差公式化简cos（﹣2α），并将值代入即可．【详解】∵sinα=∴cos2α=1﹣sin2α=cos（﹣2α）=﹣cos2α=﹣（cos2α﹣sin2α）=﹣故选C．【点睛】本题考查了二倍角的余弦，要熟练掌握三角函数的有关公式，属于基础题．4.实数a，b满足，则下列不等式成立的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】举反例即可判定ABD，由，得出，利用指数函数的性质即可判定C.【详解】取,满足,但,所以A错误；取,满足,但，所以B错误；若，则,,所以C正确；取,则,所以D错误.故选:C.5.在等比数列中，，是方程两根，若，则m的值为（） A.3B.9C.D.【答案】B【解析】【分析】根据韦达定理可得，结合等比数列的性质即可求解.【详解】因为，是方程两根，所以，即，在等比数列中，，又，所以，因为，所以，所以.故选：B.6.在如图所示的程序框图中，程序运行的结果为3840，那么判断框中可以填入的关于的判断条件是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】模拟程序的运行过程，即可得出判断框中应填入的判断条件.【详解】模拟程序的运行过程，如下：程序进行第一次循环：，此时，继续运行.程序进行第二次循环：，此时，继续运行.程序进行第三次循环：，此时，继续运行.程序进行第四次循环：，此时，结束运行. 所以时，程序退出循环，而时，程序运行不退出循环.结合选项分析可得：选项C满足.故选：C7.函数的大致图象是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先判断函数的奇偶性即可排除选项；再利用特殊值即可排除选项，进而求解.【详解】函数的定义域为，且，所以是奇函数，图象关于原点对称，排除选项，只需研究的图象，当时，，则，排除选项.故选：．8.已知函数，若，都有，则实数的取值范围是（）．A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先判断函数的奇偶性和单调性，再根据函数的奇偶性和单调性解不等式即可. 【详解】当时，且函数为增函数，当时，则，则，当时，且函数为增函数，此时，则，所以函数是上的增函数，且为奇函数，则，即为，所以对恒成立，即对恒成立，当时，，所以，所以实数的取值范围是.故选：D.9.已知，，，，若存在非零实数使得，则的最小值为（）A.8B.9C.10D.12【答案】B【解析】【分析】根据向量共线的坐标表示可得，再结合基本不等式中的巧用“1”即可求解.【详解】若存在非零实数使得，即，又，，所以，即，所以，当且仅当，即时，等号成立.所以的最小值为.故选：B10. 剪纸艺术是中国最古老的民间艺术之一，作为一种镂空艺术，它能给人以视觉上的艺术享受．在如图所示的圆形图案中有12个树叶状图形（即图中阴影部分），构成树叶状图形的圆弧均相同．若在圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（　　）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用扇形知识先求出阴影部分的面积，结合几何概型求解方法可得概率.【详解】设圆的半径为r，如图所示，12片树叶是由24个相同的弓形组成，且弓形AmB的面积为．∴所求的概率为P=．故选B．【点睛】本题主要考查几何概型的求解，侧重考查数学建模的核心素养.11.已知函数，其在一个周期内的图象分别与x轴、y轴交于点A、点B，并与过点A的直线相交于另外两点C、D.设O为坐标原点，则（） A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据图象结合三角函数求点，进而求，即可得结果.【详解】因，可得，即，由图可知：点A为减区间的对称中心，令，解得，取，则，即，可得，因为点A为线段CD的中点，则，所以.故选：B.12.已知正数，，满足，，，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】 【分析】先根据对数函数的单调性判断，分别造函数和，利用导数判断函数的单调性，从而得出，，进而求解即可.【详解】；构造，则，令，即解得：，所以函数在上单调递增，则，即，所以，构造，则，令，即，解得：，所以函数在上单调递减，则，即，所以，综上可知：，故选：.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）各题答案必须填写在答题卡相应的位置上.13.设满足约束条件，则的最大值为__．【答案】4【解析】【分析】根据可行域结合几何意义求最值.【详解】作出可行域如下， 由可得，当直线过点时，最小，则最大，此时.故答案为:4.14.已知，点，则向量在方向上的投影为________．【答案】【解析】【分析】根据投影的计算公式即可求解.【详解】由点，得，所以向量在方向上的投影为：．故答案为:.15.南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层有1个球，第2层有3个球，第3层有6个球，…，则第100层球的个数______．【答案】【解析】 【分析】设第层的个数为，根据题意可得，然后利用等差数列求和即可求解.【详解】设第层的个数为，根据题意可得，所以，故答案为：.16.已知函数是R上的奇函数，对任意，都有成立，当，且时，都有，有下列命题：①；②函数图象关于直线对称；③函数在上有5个零点；④函数在上为减函数．则以上结论正确的是___________．【答案】①②【解析】【分析】由题意分析的对称性、单调性、周期性，对结论逐一判断.【详解】根据题意，函数是上的奇函数，则；由得，即所以是函数的一条对称轴；又由为奇函数，则，变形可得，则有，故函数是周期为4的周期函数，当，且时，都有，则函数在区间上为增函数，又由是上的奇函数，则在区间上单调递增；据此分析选项：对于①，，则， ，故①正确；对于②，是函数的一条对称轴，且函数是周期为4的周期函数，则是函数的一条对称轴，又由函数为奇函数，则直线是函数图象的一条对称轴，故②正确；对于③，函数在上有7个零点：分别为，，，0，2，4，6，故③错误；对于④，在区间上为增函数且其周期为4，函数在上为增函数，故④错误；故答案为：①②．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.2020年是具有里程碑意义的一年，我们将全面建成小康社会，实现第一个百年奋斗目标．2020年也是脱贫攻坚决战决胜之年（总书记2020年新年贺词）．某贫困地区截至2019年底，按照农村家庭人均年纯收入8000元的小康标准，该地区仅剩部分家庭尚未实现小康．现从这些尚未实现小康的家庭中随机抽取50户，得到这50户家庭2019年的家庭人均年纯收入的频率分布直方图．（1）求出频率分布直方图中的a的值，并求出这50户家庭人均年纯收入的平均数；（同一组数据用该区间的中点值作代表）（2）2020年1月，统计了该地的一个家庭2019年7~12月的该家庭人均月纯收入如下表：月份/2019（时间代码x）123456人均月纯收入入y（元）275365415450470485由散点图发现：家庭人均月纯收入y与时间代码x之间具有较强的线性相关关系，求出回归直线方程；并估计2020年3月份（即时间代码x取9）该家庭人均月纯收入为多少元？ 参考数据：；；线性回归方程中，，．【答案】（1），4.72（2），630（元）【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图求解；（2）最小二乘法求回归直线方程,并利用回归方程估计.【小问1详解】，平均数.【小问2详解】，，，，，所以回归直线方程为：，当时，（元）。18.设函数.（1）求函数的最小正周期及图象的对称轴；（2）在锐角中，若，且能盖住的最小圆的面积为，求的取值范围. 【答案】（1）最小正周期为，对称轴方程是直线，（2）【解析】【分析】（1）根据三角恒等变换，化简得出，进而得出周期.解，，即可得出函数的对称轴；（2）根据已知可推得，的外接圆半径，进而根据正弦定理可得出，化简得出.然后根据已知得出的范围，结合正弦函数的图象与性质，即可得出答案.【小问1详解】因为，所以函数的最小正周期，令，，解得，，所以对称轴方程是直线，.【小问2详解】因为为锐角三角形，所以，.因为，所以，所以，所以.因为能盖住的最小圆为的外接圆，设半径为，所以，得. 由正弦定理可得，可得，，.所以，因为为锐角三角形，所以，即，解得，所以，根据正弦函数的图象以及性质可知，所以，所以的取值范围是.19.已知函数在处有极值-1.（1）求的值；（2）若函数在上单调递增，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出函数的导数，根据题意可列出相应方程，即可求得的值，验证后即可确定答案；（2）由题意得在上恒成立，继而参变分离得在内恒成立.，构造函数，求出函数的最小值，即可求得答案.【小问1详解】 由题意知，因为在处取得极值-1，所以，解得，即，，当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增，即在处取得极小值-1，符合题意，故.【小问2详解】在上恒成立，即在内恒成立.令，则，令，得或，令，得或，所以在和上单调递增，在上单调递减，因为，所以，所以，经验证时，，即符合题意，即的取值范围为.【点睛】方法点睛：解答第二问根据函数的单调区间求解参数取值范围，得到不等式在上恒成立，即可参变分离，转化为不等式在内恒成立，继而构造函数，将问题转化为求解函数的最值问题.20.已知等差数列的前项和为，公差，且，，，成等比数列． （1）求数列的通项公式；（2）设是首项为1，公比为3的等比数列，①求数列的前项和；②若不等式对一切恒成立，求实数的最大值．【答案】20.；21.①；②．【解析】【分析】（1）根据等差数列通项公式与前n项和公式，结合等比中项进行求解；（2）①先计算的通项公式，再用错位相减法求解；②代入，得到对一切恒成立，构造函数，再求的最小值，即可求得结果.【小问1详解】依题意得，解得，，即．【小问2详解】①，，，，所以．．②由（1）易求得，所以不等式对一切恒成立， 即转化为对一切恒成立，令，则，又，当时，；时，，所以，且，则．所以实数的最大值为．21.已知，是的导函数，其中．（1）讨论函数的单调性；（2）设，与x轴负半轴的交点为点P，在点P处的切线方程为．求证：对于任意的实数x，都有.【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用导数与单调性的关系求解；（2）利用导函数与单调性、最值的关系证明不等式.【小问1详解】由题意得，令，则，当时，，函数在上单调递增；当时，，得，，得，所以函数在上单调递减，在上单调递增．【小问2详解】证明：由（1）可知，令，有或，故曲线与x轴负半轴的唯一交点P为．曲线在点处的切线方程为， 则，令，则，所以，当时，若，，若，令，则，故在时单调递增，．故，上单调递减，当时，由知在时单调递增，，在上单调递增，所以，即成立．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-4：坐标系与参数方程22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）．（1）求和的直角坐标方程；（2）若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求．【答案】（1）；当时，直线的直角坐标方程为，当时，直线的参数方程为．（2）【解析】【分析】（1）利用平方法，结合同角三角函数关系式进行求解即可； （2）根据直线参数方程中参数的几何意义进行求解即可.【小问1详解】，，曲线的直角坐标方程为；当时，，当时，可得直线的参数方程为；【小问2详解】将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，整理可得：．①因为所以曲线截直线所得线段的中点在椭圆内，则方程①有两解，设为，则，故，解得的倾斜角为．选修4-5：不等式选讲23.已知.（1）求的最小值M；（2）关于的不等式有解，求实数的取值范围.【答案】（1）3（2）【解析】 【分析】（1）确定，，，相加得到答案.（2）根据得到，解得答案.【小问1详解】，则，，，则，所以，当且仅当时等号成立，的最小值为．【小问2详解】，当且仅当且时取最大值．的最大值为，