四川省内江市威远县威远中学2023-2024学年高三数学（文）上学期9月月考试题（Word版附解析）

威远中学校2023-2024学年高三上学期月考数学（文科）2023.9.22数学试题共4页.满分150分.考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上.2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号.3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题.（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）1.设集合A＝{x|x2﹣x﹣2＞0}，B＝{x|0＜＜2}，则A∩B＝（　　）A.（2，4）B.（1，1）C.（﹣1，4）D.（1，4）【答案】A【解析】【分析】可求出集合，，然后进行交集的运算即可．【详解】A＝{x|x＜﹣1或x＞2}，B＝{x|1＜x＜4}；∴A∩B＝（2，4）．故选A．【点睛】本题主要考查描述法、区间的定义，一元二次不等式的解法，对数函数的单调性，以及交集的运算．2.为虚数单位，复数满足，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据复数的四则运算可得复数，进而可得. 【详解】由，得，所以，故选：B.3.已知向量，，则（）A.2B.3C.4D.5【答案】D【解析】【分析】根据向量坐标运算及模长公式求解即可.【详解】，，，.故选：D.4.已知为奇函数，且时，，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由奇函数性质及解析式求解即可.【详解】为奇函数，且时，，.故选：D5.已知x，y满足约束条件，则目标函数的最小值为（）．A.B.C.2D.4【答案】B【解析】【分析】画出可行域及目标函数，利用几何意义求出最小值. 【详解】画出约束条件表示的平面区域，如图中阴影部分所示．目标函数，即，平移直线，当其过点A时纵截距最小，即z最小．由，可得即点，所以．故选：B6.已知命题：函数在上是减函数，命题：恒成立，则是的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】利用二次函数的性质、基本不等式求得两个命题，再利用充分与必要条件的相关定义判定即可.【详解】易知函数的对称轴为，即函数的单调递减区间为，故，命题，；又恒成立等价于，由基本不等式可知，当且仅当时取得等号，即，命题，显然，即可以推出不能推出，故是的充分不必要条件.故选：A 7.函数的图象大致是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】分析函数的奇偶性排除两个选项，再利用时，值为正即可判断作答.【详解】函数定义域为R，，即是奇函数，A，B不满足；当时，即，则，而，因此，D不满足，C满足.故选：C8.设，，，则，，的大小关系是．A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据所给的对数式和指数式的特征可以采用中间值比较法，进行比较大小.【详解】因为，故本题选C.【点睛】本题考查了利用对数函数、指数函数的单调性比较指数式、对数式大小的问题.9.赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的）.类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间 的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】在中，由余弦定理求出，从而根据两个等边三角形的面积比求得所求概率.【详解】在中，，，，由余弦定理，得，所以，所以所求概率为.所以本题答案为A.【点睛】本题考查几何概型和余弦定理应用，本题关键在于利用余弦定理求出，属中档题.10.已知函数，则下列结论成立的是（）A.的最小正周期为B.的图象关于直线对称C.的最小值与最大值之和为0D.在上单调递增【答案】B【解析】【分析】对于根据即可求出；对于可根据函数在对称轴处取的最值验证；对于利用解析式可直接求得最大和最小值，验证即可；对于可求得函数的单调增区间，验证即可.【详解】对于,的最小正周期为,故错误； 对于，2为最大值，所以的图象关于直线对称，故正确；对于依据函数解析式得故错误；对于令，解得令，得的一个增区间为，故在上为减函数，在上为增函数，故错误.故选：11.已知函数是上的偶函数，，当时，，则（）A.的图象关于直线对称B.4是的一个周期C.在上单调递减D.：【答案】A【解析】【分析】易得为奇函数，利用函数的周期性与奇偶性结合选项逐个判断即可.【详解】由题知，因为函数是上的偶函数，所以为奇函数，所以对于A：因为所以，从而所以所以的图象关于直线对称，A选项正确； 对于B：由A知所以，从而所以是以8为周期的函数，B选项错误；对于C：当时，为增函数，又因为为奇函数所以在上单调递增，C选项错误；对于D：因为所以又因为在上单调递增所以，D选项错误；故选：A.12.已知函数(，e为自然对数的底数)与的图象上存在关于直线对称的点，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据题意可将问题转化为方程在上有解，分离参数可得，令，利用导数求出值域即可求解.【详解】因为函数()与的图象上存在关于直线对称的点， 则函数(，e为自然对数的底数)与函数的图象有交点，即在上有解，即在上有解，令，（），，当时，，函数为减函数，当时，，函数增函数，故时，函数取得最小值，当时，，当时，，故实数的取值范围是.故选：A【点睛】本题考查了利用导数求函数的最值，考查了转化与化归的思想，考查了计算求解能力，属于中档题.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.13.值是_________．【答案】【解析】【分析】根据指数与对数运算性质计算即可. 【详解】.故答案为：-214.函数的值域为__________【答案】【解析】【分析】根据二次函数的单调性直接求解即可.【详解】为开口方向向上，对称轴为的抛物线，上单调递减，在上单调递增，当时，；当时，，的值域为.故答案为：.15.已知，若数列的前项和为，则的取值范围为___________.【答案】【解析】【分析】利用裂项相消法进行求解即可.【详解】因为，所以，因此，所以的取值范围为故答案为： 16.已知函数的图象经过四个象限，则实数的取值范围为______.【答案】【解析】【分析】求导，分，与三种情况，结合函数极值及函数图象的走势，得到不等式，求出实数a的取值范围.【详解】由函数，则，当时，不经过三四象限，不合题意，舍去，当时，由得或，若，则当或时，，单调递增，当时，，单调递减，故在处取得极大值，且极大值为，故经过第二象限，在处取得极小值，且极小值为，函数一定过第三和第一象限，要想经过第四象限，只需，解得；若，则当或时，，单调递减，当时，，单调递增，故在处取得极小值，且极小值为，在处取得极大值，且极大值为，故经过第一象限，函数一定过第二和第四象限，要想经过第三象限，只需，解得，综上，实数a的取值范围是.故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考查用导数研究函数的单调性与极值，利用函数图象的变化趋势后得出极值满足的性质，从而求解.三、解答题（本题共计6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）. 17.近日，某市市民体育锻炼的热情空前高涨．某学生兴趣小组在月日随机抽取了该市人，并对其当天体育锻炼时间进行了调查，如图是根据调查结果绘制的体育锻炼时间的频率分布直方图，锻炼时间不少于分钟的人称为“运动达人”．（1）估算这人当天体育锻炼时间的众数和平均数（每组中的数据用组中值代替）；（2）根据已知条件完成下面的列联表，并据此判断是否有的把握认为“运动达人”与性别有关．非“运动达人”“运动达人”合计男性女性合计附：，，临界值表：0.050.013.8416.635【答案】（1）众数为35，平均数为（2）填表见解析；没有的把握认为“运动达人”与性别有关【解析】【分析】（1）由频率分布直方图求众数与平均数知识可得答案；（2）由题目数据可完成列联表，后由独立性检验知识可得答案.【小问1详解】（1）由众数的定义可知，这人当天体育锻炼时间的众数为的组中值，即35，设这人当天体育锻炼时间的平均数为； 则；【小问2详解】根据已知条件，列联表如下：非“运动达人”“运动达人”合计男性女性合计根据列联表中的数据有，所以没有的把握认为“运动达人”与性别有关．18.等比数列的各项均为正数，且，.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据等比数列的通项公式，结合等比数列的下标性质进行求解即可；（2）利用错位相减法进行求解即可.【详解】解：（1）设数列的公比为，则，由得：，所以.由，得到所以数列的通项公式为.（2）由条件知， 又将以上两式相减得所以.19.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.（1）求B；（2）若，的面积为，求的周长.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据正弦定理以及两角和的正弦公式即可求出，进而求出；（2）根据余弦定理可得到，再根据三角形面积公式得到，即可求出，进而求出的周长.【详解】解：（1），由正弦定理得：，整理得：，∵在中，，∴，即，∴，即；（2）由余弦定理得：，∴， ∵，∴，∴，∴，∴的周长为.20.已知函数.（1）求的最值；（2）求曲线过点的切线方程.【答案】（1）最小值为，无最大值（2）【解析】【分析】（1）求出函数的定义域，得出导函数，根据导函数得出函数的单调性，即可得出答案；（2）设切点为，根据导数的几何意义得出斜率.根据已知结合斜率的公式即可得出.联立得出方程，求出方程的根，得出切点坐标以及斜率，代入点斜式方程，即可得出答案.【小问1详解】由已知可得，的定义域为，且.当时，，则在上单调递减；当时，，则在上单调递增.所以，在处取得唯一极小值，也是最小值.所以，的最小值为，无最大值.【小问2详解】 设切点为，则根据导数的几何意义可知，曲线在处的斜率，则，所以，，整理可得，.设，则在上恒成立，所以，在上单调递增.又，所以存在唯一解.所以，的解为，切点，此时斜率为，切线方程为，整理可得，切线方程为.21.已知函数.（1）若为的极小值点，求实数的值；（2）已知集合，集合，若，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求导，由求出，再进行检验即可；（2）转化为当时，恒有，求导，分与两种情况，求出满足要求， 时不合要求，从而得到答案.【小问1详解】，由题可知，，当时，，当时，；当时，，故满足为极小值点.【小问2详解】由题意，即当时，恒有，即有，显然，，当，即时，恒成立，所以在单调递增，，即时满足恒成立；当即时，由得，其中，由得，所以时，单调递减，所以时，与题设矛盾.综上，的取值范围是.【点睛】方法点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法,使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程 22.在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆的方程为.（1）写出直线的普通方程和圆的直角坐标方程；（2）若点坐标为，圆与直线交于、两点，求的值.【答案】（1）直线的普通方程为，圆的直角坐标方程为；（2）.【解析】【分析】（1）在直线的参数方程中消去参数可得出直线的普通方程，在圆的极坐标方程两边同时乘以，由可将圆的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设点、对应的参数分别为、，将直线的参数方程代入圆的直角坐标方程，列出韦达定理，利用直线参数方程的几何意义可求得的值.【详解】（1）在直线的参数方程中消去参数，可得直线的普通方程为，在圆的极坐标方程两边同时乘以，可得，由可得圆的直角坐标方程为，即；（2）设点、对应的参数分别为、，将直线的参数方程代入圆的直角坐标方程得，即，，由韦达定理得，，又直线过点，所以.【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与普通方程之间的相互转化，同时也考查了利用直线参数方程的几何意义求值，考查计算能力，属于中等题.选修4-5.：不等式选讲23.已知函数f(x)=2|x+1|+|x-2|. （1）求f(x)的最小值m；（2）若a，b，c均为正实数，且满足a+b+c=m，求证：.【答案】（1）3；（2）证明详见解析.【解析】【分析】（1）分段讨论去绝对值可得到值域，从而得到最小值；（2）配凑成形式，再利用均值不等式求最值即可.【详解】（1）当x<-1时，；当–1≤x<2时，；当x≥2时，；综上，f(x)最小值m=3；（2）由（1）知m=3，因为a，b，c均为正实数，且满足a+b+c=3，，当且仅当a=b=c=1时，等号成立，所以即.【点睛】本题考查了分段函数的定义域、值域及求最小值的问题，考查了利用基本不等式求最值的问题，注意等号成立的条件.