四川省 2023-2024学年高三数学（理）上学期9月月考试题（Word版附解析）

江油中学2021级高三上9月月考数学（理）试题第I卷（选择题）一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据题意理解集合A，B，进而结合交集的概念分析判断.【详解】因为集合A是2的倍数组成的集合，集合B是3的倍数组成的集合，可得集合A与集合B的公共元素为6的倍数，所以.故选：D.2.已知命题，命题，则（）A.“”是假命题B.“”是真命题C.“”假命题D.“”是真命题【答案】D【解析】【分析】先判断命题、命题的真假，再根据复合命题的真假判定，结合选项即可求解.【详解】命题，如：当时，不等式成立，所以为真命题，为假命题；命题，当时，不等式不成立，所以为假命题，为真命题，故“”是真命题，“”是假命题，“”是真命题，“”是真命题， 故选：D.3.《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章涉及到了弧田面积的计算问题，如图所示，弧田是由弧AB和弦AB所围成的图中阴影部分，若弧田所在圆的半径为2，圆心角为，则此弧田的面积为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】过点作，垂足为，求得，，分别求得扇形的面积和的面积，结合，即可求解.【详解】解：由弧田所在圆的半径为2，圆心角为，如图所示，过点作，垂足为，可得，可得扇形的面积为，的面积为，所以此弧田的面积为.故选：A.4.函数的图象大致形状为（）． A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】首先判断函数的奇偶性，再判断时，函数值的正负，判断得选项.【详解】因为，所以，，所以函数是偶函数，关于轴对称，排除C，D，令，则或，解得，而时，，，，此时.故排除A.故选：B．【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.5.已知，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据反例可判断AC，根据不等式的性质，结合函数的单调性即可判断BD.详解】对于A，若，显然满足，但不能得到，故A错误，对于B，由于，所以，又为单调递增函数，所以，故B错误，对于C，若，显然满足，，故C错误，对于D，若，则，函数在上单调递增，所以，当，则，函数在上单调递增，所以，当，则，综上可知D正确，故选：D6.如图的程序框图的算法思路源于欧几里得在公元前300年左右提出的“辗转相除法”．执行该程序框图，若输入，则输出的值为（） A.4B.37C.148D.333【答案】B【解析】【分析】利用辗转相除法求1813和333的最大公约数.【详解】题中程序框图为辗转相除法求1813和333的最大公约数.因为，，，所以1813和333的最大公约数为37.故选：B.7.已知函数，若，则（）A.B.C.D.1【答案】A【解析】【分析】根据分段函数每段都是单调的可知，且，代入解析式求解即可.【详解】由可知函数每段上都为减函数，所以由可知，且 所以，解得.故选：A8.已知命题p：函数在上单调递减；命题，都有．若为真命题，为假，则实数a的取值范围为（）．A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据题意求出为真命题时的范围，进而根据中一真一假分两类情况讨论即可求解.【详解】若命题p为真，则，若为真，则，由于为真命题，为假，则中一真一假若真假，则满足：；若真假，则满足：，此时无解，综上故选：A9.函数在区间上单调递减的必要不充分条件是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由复合函数的单调性与充分必要条件的概念判断，【详解】设． ∵在上单调递减，∴由复合函数的单调性法则可知，在上单调递减，且在上恒成立．（注意对数的真数在上大于0）又在上单调递减，（若函数在上单调递减，则）∴解得．则可得函数在区间上单调递减的充要条件是．而所求的是函数在区间上单调递减的必要不充分条件，故只需看是哪一个的真子集，故选：C10.已知二次函数，且不等式的解集为.若不等式在上有解，则实数的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据不等式解集端点为对应方程的根求出，由原不等式分离参数后换元，再由均值不等式求最值即可得解.【详解】的解集为，方程的两根为1和3，，解得，所以由可得，， ，设，则有解，，当且仅当，即时取得最大值.，即实数的取值范围为.故选：B11.若函数满足，且时，，已知函数则函数在区间内的零点个数为（）A.14B.13C.12D.11【答案】C【解析】【分析】由题设易知是周期为2函数，结合函数解析式画出、的函数图象，判断它们在的交点个数即可.【详解】因为，则，所以是周期为2函数，因为时，则、的图象如下：时且递增，时且递减，时且递增，又，，，由图知：区间上函数交点共有12个．故选：C． 12.已知，，，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】构造函数，利用导数研究其单调性，从而得到；再构造函数，进而得到，由此得解.【详解】令，，则，故在上单调递减，所以，即，即，故；令，则，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，令，所以，所以在上单调递增，，所以，所以；综上：.故选：C.【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极（最）值问题处理．第II卷（非选择题）二､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上.13.设函数________． 【答案】【解析】【分析】利用分段函数的解析式求出和再相加可得结果.【详解】，，，.故答案为：.14.若，则_________．【答案】0【解析】【详解】设.则.15.定义在上的函数满足是偶函数，且，若，则______【答案】##【解析】【分析】由已知结合函数的奇偶性及对称性可求出函数的周期，然后结合周期，利用赋值法即可求得结果.【详解】因为是偶函数，所以，因为，所以，所以，所以， 所以的周期为6，因为，，所以，所以，所以，所以，故答案为：16.已知函数，若函数有四个不同的零点、、、，且，则以下结论正确的是_____.①；②；③；④.【答案】①②④【解析】【分析】设，其中，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可判断②的正误；分析可知，结合基本不等式可判断①的正误；构造函数，利用导数分析函数在上的单调性，可判断③④的正误.【详解】设，其中，则，当时，，此时函数单调递增，当时，，此时函数单调递减，所以，函数的极大值为，且当时，， 作出函数、的图象如下图所示：由图可知，当时，直线与函数的图象有四个交点，②对；因为，则，由图可知，则，所以，，①对；令，其中，由图可知，，当时，，则，此时函数单调递减，所以，，即，因为，，且函数在上单调递减，所以，，则，故，③错④对.故答案为：①②④.【点睛】方法点睛：证明极值点偏移的相关问题，一般有以下几种方法：（1）证明（或）：①首先构造函数，求导，确定函数和函数的单调性；②确定两个零点，且，由函数值与的大小关系，得与零进行大小比较；③再由函数在区间上单调性得到与的大小，从而证明相应问题；（2）证明（或）（、都为正数）： ①首先构造函数，求导，确定函数和函数的单调性；②确定两个零点，且，由函数值与的大小关系，得与零进行大小比较；③再由函数在区间上的单调性得到与的大小，从而证明相应问题；（3）应用对数平均不等式证明极值点偏移：①由题中等式中产生对数；②将所得含对数的等式进行变形得到；③利用对数平均不等式来证明相应的问题.三､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.（一）必考题：（本大题共5小题，每小题12分，共60分）17.在平面直角坐标系中，角以Ox为始边，它的终边与单位圆交于第二象限内的点.（1）若，求及的值；（2）若，求点的坐标.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根据三角函数定义以及三角函数诱导公式直接计算求解即可；（2）根据同角三角函数关系的转化求得进而求解即可.【小问1详解】若角以Ox为始边，它的终边与单位圆交于第二象限内的点， 若，则，则，可得【小问2详解】由题意知，又，①两边平方，可得，可得，可得，②联立①②，可得所以点P的坐标为18.已知函数在处取得极值0.（1）求；（2）若过点存在三条直线与曲线相切，求买数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】分析】（1）根据题意可得，即可得解；（2）切点坐标为，根据导数的几何意义可得切线方程为，从而可得，再根据过点存在3条直线与曲线相切，等价于关于的方程有三个不同的根，利用导数求出函数的单调区间及极值，即可得解. 【小问1详解】由题意知，因为函数在处取得极值0，所以，解得，经检验，符合题意，所以；【小问2详解】由（1）可知，函数，所以，设切点坐标为，所以切线方程为，因为切线过点，所以，即，令，则，令，解得，或，当变化时，的变化情况如下表所示，1-0+0-单调递减单调递增0单调递减因此，当时，有极小值，当时，有极大值，过点存在3条直线与曲线相切，等价于关于的方程有三个不同的根，则，所以实数的取值范围是. 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.19.“硬科技”是以人工智能，航空航天，生物技术，光电芯片，信息技术，新材料，新能源，智能制造等为代表的高精尖技术，属于由科技创新构成的物理世界，是需长期投入，持续积累才能形成的原创技术，具有极高技术门槛和技术壁垒，难以被复制和模仿.最近十年，我国的一大批自主创新的企业都在打造自己的科技品牌，某高科技企业自主研发了一款具有自主知识产权的高级设备，并从2024年起全面发售，假设该高级设备的年产量为x百台，经测算，生产该高级设备每年需投入固完成本1500万元，最多能够生产80百台，每生产一百台台高级设备需要另投成本万元，且，每台高级设备售价为2万元，假设每年生产的高级设备能够全部售出.（1）求企业获得年利润（万元）关于年产量x（百台）的函数关系式（利润销售收入成本）；（2）当该产品年产量为多少时，企业所获年利润最大？并求最大年利润.【答案】（1）（2）当年产量为60百台时，公司获利最大，且最大利润为1250万元【解析】【分析】（1）由条件根据利润和销售收入，成本之间的关系求出年利润与年产量之间的关系；（2）分区间，结合二次函数性质和基本不等式求年利润的最大值.【小问1详解】∵，∴当时， .当时，.综上所述，.【小问2详解】由（1）得∴当时，∴当时，（万元）当时，（万元）当且仅当，即时等号成立.又.故当年产量为60百台时，公司获利最大，且最大利润为1250万元.20.已知函数=（m）是定义在R上的奇函数（1）求m的值（2）根据函数单调性的定义证明在R上单调递增（备注：>0）（3）若对，不等式)0恒成立，求实数k的取值范围.【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）．【解析】【分析】（1）由奇函数性质求得参数值，再验证符合题意即可；（2）根据单调性的定义证明；（3）由奇函数化不等式为，再由增函数化为，然后由一元二次 不等式恒成立得结论．【小问1详解】是奇函数，∴，，时，，满足，是奇函数，所以；【小问2详解】设任意两个实数满足，则，∵，∴，，∴，即，所以在R上为单调递增；【小问3详解】原不等式化为，∵是奇函数，∴不等式化为，又是增函数，所以，∴问题转化，恒成立，设，，，即时，，．，即时，，无解；，即时，，无解；综上，．【点睛】方法点睛：关于具有奇偶性和单调性函数的不等式恒成立问题，解题方法是利用奇偶性化不等式为，再由单调性化去“”，转化为一般的不等式，如一元二次不等式恒成立问题，再根据不等式的知识求得参数范围． 21.已知函数.（1）当时，求函数在区间上的最大值；（2）若为函数的极值点，求证：【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求定义域，求导，得到函数的单调性，分，和三种情况，求解函数在上的最大值；（2）根据极值点定义得到，要证，只需证，令，得到单调性，从而求出，分和两种情况，结合放缩法，构造函数法进行证明.【小问1详解】定义域为，则，当时，，，所以单调递增区间为，单调递减区间为；若，即时，在上单调递减，故；若，即时，在上单调递增，在上单调递减，故； 若，即时，则在上单调递增，故.所以，；【小问2详解】（），则，因为是函数的极值点，所以，即，要证，只需证，即证：，令，则，当时，，单调递增；当时，，单调递减；所以，即：，所以，所以，①当时，因为，，所以.②当时，因为，所以，所以，要证，只需证，即证对任意的恒成立，令（），则，当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以，即当时，成立.综上：原不等式成立.【点睛】思路点睛：隐零点的处理思路：第一步：用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，其中难点是通过合理赋值，敏锐捕捉零点存在的区间，有时还需结合函数单调性明确零点的个数；第二步：虚设零点并确定取范围，抓住零点方程实施代换，如指数与对数互换，超越函数与简单函数的替换，利用同构思想等解决，需要注意的是，代换可能不止一次.（二）选考题（共10分，请在第22､23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题记分）22.在极坐标系中，是经过点且倾斜角为的直线，曲线的极坐标方程为．（1）求的极坐标方程；（2）若曲线的极坐标方程为，设与和的交点分别为，，求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求的直角坐标方程，再化为极坐标方程；（2）通过联立方程组，，由可求值.【小问1详解】由题意得的直角坐标方程为，即，化为极坐标方程为，化简得.【小问2详解】曲线的极坐标方程为，设与和的交点分别为，， 由，解得，由，解得，所以.23.已知函数.（1）若时，恒成立，求的取值范围；（2）若的最小值为1，求的值.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）分类讨论，可知且当时，恒成立，利用端点值的大小关系列式可求出结果；（2）分类讨论，去绝对值将化为分段函数，求出其最小值，结合已知最小值列式，可求出结果.【小问1详解】当时，因为，所以，，不合题意；当时，由，得，得，，因为时，恒成立，所以，解得.【小问2详解】， 因为，令，得；令，得，若，则，则，则在上为减函数，在上为增函数，在上为增函数，所以，解得；若，则，，不符合题意；当时，，则，则在上为减函数，在上为增函数，在上为增函数，所以，解得；当时，，则，则在上为减函数，在上为减函数，在上为增函数，所以，不符合题意；