四川省资阳市雁江区伍隍中学2023-2024学年高三数学（理）上学期9月月考试题（Word版附解析）

伍隍中学2021级高三9月月考试题数学（理科）一、选择题1.设集合，则（）A.RB.C.D.【答案】C【解析】【分析】解出A、B，求并集.【详解】解：，故选：C2.已知复数z满足，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用复数的除法可求答案.【详解】因，所以.故选：A3.某车间加工零件的数量与加工时间的统计数据如表：零件数（个）182022加工时间（分）273033 现已求得上表数据的回归方程中的值为0.9，则据此回归模型可以预测，加工100个零件所需要的加工时间约为（）A.84分钟B.94分钟C.102分钟D.112分钟【答案】C【解析】【分析】首先求出样本点中心，根据线性回归直线必过样本点中心，求出的值，进而得到回归方程，将代入方程求值即可．【详解】由题意得：，，故，故，时，.故选C．【点睛】本题主要考查线性回归直线必过样本点中心以及回归方程的应用，即利用回归方程进行预测．4.已知向量，且，则实数=A.B.0C.3D.【答案】C【解析】【详解】试题分析：由题意得，，因为，所以，解得，故选C.考点：向量的坐标运算.5.右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入分别为14,18，则输出的（） A.0B.2C.4D.14【答案】B【解析】【详解】由a=14，b=18，a＜b，则b变为18﹣14=4，由a＞b，则a变为14﹣4=10，由a＞b，则a变为10﹣4=6，由a＞b，则a变为6﹣4=2，由a＜b，则b变4﹣2=2，由a=b=2，则输出a=2．故选B．6.曲线在处的切线方程为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】求出切点坐标，求得导数，可求得切线斜率，根据导数的几何意义即可求得答案.【详解】由题意可知时，，即切点为，又，则，故曲线在处的切线斜率为， 故切线方程为，即，故选：D7.已知为第二象限角，，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由平方关系求得，再由二倍角公式计算．【详解】因为为第二象限角，，所以．所以．故选：A．【点睛】本题考查二倍角的正弦公式，考查同角间的三角函数关系，属于基础题．8.函数的图象大致形状是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据的奇偶性和当时可选出答案. 【详解】由，得，则函数奇函数，图象关于原点中心对称，排除A，B，当时，排除C，故选：D.9.已知曲线C1：y=cosx，C2：y=sin(2x+)，则下面结论正确的是A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2【答案】D【解析】【详解】把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y=cos2x图象，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到函数y=cos2（x+）=cos（2x+）=sin（2x+）的图象，即曲线C2，故选D．点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母而言.函数是奇函数；函数是偶函数；函数是奇函数；函数是偶函数. 10.已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（）．A.B.eC.D.【答案】C【解析】【分析】根据在上恒成立，再根据分参求最值即可求出．【详解】依题可知，在上恒成立，显然，所以，设，所以，所以在上单调递增，，故，即，即a的最小值为．故选：C．11.函数的零点个数为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】函数的零点个数，即函数与的图像在区间上的交点个数，作函数图像，利用数形结合求解.【详解】函数，定义域为，令，，函数的零点个数即函数与的图像在区间上的交点个数，作出函数与的图像，如图所示，，，， ，，，函数与的图像在区间上有3个交点，即函数的零点有3个.故选：B12.已知是定义在上的奇函数，且，对于上任意两个不相等实数和，都满足，若，，，则的大小关系为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由题知函数为偶函数，在上单调递增，进而根据结合函数的性质比较大小即可.【详解】解：因为是定义在上的奇函数，所以，所以，即函数为偶函数，因为对于上任意两个不相等实数和，都满足，所以函数在上单调递增，因为，因为，所以，，即.故选：A二、填空题13.已知向量，，则与的夹角为______．【答案】【解析】【分析】利用向量夹角公式的坐标表示计算即可. 【详解】设向量与的夹角为，则，又，所以．故答案为：．14.若满足约束条件，则的最大值为_____________．【答案】【解析】【详解】试题分析：由下图可得在处取得最大值，即.考点：线性规划.【方法点晴】本题考查线性规划问题，灵活性较强，属于较难题型.考生应注总结解决线性规划问题的一般步骤（1）在直角坐标系中画出对应的平面区域，即可行域；（2）将目标函数变形为；（3）作平行线：将直线平移，使直线与可行域有交点，且观察在可行域中使最大（或最小）时所经过的点，求出该点的坐标；（4）求出最优解：将（3）中求出的坐标代入目标函数，从而求出的最大（小）值.15.设，则函数的最小值是__________.【答案】【解析】【分析】根据题意，化简，结合基本不等式，即可求解.【详解】由，可得， 则，当且仅当时，即时，等号成立，所以函数的最小值是最小值为.故答案为：.16.设，是函数（）的两个极值点，若，则的最小值为______．【答案】【解析】【分析】根据极值点定义可将问题转化为与有两个不同交点；化简得到，利用换元法令，则，构造函数，利用导数求出，将参数分离出来，构造函数，即可得出.【详解】，是的两个极值点，是的两根，又当时，方程不成立，即，两式作比得到:==，所以，令，所以令，则令，则 所以在上单调递减，所以所以在上单调递减，所以令，则恒成立所以在上单调递减，即故答案为：.三、解答题17.已知下列两个命题：:函数在[2，＋∞)单调递增；:关于的不等式的解集为.若为真命题，为假命题，求的取值范围.【答案】m的取值范围为{m|m≤1或2＜m＜3}.【解析】【详解】试题分析:先根据二次函数对称轴与定义区间位置关系确定P为真命题时的取值范围，根据二次函数图像确定一元二次不等式恒成立的条件，解得为真命题时的取值范围，再根据为真命题，为假命题得P与Q一真一假，最后分类讨论真假性确定的取值范围．试题解析：函数f(x)＝x2－2mx＋4(m∈R)的对称轴为x＝m，故P为真命题⇔m≤2Q为真命题⇔Δ＝[4(m－2)]2－4×4×1＜0⇒1＜m＜3.∵P∨Q为真，P∧Q为假，∴P与Q一真一假．若P真Q假，则m≤2，且m≤1或m≥3，∴m≤1；若P假Q真，则m＞2，且1＜m＜3，∴2＜m＜3.综上所述，m的取值范围为{m|m≤1或2＜m＜3}．18.已知等差数列与正项等比数列满足，．（1）求数列和的通项公式；（2）记数列的前n项和为，数列的前n项和为，比较与的大小．【答案】（1）,. （2）.【解析】【分析】（1）由题意列方程，求得公差和公比，即可求得数列和的通项公式；（2）利用等差数列和等比数列的前n项和公式，求得与，比较可得二者大小关系.【小问1详解】设等差数列的公差为d，正项等比数列的公比为,由，,得,解得，所以，数列的通项公式为，数列的通项公式为．【小问2详解】由（1）得，，所以.19.在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足．（1）求角C的大小．（2）若，的面积为，求边长c的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先利用正弦定理边化角，然后整理即可；（2）先利用面积公式求出，再利用余弦定理求边长c的值．【小问1详解】 由正弦定理得，又，，，又，；【小问2详解】由已知可得，，，.20.由中央电视台综合频道（CCTV-1）和唯众传媒联合制作的《开讲啦》是中国首档青年电视公开课．每期节目由一位知名人士讲述自己的故事，分享他们对于生活和生命的感悟，给予中国青年现实的讨论和心灵的滋养，讨论青年们的人生问题，同时也在讨论青春中国的社会问题，受到了青年观众的喜爱．为了了解观众对节目的喜爱程度，电视台随机调查了A，B两个地区的100名观众，得到如下所示的2×2列联表．非常喜欢喜欢合计A3015Bxy合计已知在被调查的100名观众中随机抽取1名，该观众来自B地区且喜爱程度为“非常喜欢”的概率为0．35．（1）现从100名观众中根据喜爱程度用分层抽样的方法抽取20名进行问卷调查，则应抽取喜爱程度为“非常喜欢”的A，B地区的人数各是多少？（2）完成上述表格，并根据表格判断是否有95%的把握认为观众的喜爱程度与所在地区有关系．（3）若以抽样调查的频率为概率，从A地区随机抽取3人，设抽到喜爱程度为“非常喜欢”的观众的人数为X，求X的分布列和期望．附：，， 0．050．0100．0013．8416．63510．828【答案】（1）从A地抽取6人，从B地抽取7人.（2）没有95%的把握认为观众的喜爱程度与所在地区有关系.（3）分布列见解析，期望为2.【解析】【分析】（1）求出x的值，由分层抽样在各层的抽样比相同可得结果.（2）补全列联表，再根据独立性检验求解即可.（3）由题意知，进而根据二项分布求解即可.【小问1详解】由题意得，解得，所以应从A地抽取（人），从B地抽取（人）．【小问2详解】完成表格如下：非常喜欢喜欢合计A301545B352055合计6535100零假设为：观众的喜爱程度与所在地区无关.，所以没有95%的把握认为观众的喜爱程度与所在地区有关系．【小问3详解】从A地区随机抽取1人，抽到的观众的喜爱程度为“非常喜欢”的概率为， 从A地区随机抽取3人，则，X的所有可能取值为0，1，2，3，则，，，．所以X的分布列为X0123P方法1：．方法2：.21.已知函数，．（1）求函数的极值点；（2）若恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）是的极大值点，无极小值点（2）【解析】【分析】（1）首先利用导数判断函数的单调区间，再确定函数的极值点；（2）解法一，首先构造函数，，再根据函数的导数，判断函数的最大值，即可求解；解法二，首先证明，即可得，即，不等式恒成立，转化为，即可求解.【小问1详解】 由已知可得，函数的定义域为，且，当时，；当时，，所以的单调递增区间为，单调递减区间为，所以是的极大值点，无极小值点．【小问2详解】解法一：设，，则，令，，则对任意恒成立，所以在上单调递减．又，，所以，使得，即，则，即．因此，当时，，即，则单调递增；当时，，即，则单调递减，故，解得，所以当时，恒成立．解法二：令，，当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，即．因为，所以，当时等号成立，即，当时等号成立，所以的最小值为1．若恒成立，则， 所以当时，恒成立．选考题：请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，那么按所做的第一题计分.22.在直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数)，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）若直线与曲线交于，两点，设，求的值.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）直接消去参数可得到直线的普通方程，利用极坐标方程和直角坐标方程的互化公式可得曲线的直角坐标方程；（2）将直线的参数方程代入，可得，然后利用参数的几何意义求解即可【详解】（1）解：由，得直线l的普通方程为，由，得曲线C的直角坐标方程为，（2）解：将代入中，化简得，所以，所以23.设函数．（1）解不等式； （2）令的最小值为T，正数满足，证明：．【答案】（1）.（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）分类讨论x的取值，脱掉绝对值符号，解不等式，可得答案；（2）分类讨论x的取值，求出的最小值为T，将展开，利用基本不等式证明，即可证明结论.【小问1详解】当时，即，解得，故；当时，即，则；当时，即，解得，故，综上所述，原不等式的解集为.【小问2详解】若，则；若，则：若，则,所以函数的最小值，故,又为正数，则,当且仅当,时等号成立,所以.