四川省 2024届高三数学（理）上学期9月月考试题（Word版附解析）

友谊中学高2021级高三上学期9月月考数学（理）试卷总分150分考试时间120分钟一、单选题（共12小题，每小题5分，共60分）1.设集合，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由描述法表示集合，求函数的定义域可得集合A，再由集合的交集的定义可求解.【详解】集合，故，故选：B.2.已知命题，都有．则（）A.，使得B.，总有C.，总有D.，使得【答案】A【解析】【分析】利用全称量词命题的否定求解即可.【详解】因为量词命题的否定步骤是：改量词，否结论，所以命题，都有的否定为，使得.故选：A.3.已知函数，则（）A.B.2C.2eD.【答案】A【解析】【分析】变形得到，求导后求出，求出答案.【详解】， 其中，故，故.故选：A4.函数的图象大致为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】判断函数的奇偶性可排除CD；时判断出的值域排除A，即可得出答案.【详解】函数的定义域为，所以为偶函数，排除CD选项，当时，，则，排除A选项.故选：B.5.函数的一个零点在内，另一个零点在（）内.A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据题意结合零点存在性定理列不等式组求解即可. 【详解】因为函数的一个零点在内，所以，又因为函数在连续不断，根据零点存在性定理另一个零点在内.故选：C.6.苂光定量PCR是一种通过化学物质的苂光信号，对在PCR扩增进程中成指数级增加的靶标DNA进行实时监测的方法.在PCR扩增的指数时期，苂光信号强度达到阀值时，DNA的数量与扩增次数满足，其中为DNA的初始数量，为扩增效率.已知某被测标本DNA扩增6次后，数量变为原来的100倍，则扩增效率约为（）（参考数据：）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据题意，得出方程，结合对数的运算性质，即可求解.【详解】由题意，可得，即，所以，可得，解得.故选：C.7.已知定义在上的函数，，，，则a，b，c的大小关系为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据函数的奇偶性、单调性以及导数等知识确定正确答案.【详解】的定义域是，所以是奇函数. 当时，，所以在上单调递增.，由于，所以，即.故选：B8.下列四个图象中，有一个图象是函数的导数的图象，则的值为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】求出函数的导数，由导函数的特性确定函数图象，进而求出a值作答.【详解】函数，求导得，于是函数的图象是开口向上，对称轴为的抛物线，①②不满足，又，即函数的图象对称轴不是y轴，④不满足，因此符合条件的是③，函数的图象过原点，且，显然，从而，，所以.故选：D9.函数在区间上单调递减的必要不充分条件是（）A.B. C.D.【答案】C【解析】【分析】由复合函数的单调性与充分必要条件的概念判断，【详解】设．∵在上单调递减，∴由复合函数的单调性法则可知，在上单调递减，且在上恒成立．（注意对数的真数在上大于0）又在上单调递减，（若函数在上单调递减，则）∴解得．则可得函数在区间上单调递减的充要条件是．而所求是函数在区间上单调递减的必要不充分条件，故只需看是哪一个的真子集，故选：C10.已知定义在上的函数满足，为的导函数，当时，，则不等式的解集为（）AB.C.D.【答案】C【解析】【分析】由题意设，结合题意可得，即函数是定义在上的奇函数，又当，时，，则，可得在，上单调递增，在， 上单调递增，利用单调性，即可得出答案．【详解】令，则，即，故函数是定义在上的奇函数，当,时，，则，故在,上单调递增，在,上单调递增，所以在上单调递增，又，则，则不等式，即，故，解得．故选：C．11.定义在上的偶函数满足，当时，，若在区间内，函数有个零点，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】等价于与的图象在有5个交点，利用已知可得是周期为4的函数，且图象关于对称，画出的图象结合图象可得答案.【详解】，又是偶函数，所以，则，所以的周期为4，由得的图象关于对称， 当时，，可得的大致图象如下，若在区间内，函数有个零点，等价于与的图象在有5个交点，结合图象，当时与的图象恰好有5个交点，当时与的图象有3个交点，不符合题意，可得，此时，可得，则实数的取值范围是.故选：D.【点睛】关键点点睛：本题的解题的关键点是等价于与的图象在有5个交点，利用已知条件画出它们的图象，考查了学生的思维能力、运算能力.12.函数，函数，若对恒成立，则实数的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】不等式变形为，引入新函数，，利用导数判断函数的单调性，利用单调性化简不等式可得，取对数，变形为，再引入新函数，x∈（0，+∞），求得它的最大值即可得参数范围． 【详解】因为，对恒成立，又，所以，即，即，令，，∴，设，则，当时，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减，可得时，函数取得极小值即最小值，，∴恒成立，∴函数在上单调递增，又原不等式等价于，所以，即，即恒成立，令，，则，当时，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减，可得时，函数取得极大值即最大值.，所以.故选：A.【点睛】关键点点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分） 13.计算：______．【答案】【解析】【分析】根据指数幂和对数运算公式，化简求值.【详解】原式.故答案为：14.定积分_______.【答案】【解析】【分析】找到的导数为，的导数为，即可求解.【详解】.故答案为：.15.已知函数，直线．若A，B分别是曲线和直线l上的动点，则的最小值是__________【答案】【解析】【分析】求出与平行的切线为，从而得到与的距离即为的最小值，得到答案.【详解】，设在点处的切线与平行，即斜率为-2，所以，解得， 则在点处的切线方程为，即则与的距离即为的最小值，即，故的最小值为.故答案为：16.已知函数，若函数在上有极值，则实数a的取值范围为___．【答案】【解析】【分析】根据导数与极值的关系求解即可.【详解】因为，所以，为二次函数，且对称轴为，所以函数在单调递增，则函数在单调递增，因为函数在上有极值，所以在有解，根据零点的存在性定理可知，即，解得，故答案为：.三、解答题17.已知集合，集合．（1）若，求实数m的取值范围；（2）命题，命题，若p是q成立的充分不必要条件，求实数m的取值范围． 【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据一元二次不等式化简，即可由交集为空集，分情况讨论，（2）根据真子集，即可列不等式求解.【小问1详解】由得，由，①若，即时，，符合题意；②若，即时，需或，解得．综上，实数m的取值范围为．【小问2详解】由已知A是B真子集，知，且两个端点不同时取等号，解得．由实数m的取值范围为．18.已知：存在，，：任意，．（1）若为假命题，求实数的取值范围；（2）若为真，为假，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）先求出、为真命题时的取值范围，为假命题，则、都为假命题，列不等式组求解即可.（2）为真，为假，则、一真一假，分类讨论列不等组求解.【小问1详解】 解：真：恒过，显然不成立，开口向下，，真：，解得.为假，则假假，故.【小问2详解】，一真一假假真，则有，真假，则有，综上：或.19.某单位在甲地成立了一家医疗器械公司吸纳附近贫困村民就工，已知该公司生产某种型号医疗器械的月固定成本为20万元，每生产1千件需另投入5.4万元，设该公司一月内生产该型号医疗器械x千件且能全部销售完，每千件的销售收入为万元，已知（1）请写出月利润y（万元）关于月产量x（千件）的函数解析式；（2）月产量为多少千件时，该公司在这一型号医疗器械的生产中所获月利润最大？并求出最大月利润（精确到0.1万元）.【答案】（1）（2）当月产量为8千件时，该公司在这一型号医疗器械的生产中所获月利润最大，最大月利润为14.1万元【解析】【分析】（1）根据的表达式，去掉成本即可求解月利润，（2）求导，利用导数求解上的最值，结合基本不等式即可求解的最值，即可比较求解.【小问1详解】当时，， 当时，，【小问2详解】①当时，，，令，可得当时，，单调递增；当时，，单调递关系；时，（万元）；②当时，（万元）（当且仅当时取等号）.综合①②知，当时，y取最大值14.1，故当月产量为8千件时，该公司在这一型号医疗器械的生产中所获月利润最大，最大月利润为14.1万元.20.已知定义域为的函数是奇函数（1）求的值；（2）判断的单调性，并用定义证明；（3）若存在，使成立，求的取值范围.【答案】（1），；（2）函数在上是减函数，证明见解析；（3）【解析】【分析】(1)根据函数奇偶性的性质建立方程进行求解；(2)利用函数单调性的定义进行证明即可；(3)根据函数单调性和奇偶性的性质将不等式进行转化求解即可. 【小问1详解】因为函数是定义在上的奇函数，所以，即，所以，又因为，所以，将代入，解得，经检验符合题意，所以，，.【小问2详解】由（1）知：函数，函数在上是减函数，证明如下：任取，且，，因为，所以，所以，即，所以函数在上是减函数.【小问3详解】因为存在，使成立，又因为函数是定义在上的奇函数，所以不等式可转化为，又因为函数在上是减函数，所以，所以，令，由题意可知：问题等价转化为，又因为，所以.故的取值范围为.21.已知函数.（1）若是的极值点，求的值； （2）讨论函数的单调性；（3）若恒成立，求a的取值范围；【答案】（1）（2）答案见解析（3）；【解析】【分析】（1）由题意可得，从而可求出的值；（2）求出函数的定义域，对函数求导后，分和两种情况讨论导数的正负，从而可求出函数的单调区间；（3）将问题转化为恒成立，构造函数，利用导数求出其最大值，即可求出a的取值范围.【小问1详解】由，得，因为是的极值点，所以，即，所以，经检验符合题意.【小问2详解】.当时，，所以在上单调递增；当时，令，解得，当时，；当时，；所以在上单调递增，在上单调递减，综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减； 【小问3详解】的定义域为，若恒成立，则恒成立，即恒成立，令，只需，又，令得，时，，则单调递增；时，，则单调递减；所以，解得：；【点睛】关键点点睛：第（3）问解题的关键是分离参数后，构造函数，然后利用导数求出函数的最值即得.22.已知函数（1）讨论函数的单调性；（2）若不等式有解，求实数t的取值范围；（3）若函数有两个零点x1，x2，证明：．【答案】（1）答案见解析（2）（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据导函数正负确定函数的单调性即可；（2）把有解问题转化为，根据导函数应用隐零点求出最小值即可得；（3）不妨设，且，，于是，构造函数设，对求导判断单调性即可得证.【小问1详解】， 单调递增；单调递减；【小问2详解】有解，所以，，，单调递增，单调递减；单调递增；所以，所以.【小问3详解】有两个零点x1，x2，有两个根x1，x2，不妨设，由（1）可知两根也是与的两个交点，且，，于是，由于在单调递减，故等价于．而，故等价于．①设，则①式为．因为． 设，当时，，故在单调递增，所以，从而，因此在单调递增．又，故，故，于．【点睛】关键点点睛：本题第(3)问是极值点偏移问题，关键点是通过分析法，构造函数证明不等式.