四川省 2022-2023学年高二数学（理）下学期3月月考试题（Word版附解析）

成都七中高2024届高二下阶段性测试数学试题（理科）考试时间120分钟，总分150分一、单选题（每小题5分，共60分）1．“”是“”成立的（）A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件2．已知x，y的取值如表所示：如果y与x线性相关，且线性回归方程为，则等于（）x234y645A．B．C．D．3．已知向量满足，且与的夹角为，则的值为（）A．B．1C．D．24．（）A．B．C．D．5．执行如图所示的程序框图，为使输出的数据为31，则判断框中应填入的条件为（）A．B．C．D．6．若x，y满足约束条件，则的最大值为（）A．4B．C．D．7．已知，直线与曲线相切，则的最小值是（）A．16B．12C．8D．48．已知函数对任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是（）A．B． C．D．9．在正方体中，下列结论正确的有（）①异面直线与BD所成角的大小为；②直线与直线AC垂直；③直线平面ABCD所成角的正切值为；④平面与平面BCD夹角的正切值为．A．①②B．①②③C．②③④D．③④10．已知正分别是双曲线的左、右焦点，过的直线分别交双曲线左、右两支于A，B两点，点C在x轴上，平分则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．11．若，则（）A．B．C．D．12．已知恒成立，则的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题（每小题5分，共20分）13．若样本数据的标准差为10，则数据的方差为_________．14．已知等比数列中，．则________．15．已知F为抛物线的焦点，由直线上的动点P作抛物线的切线，切点分别是A，B，则与（O为坐标原点）的面积之和的最小值是__________．16．已知函数和及其导函数和的定义域均为R，若，且为偶函数，下列结论正确的有________．①②函数的图象关于直线对称③函数的图象关于直线对称④三、解答题（共70分）17．（10分）某中学为研究本校高一学生市联考的语文成绩，随机抽取了100位同学的语文成绩作为样本，按分组整理后得到如下频率分布直方图． （1）求图中x的值；（2）用分层随机抽样的方法，从样本内语文成绩在的两组学生中抽取5名学生，再从这5名学生中随机选出2人，求选出的两名学生中恰有一人语文成绩在的概率．18．（12分）已知函数．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若函数在上的最小值是，求a的值．19．（12分）如图，在三棱柱中，侧面和侧面均为正方形，D为棱BC的中点．（1）证明：平面平面；（2）若直线与平面所成角为，求平面与平面夹角的余弦值．20．（12分）过抛物线的焦点F作斜率分别为的两条不同的直线，且与E校于点A，B，与与校于点C，D．以AB，CD为直径的圆M，圆N（M，N为圆心）的公共弦所在的直线记为l．（1）若，求；（2）若，求点M到直线l的距离的最小值． 21．（12分）已知函数．（1）当时，求函数的单调区间（2）当时，讨论函数的零点个数22．（12分）已知直线与直线相交于点P，其中，设动点P的轨迹为曲线，直线恒过定点C．（1）写出C的坐标，并求曲线的方程；（2）若直线与曲线交于A，B两点，在x轴上是否存在定点N，使得恒成立?若存在，求出点N坐标；若不存在，说明理由．成都七中高2024届高二下阶段性测试数学试题（理科）考试时间120分钟，总分150分一、BABCAADCCABB二、90032①②③17．【答案】（1）（2）18．【答案】（1）（2）【详解】（1）当时，，所以切点为，，则，所以切线方程为，即．（2），若，则在上恒成立，所以在上单调递增，所以，不满足题意；若，令，解得，令，解得，所以函数在单调递减，单调递增，所以，解得，满足题意；若，则在上恒成立，所以在上单调递减，所以，解得，不满足题意，综上，．19．【详解】（1）因为侧面、侧面均为正方形， 所以，又，AB、平面ABC，所以平面ABC，又，所以平面ABC，又平面ABC，所以．由，D为棱BC的中点，所以，又，BC、平面，因此平面，又平面，故平面平面﹔（2）由（1）得是与侧面所成角，即，令，所以，又，所以，则．以A为原点，以分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示空间直角坐标系，则．所以．设是平面的一个法向量、则，即，取，易知是平面的一个法向量，则．而平面与平面的夹角为锐角，所以平面与平面的夹的余弦值为20．【详解】（1）依题意，抛物线E的焦点为．且其在抛物线内部，设直线的方程为， 由，得，设A，B两点的坐标分别为，则是上述方程的两个实数根，所以，所以点M的坐标为，同理可得N的坐标为，于是，又，所以．（2）结合（1），由抛物线的定义得，所以，所以圆M的半径，所以圆M的方程为，化简得，同理可得圆N的方程为，于是圆M与圆N的公共弦所在直线l的方程为，又，则直线l的方程为，所以点M到直线l的距离故当时，d取最小值21．【详解】（1）当时，，当时，；当时，；当时，，所以函数的单调增区间为和，单调减区间为．（2），令，得或，由于，当时，，当时，，当时，．所以函数的单调增区间为和，单调减区间为．，令，得， 当时，，又，所以存在唯一，使得，此时函数有1个零点；当时，，又，所以存在唯一，使得，此时函数有2个零点和a；令，得，现说明，即，即显然成立因为，故当时，，又．所以存在唯一，唯一，唯一，使得，此时函数有3个零点，当时，，又．所以存在唯一，使得，此时函数有2个零点和2．当时，，又．所以存在唯一，使得，此时函数有1个零点．综上所述，当时，函数有1个零点；当时，函数有2个零点；当时，函数有3个零点；当时，函数有2个零点；当时，函数有1个零点．22．已知直线与直线相交于点P，其中，设动点P的轨迹为曲线，直线，恒过定点C．【详解】（1）直线恒过点，设，因为点P在直线上，所以①因为点P在直线上，所以②①×②得：，当时，即，化简得：， 当时，不能使方程组成立，即不在直线和直线上，所以点不在曲线上，故曲线的方程为；（2）设，先检验A的坐标是否可以为，直线AC的斜率是否存在，假设，则，解得：，因为，故A的坐标不为，即直线AC的斜率存在，同理可证B的坐标不为，即直线BC的斜率存在，联立，得，即，由，解得，即，综上：，则，因为且，故直线AC和直线BC的斜率均存在，分别设为，由． 可知直线AC与直线BC关于对称，故存在点，使得恒成立．