四川省绵阳南山中学2022-2023学年高一数学下学期3月月考试题（Word版附解析）

绵阳南山中学2022级高一下学期3月月考试题数学一､单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.关于向量，下列说法中，正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则【答案】C【解析】【分析】利用向量的模、相等向量、相反向量、共线向量等相关概念进行判断.【详解】对于A，若，则，的模长相等，但方向不一定相同，故A错误；对于B，向量模长可以比较大小，但向量不能比较大小，故B错误；对于C，若，则向量，互为相反向量，则，则C正确；对于D，若，则向量，方向相同或相反，故D错误.故选：C.2.已知点在第二象限，则为（）A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角【答案】C【解析】【分析】点在第二象限，根据坐标特征得的符号，即可得所在象限.【详解】因为点在第二象限，所以，，即为第三象限角．故选：C3.下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上为减函数的是（）A.B.C.D. 【答案】B【解析】【分析】首先求出每个选项中的函数的周期，然后判断出单调性可得答案.【详解】对于A，的最小正周期是，不满足题意，对于B，的最小正周期是，当时，为减函数，满足题意，对于C，的最小正周期是，不满足题意，对于D，的最小正周期是，在区间上为增函数，不满足题意，故选：B4.荡秋千是中华大地上很多民族共有的游艺竞技项目.据现有文献记载，它源自先秦.位于广东清远的天子山悬崖秋千建在高198米的悬崖边上，该秋千的缆索长8米，荡起来最大摆角为120°，则该秋千最大摆角所对的弧长为（）A.米B.米C.13.6米D.198米【答案】A【解析】【分析】根据题意，求得秋千的最大摆角为，结合弧长公式，即可求解.【详解】由题意，秋千的最大摆角为，且秋千的缆索长为米，即半径，所以秋千最大摆角所对的弧长为米.故选：A.5.已知函数的部分图像如图所示，则正数值为（） A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据图像可得函数的周期，从而可求，再根据对称轴可求，结合图像过可求.【详解】由图像可得，故，而时，函数取最小值，故，故，而，故，因为图像过，故，故，故选：B6.函数且的图象是下列图象中的（）A.B.C.D.【答案】C【解析】 【分析】根据函数的自变量，将函数变形为结合正弦函数的性质与图象，根据选项即可求解.【详解】依题意，由此判断出正确的选项为C.故选：C.7.设函数，其中.若对任意的恒成立，则下列结论正确的是（）A.为函数的一个对称中心B.的图像关于直线对称C.在上为严格减函数D.函数的最小正周期为【答案】D【解析】【分析】由对任意的恒成立得函数在取得最大值，从而可以求解，得到函数的解析式，然后结合正弦函数的性质分析各选项即可判断．【详解】解：由对任意的恒成立得函数在取得最大值，所以，则，所以，整理得，对于，，则不是函数的对称中心，故错误；对于，，则不是函数的对称中轴，故错 误；对于，令，，解得，，，显然不包含区间，故错误；对于，，所以的最小正周期为，故正确．故选：D．8.设函数，其中，若对任意，在上有且仅有4个零点，则下列的值中不满足条件的是（）A.B.C.D.【答案】ACD【解析】【分析】利用换元思想转化为在，上有4个零点，则需满足，进而根据的取值范围得到的取值范围即可．【详解】解：设，则，所以在，上有4个零点，可知，所以，又，所以，即，满足的只有，故选：．二､多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9.如图所示，点O是正六边形ABCDEF的中心，则以图中点A､B､C､D､E､F､O中的任意一点为始点，与始点不同的另一点为终点的所有向量中，除向量外，与向量共线的向量有（） A.B.C.D.【答案】ABD【解析】【分析】根据共线向量的概念和图形中的平行关系可得答案.【详解】与向量共线的向量有、、，故选：ABD10.下列大小关系中正确的是（）A.B.C.D.【答案】BC【解析】【分析】根据正弦函数的单调性及和0的大小关系来确定答案.【详解】，又，；且.故选：BC.11.下列结论正确的是（）A.B.C.D.若，则【答案】CD【解析】【分析】根据同角函数的基本关系、和差公式、倍角公式逐一判断即可.【详解】，故A错 误；，故B错误；，故C正确；若，则，故D正确；故选：CD12.已知定义在上的函数满足，当时，，若对任意，都有，则下列的值中满足条件的可以是（）A.B.C.D.【答案】AB【解析】【分析】根据已知，利用正弦函数图象与性质、函数的周期性，结合函数图象进行求解.【详解】当时，，且定义在上的函数满足，所以函数的大致图象为：因为，，所以，， 所以由有：，当时，由有：，所以若对任意，都有，则，故CD错误.故选：AB.三､填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.）13.已知，则__________.【答案】【解析】【分析】根据两角和的正切公式，化简得到，代入即可求解.【详解】因为，可得，所以，由.故答案为：.14.若，则__________.【答案】##【解析】【分析】首先求出的值，然后根据二倍角的正弦公式可得答案.【详解】因为，所以，所以，故答案为：.15.在中，、、分别为角的对边，且满足 ，则角A的大小是______.【答案】##【解析】【分析】根据题意结合三角恒等变换运算求解即可得答案.【详解】由，即，故则，可得，解得，因为，所以.故答案为：.16.方程有__________个根.【答案】【解析】【分析】在同一直角坐标系中画出两个函数的图像，然后可得答案【详解】与在同一直角坐标系中图像如下：所以方程有个根，故答案为：四､解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 17.用“五点法”作函数位一个周期内的图象时，列衣计算了部分数据：00200（1）请根据上表数据，求出函数的表达式并写出表内实数的值；（2）求函数在区间内的单调増区间.【答案】（1）.（2），.【解析】【分析】（1）根据表中已知数据先得出的值，根据周期即可得到的值，从而得到的值，进而函数的解析式可得到，从而求出a,b,c,d的值；（2）根据正弦函数图象性质，整体代入确定函数单调区间即可.【小问1详解】由表中数据可得，，所以，所以，由，可得，所以，所以，；【小问2详解】令，解得， 因为，所以，令，则，令，则，所以在内的单调增区间是，.18.设函数，已知函数的图象与x轴相邻两个交点的距离为，且图象关于点对称.（1）求的单调区间；（2）求不等式的解集.【答案】（1）单调递增区间：，，无递减区间（2）【解析】【分析】（1）根据函数周期性，结合函数图象过的点的坐标，代值计算即可求得参数，则解析式可求；利用整体法代换法，即可求得函数的单调区间；（2）根据（1）中所求解析式，利用正切函数的单调性，即可解得不等式.【小问1详解】由题意知，函数f(x)的最小正周期为T＝，即，因为ω>0，所以ω＝2，从而f(x)＝tan(2x＋φ)，因为函数y＝f(x)图象关于点M对称，所以2×＋φ＝，k∈Z，即φ＝＋，k∈Z.因为0<φ<，所以φ＝，故f(x)＝tan.令－＋kπ<2x＋<＋kπ，k∈Z，得，即 所以函数的单调递增区间为，k∈Z，无单调递减区间．【小问2详解】由（1）知，f(x)＝tan.由－1≤tan≤，得Z，即Z所以不等式－1≤f(x)≤的解集为.19.已知.（1）若，求的值.（2）已知.求角的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用三角函数的诱导公式、同角三角函数的基本关系进行化简、计算.（2）利用三角函数的诱导公式、和角公式、同角三角函数的基本关系进行化简、计算.【小问1详解】由题知，，因为，，所以，所以.【小问2详解】 ，，，又，，，20.某港口的水深(单位：)是时间(，单位：)的函数，下面是该港口的水深数据：0369121518212410139.9710139.9710一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于时就是安全的．（1）若有以下几个函数模型：，你认为哪个模型可以更好地刻画y与t之间的对应关系？请说明理由，并求出该拟合模型的函数解析式；（2）如果船的吃水深度（船底与水面的距离）为7m，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？【答案】（1）函数模型更好，函数解析式为（2）当与时，船能够安全进港，停留的时间最多不能超过16h.【解析】【分析】(1)通过题目数据拟合函数图像，可判断函数模型更好，再由图像点坐标代入函数，求出函数解析式为(2)根据题意已知可求出水深范围，解三角函数不等式可得答案，船舶要在一天之内在港口停留时间最长，就应从凌晨1时进港，而下午的17时离港.【小问1详解】函数模型更好地刻画y与t之间的对应关系. 根据上述数据描出的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似地看成正弦函数的图像.从拟合曲线可知，函数在一个周期内由最大变到最小需9-3=6(h)，此为半个周期，函数的最小正周期为12，因此.又当时，；当时，，所求函数的表达式为【小问2详解】由于船的吃水深度为7m，船底与海底的距离不少于4.5m，故在船舶航行时，水深应大于或等于7+4.5=11.5(m).令,可得取，则；取，则；取时，（不符合题意，舍去).当与时，船能够安全进港，船舶要在一天之内在港口停留时间最长，就应从凌晨1时进港，而下午的17时离港，在港内停留的时间最长为16h.21.已知函数的相邻两对称轴间的距离为.（1）求的解析式.（2）将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的 （纵坐标变），得到函数的图象，当时，求函数的值域.（3）对于第（2）问中的函数，记方程在上的根从小到依次为，求的值域.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）由二倍角公式和辅助角公式即可化简；（2）利用三角函数的图像变换，可求出，由三角函数的性质求解在的值域；（3）由方程，即，设，即，结合正弦函数的图象，，求出的范围，代入即可得出答案.【小问1详解】由题意，函数，因为函数图象的相邻两对称轴间的距离为，所以，可得，故函数.【小问2详解】将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象，再把横坐标缩小为原来的，得到函数的图象，当时，， 当时，函数取得最小值，最小值为，当时，函数取得最大值，最大值为，故函数的值域.【小问3详解】由方程，即，即，因为，可得，设，其中，即，结合正弦函数的图象，如图所示：可得方程在区间有5个解时，即，其中，即，，解得，所以.从而22.若函数满足且（ ），则称函数为“函数”．（1）试判断是否为“函数”，并说明理由；（2）函数为“函数”，且当时，，求的解析式，并写出在上的单调增区间；（3）在（2）条件下，当，关于的方程（为常数）有解，记该方程所有解的和为，求．【答案】（1）不是“函数”，理由见解析（2），单调递增区间为，；（3）【解析】【分析】（1）根据题干条件代入检验，得到，故不是“函数”；（2）求出函数的周期，由得到，结合当时，，从而得到函数解析式，并求出单调递增区间；（3）画出在 上图象，数形结合，由函数的对称性，分三种情况进行求解，得到.【小问1详解】不是“函数”，理由如下：，，，则，故不是“函数”；【小问2详解】函数满足，故的周期为，因为，所以，当时，，，当时，，，综上：，中，当时，，，此时单调递增区间为， ，中，当时，，，则，当，即时，函数单调递增，经检验，其他范围不是单调递增区间，所以在上的单调递增区间为，；【小问3详解】由（2）知：函数在上图象为：当或1时，有4个解，由对称性可知：其和为，当时，有6个解，由对称性可知：其和为，当时，有8个解，其和为， 所以.【点睛】函数新定义问题的方法和技巧：（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念.