上海市徐汇区2022-2023学年高二数学下学期3月月考试题（Word版附解析）

徐汇区高二统考数学试卷一、填空题（本大题共有12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1.若从两男两女四人中随机选出两人，设两个男生分别用表示，两个女生分别用表示，相应的样本空间为，则与事件“选出一男一女”对应的样本空间的子集为______.【答案】【解析】【分析】根据题意选出一男一女，即从中选一个，从中选一个，即可得答案.【详解】由题意可知与事件“选出一男一女”对应的样本空间的子集为，故答案：2.用斜二测画法画水平放置的正方形ABCD的直观图，取AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴.若在直观图中，则______.【答案】1【解析】【分析】根据斜二测画法求解即可.【详解】正方形的直观图如下：因为，所以.故答案为：13.抛掷两枚质地均匀的骰子，则两个点数相等的概率是______．【答案】【解析】【分析】通过列举事件，利用古典概率求解.【详解】抛掷两枚质地均匀的骰子，所有基本事件为：，共有 36种；两个点数相等的基本事件为：，共有6种，所以两个点数相等的概率是.故答案为：.4.在“互联网＋”时代，国家积极推动信息化技术与传统教学方式的深度融合，实现线上、线下融合式教学模式变革.某校高一年级组织调查融合式教学模式的实施情况，从参加该活动的学生中随机抽取了20名学生调查，他们的满意度得分为58、66、…、97，用茎叶图记录（如图所示），则可估计该校高一年级此项调查的平均得分为______.【答案】##【解析】【分析】根据茎叶图计算平均数即可.【详解】由茎叶图得：平均分.故答案为：5.在棱长为1的正方体中，点到平面的距离为______.【答案】【解析】【分析】根据正方体的性质，结合正四面体的性质进行求解即可.【详解】在棱长为1的正方体中，，如图所示，设点在平面的射影为， 因为，所以有，故答案为：6.从某果园种植的苹果中随机抽取16个，测得它们的质量（单位：g）分别为：，则估计这批苹果质量的第25百分位数是______.【答案】120.5##【解析】【分析】将苹果质量从小到大排列，计算，由此计算第4个和第5个数的平均数，即得答案.【详解】将这批苹果的质量（单位：g）从小到大排列为：，由于，故估计这批苹果质量的第25百分位数是第4个和第5个数的平均数，即，故答案为：7.已知5件产品中有2件次品、3件合格品，从这5件产品中任取2件，求2件都是合格品的概率_______.【答案】##【解析】【分析】 列举总的基本事件及满足题目要求的基本事件，然后用古典概型的概率公式求解即可.【详解】设5件产品中的次品为，合格品为，则从这5件产品中任取2件，有共10个基本事件，其中2件都是合格品的有共3个基本事件，故2件都是合格品的概率为故答案为：.8.已知向量与向量平行()，则的值为______.【答案】【解析】【分析】利用空间向量平行的条件即可求解.【详解】因为向量与向量平行，所以，则，解得，所以，故答案为：.9.已知事件A与B互斥，它们都不发生的概率是.且，则______.【答案】##【解析】【分析】根据题意求出事件A与B有一个发生的概率，结合，求得，即可求得答案.【详解】由题意事件A与B互斥，它们都不发生的概率是，则，结合，可得，即，可得， 故，故答案为：10.如图，在棱长为2的正方体中，点P在底面ABCD内，若直线与平面无公共点，则线段的最小值为______.【答案】【解析】【分析】首先连接，，，易证平面平面，从而得到平面，即可得到线段的最小值.【详解】连接，，，如图所示：在正方体中，因为，平面，平面，所以平面，因为，平面，平面，所以平面，又因为平面，且，所以平面平面.因为与平面无公共点，所以平面， 当时，取得最小值.因为所以最小值为.故答案为：11.已知、是空间相互垂直的单位向量，且，，则的最小值是______.【答案】4【解析】【分析】由题设得，结合、与的空间结构关系画示意图，根据、的几何意义求出目标式的最小值.【详解】由且，，则，由、相互垂直，即、与的夹角相等且为锐角，空间关系如下图示，在、所成平面圆O（面）的投影为的角平分线，且，若面，面，则，过作，在上，在上，面，则，即，又面，则面，即面，由面，故，同理证，又，，，所以，即， 而表示面上的任意点，要使最小，只需到平面上点的距离最小即可，显然，.故答案为：12.若正方体的棱长为3，P是正方体表面上一动点.设是以P为球心，半径为1的动球在运动过程中经过区域的全体，则的体积为______.【答案】【解析】【分析】由空间想象得到为棱长为5的正方体，去掉中心处棱长为1的正方体，各角去掉正方体减去一个顶点为球心半径为1的球后余下部分，各棱处去掉长方体减去一条高为轴，1为底面半径的圆柱后的部分，再结合正方体、球体、圆柱的体积公式求体积.【详解】由题设，动球在运动过程中经过区域可看作棱长为5的正方体，先去掉中心处棱长为1的正方体，8个角处去掉：棱长为1的正方体减去一个顶点为球心半径为1的球后剩余部分，12条棱处去掉：底面边长为1，高为3的棱柱减去一条高为3，底面半径为1的圆柱后剩余部分，综上，的体积为.故答案为：二、选择题（本大题共有4小题，满分20分，每题5分）13.下列关于散点图的说法中，正确的是（）A.任意给定统计数据，都可以绘制散点图B.从散点图中可以看出两个量是否具有一定的关系C.从散点图中可以看出两个量的因果关系D.从散点图中无法看出数据的分布情况 【答案】B【解析】【分析】根据散点图的概念判断即可.【详解】散点图不适合用于展示百分比占比的数据，另外数据量较少的数据也不适合用散点图表示，故A错误；散点图能看出两个量是否具有一定关系，但是并一定是因果关系，故B正确，C错误；散点图中能看出数据的分布情况，故D错误.故选：B14.早在公元5世纪，我国数学家祖暅在求球的体积时，就创造性的提出了一个原理：“幂势既同，则积不容异”.如图，已知两个体积分别为，的几何体夹在两个平行平面之间，任意一个平行于这两个平面的平面截这两个几何体，截得的截面面积分别为，，则“”是“”的（）条件.A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要【答案】B【解析】【分析】根据祖暅原理，判断“”与“”之间的逻辑推理关系即可.【详解】根据祖暅原理可知，当时，一定有成立，反之，当成立时，不一定有成立，比如两个完全相同三棱锥，正置和倒置时，，不一定相等，故“”是“”的必要不充分条件.故选：B.15.已知某样本的容量为50，平均数为70，方差为75．现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将80记录为60，另一个错将70记录为90．在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为，方差为，则（）A.B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】根据题中所给的平均数的条件，重新列式求新数据的平均数，根据方差公式写出两组数据的方差，并比较大小.【详解】由题意，可得，设收集的48个准确数据分别记为，则，，所以．故选:A．【点睛】本题主要考查了数据的平均数和方差的计算公式的应用，其中解答中熟记数据的平均数和方差的公式，合理准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，是基础题．16.鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根完全一样的正四棱柱体分成三组，经90°榫卯起来.若正四棱柱的高为6，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器（容器壁的厚度忽略不计），则该球形容器表面积的最小值为A41πB.42πC.43πD.44π【答案】A【解析】【分析】由于图形的对称性，只要求出一组正四棱柱的体对角线，即是外接圆的直径.【详解】由题意，该球形容器的半径的最小值为并在一起的两个长方体体对角线的一半， 即为，∴该球形容器体积的最小值为：441π.故选：A.【点睛】本题考查了几何体的外接球问题，考查了空间想象能力，考查了转化思想，该类问题的一个主要方法是通过空间想象，把实际问题抽象成空间几何问题，属于中档题.三、解答题（本大题共5题，满分76分）17.如图，在长方体中，，.（1）设O、E分别为和AB中点，求证：OE平行于平面；（2）求异面直线与所成角的大小.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）首先取中点，连接、，易证四边形为平行四边形，所以，再利用线面平行的判定即可得到答案.（2）连接，得到是异面直线与所成角，再计算其大小即可.【小问1详解】取中点，连接、，如图所示： 因为O为中点，所以，且.又是长方体，为中点，所以，且，即，且，四边形为平行四边形，所以.又在平面内，在平面外，因此，平面.【小问2详解】连接，如图所示：因为平面，平面，所以，又，所以是异面直线与所成角（或其补角）.，故.因此，异面直线与所成角的大小为. 18.甲、乙两人都是围棋爱好者，某天两人要进行一场比赛，甲每局比赛获胜的概率是0.7（每局比赛仅有胜利或者失败两种可能），最终胜者将赢得100元的奖金.比赛开始后不久，就因为有其他要事而中止了比赛.（1）若是三局两胜的比赛（谁先胜两局比赛立即结束），且甲已经获胜一局后中止了比赛，则甲最终获胜的概率为多少？（2）若是五局三胜的比赛（谁先胜三局比赛立即结束），在已知甲、乙各胜1局的情况下中止了比赛，如何分配奖金比较公平？【答案】（1）0.91（2）甲应该分得奖金78.4元，乙应该分得奖金21.6元【解析】【分析】（1）由三局两胜的比赛规则，分别计算出甲获胜的概率，相加即可；（2）甲获胜有甲在第3和4局胜利、第3局胜利第4局失败第5局胜利、第3局失败第4，5局胜利这3种情况，分别计算再相加即可得甲获胜的概率，再由甲乙的胜负概率来分配奖金比较合理.【小问1详解】甲获胜方法有：第2局胜利或者第2局失败第3局胜利，则甲获胜的概率为.【小问2详解】甲获胜方法有：第3和4局胜利、第3局胜利第4局失败第5局胜利、第3局失败第4，5局胜利，则甲获胜的概率为.因此，甲应该分得奖金元，则乙应该分得奖金21.6元.19.某种“笼具”由上、下两层组成，上层和下层分别是一个圆锥和一个圆柱，其中圆柱与圆锥的底面半径相等，如图所示：圆锥无底面，圆柱无上底面有下底面，内部镂空，已知圆锥的母线长为20cm，圆柱高为30cm，底面的周长为.（1）求这种“笼具”的体积（结果精确到）；（2）现要使用一种纱网材料制作这样“笼具”的保护罩（包括底面）50个，该保护罩紧贴包裹“笼具”，纱网材料（按实测面积计算）的造价为每平方米8元，共需多少元？（结果 精确到0.1元）【答案】（1）（2）138.7元【解析】【分析】（1）先通过底面周长求出底面圆的半径，然后根据圆锥母线及底面圆半径求出圆锥的高，最后利用圆锥的体积加上圆柱的体积即可求解；（2）求出圆锥的侧面积，圆柱侧面积及一个底面积，即可得到“笼具”的表面积，然后求出总的造价即可.【小问1详解】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，高为，圆柱高为，则由题意有，得，圆锥高，所以“笼具”的体积.【小问2详解】圆柱的侧面积，圆柱的底面积，圆锥的侧面积，所以“笼具”的侧面积.故造50个“笼具”的最低总造价为元.答：这种“笼具”的体积约为；生产50个笼具需要138.7元.20.某地区水务局计划派500位企业员工组团参加2023年在广州举行的第十六届中国广州国际水处理技术设备展览会.团队按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示.区间人数5050a150b （1）上表是年龄的频数分布表，求正整数a、b的值；（2）现在要从年龄较小的第1、2、3组中用分层抽样的方法抽取6人，年龄在第1、2、3组的人数分别是多少？（3）因会务需要，现从第1、2、3组中抽取6人组成经验交流小组（其中第1组1人，第2组1人，第3组4人），在这6人中随机抽取2人，求至少有1人在第3组的概率.【答案】（1），（2）1人，1人，4人（3）【解析】【分析】（1）由频数分布表和频率分布直方图的性质列出方程，能求出，；（2）先求出第1，2，3组共有300人，由此利用分层抽样，求出抽取6人年龄在第1，2，3组的人数分别是多少；（3）设第1组的1位员工为，第二组的1位员工为，第3组的4位员工为，，，，由从6位同学中抽两位员工，利用列举法，求出至少有1人年龄在第3组的概率；【小问1详解】由题设可知，，，所以，.【小问2详解】因为第1，2，3组共有人，利用分层抽样在300名学生中抽取6名学生，每组抽取的人数分别为：第1组的人数为，第2组的人数为，第3组的人数为，所以第1，2，3组分别抽取1人，1人，4人.【小问3详解】设第1组的1位员工为A，第2组的1位员工为B，第3组的4位员工为，，， ，则从6位中抽两位员工有：，，，，，，，，，，，，，，共15种可能.其中2人年龄都不在第3组的有：共1种可能，所以，至少有1人年龄在第3组的概率为.21.如图，已知直三棱柱中，且，、、分别为、、的中点，为线段上一动点.（1）求与平面所成角的正切值；（2）证明：；（3）求锐二面角的余弦值的最大值.【答案】（1）（2）证明见解析（3）【解析】【分析】（1）由线面夹角的定义结合图形线面关系即可得与平面所成角的正切值；（2）以为坐标原点，以为轴，以为轴，以为轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量坐标运算即可证明；（3）根据空间向量坐标运算分别求解平面与平面法向量，由二面角的夹角余弦公式结合函数关系即可得最值.【小问1详解】由直三棱柱，知面，即在的投影为，所以为与平面所成角， 所以，因此，与平面所成角的正切值为；【小问2详解】以为坐标原点，以为轴，以为轴，以为轴，建立空间直角坐标系，如图：则，，，，，，，，故，为线段上一动点.设，则，故，所以，，故，所以，即；【小问3详解】由（2）可知：，，，设平面的法向量为，则，即，令，则，，则，设平面的法向量为，则， 即，则，令，则，则，故设二面角的平面角为，结合图形，为锐角，故，令，，，而函数在时单调递增，故时，取最小值，即当，即，时，取得最大值为.