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上海市徐汇区2022届高三数学下学期三模试题(Word版附解析)

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徐汇区高三线下复课数学自评试卷2022.06一、填空题1.已知复数,(其中为虚数单位),则___________.【答案】##【解析】【分析】利用复数的乘法化简可得结果.【详解】由已知可得.故答案为:.2.已知集合,,则___________.【答案】【解析】【分析】求出集合,利用交集的定义可求得结果.【详解】因为,因此,.故答案为:.3.设等差数列的前n项和为,若,则等于___________.【答案】45【解析】【分析】根据等差数列的性质有,再结合条件,求得,最后由求解.【详解】由等差数列的性质得:,又因为,所以,解得, 所以.故答案为:45【点睛】本题主要考查了等差数列的性质,还考查了转化问题和运算求解的能力,属于中档题.4.函数的反函数为,则___________.【答案】【解析】【分析】设,利用反函数的性质求出的值,即可得解.【详解】设,则点在函数的图象上,所以,,解得,因此,.故答案为:.5.已知,则___________.【答案】##【解析】【分析】利用诱导公式求出的值,再利用二倍角的余弦公式可求得结果.【详解】,因此,.故答案为:.6.已知多项式,则___________.【答案】【解析】【分析】写出展开式通项,令的指数为,求出参数的值,代入通项后即可求得的值.【详解】因为的展开式通项为,的展开式通项为, 由,可得,所以,故答案为:.7.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,第九卷“勾股”讲述了“勾股定理”及一些应用,其中直角三角形的三条边长分别称“勾”“股”“弦”,设点是抛物线的焦点,直线是该抛物线的准线,过抛物线上一点作准线的垂线,垂足为,射线交准线于点,若的“勾”,“股”,则抛物线方程为___________.【答案】【解析】【分析】由,得到,然后由抛物线的定义得到是等边三角形求解.【详解】解:当抛物线开口向右时,如图所示:因为,所以,由抛物线的定义得,所以是等边三角形,所以, 所以抛物线的方程是,同理,当抛物线开口向左时,抛物线方程为:,综上:抛物线的方程为:,故答案为:8.某校航模队甲组有10名队员,其中4名女队员,乙组也有10名队员,其中6名女队员.现采用分层抽样(层内采用不放回随机抽样)从甲、乙两组中共抽取4名队员进行技术考核,则从乙组抽取的队员中恰有一名女队员的概率为___________.【答案】【解析】【分析】利用分层抽样,求出从甲组中抽取2名队员,从乙组抽取2名队员,得到一共的选法,再求出乙组抽取的队员中恰有一名女队员的选法,利用古典概型概率公式求出答案.【详解】利用分层抽样,从甲组中抽取2名队员,从乙组抽取2名队员,则共有种选法,从乙组抽取的队员中恰有一名女队员的选法有种选法,所以从乙组抽取的队员中恰有一名女队员的概率为.故答案为:9.设圆锥底面圆周上两点、间的距离为,圆锥顶点到直线的距离为,和圆锥的轴的距离为,则该圆锥的侧面积为___________.【答案】【解析】【分析】根据圆锥的几何特征计算出圆锥的底面半径和母线长,结合圆锥的侧面积公式可求得结果.【详解】设圆锥的顶点为,底面圆圆心为点,取线段的中点,连接、、、, 因为,,则,,故,因为平面,平面,,所以,为直线、的公垂线,故,因为,,,所以,圆锥的底面圆半径为,母线长为,因此,该圆锥的侧面积为.故答案为:.10.设是直线与圆在第一象限的交点,则___________.【答案】【解析】【分析】求出直线与圆在第一象限内的交点坐标,分析可知当时,的值会无限趋近于点与点连线的斜率,结合斜率公式可求得的值.【详解】联立,解得, 因为,当时,直线趋近于直线,此时,直线与圆在第一象限的交点趋近于点,而可视为点与点连线的斜率,当时,的值会无限趋近于点与点连线的斜率,故.故答案为:.11.已知、是空间相互垂直的单位向量,且,,则的最小值是___________.【答案】3【解析】【分析】利用空间向量的数量积计算公式得到,求出最小值,进而求出答案.【详解】因为互相垂直,所以,,当且仅当时,取得最小值,最小值为9,则的最小值为3.故答案为:312.已知一簇双曲线:,设双曲线的左、右焦点分别为、,是双曲线右支上一动点,的内切圆与轴切于点 ,则___________.【答案】【解析】【分析】分析得到为右顶点,从而,利用等差数列求和公式进行计算.【详解】如图,由双曲线定义可知:,而根据切线长定理得:,,,所以,即,解得:,即为右顶点,,故,所以故答案为:二、选择题13.已知空间三条直线a、b、m及平面,且a、Ü,条件甲:,;条件乙:,则“条件乙成立”是“条件甲成立”的()A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充分且必要条件D.既非充分也非必要条件 【答案】A【解析】【分析】由充要条件的定义进行判断即可【详解】由题意,空间三条直线a、b、m及平面,且a、Ü,由线面垂直的判定定理可得:,,且需要与相交才能得出,故甲不能推出乙;而由线面垂直的定义可得,则必垂直内任意直线,即,,故乙能推出甲;故由充要条件的定义可知,乙是甲的充分不必要条件故选:A14.函数图象的大致形状是()A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】分析函数的奇偶性以及在上的函数值符号,可得出合适的选项.【详解】,该函数的定义域为,,函数为偶函数,当时,,,,此时. 因此,函数图象大致形状是C选项中的函数图象.故选:C.【点睛】本题考查利用函数解析式选择函数图象,一般分析函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及函数值符号,考查分析问题和解决问题的能力,属于中等题.15.当曲线(为参数)的点到直线(t为参数)的最短距离时,该点的坐标是().A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】将两个参数方程都化为直角坐标方程,由题意可知过圆心且垂直于直线的直线与圆的交点,就是所求的点【详解】解:曲线(为参数)的直角坐标方程为,直线(t为参数)的直角坐标方程为,当直线过圆心且垂直于直线时,直线的方程为,即,由,得或,所以当曲线(为参数)的点到直线(t为参数)的最短 距离时,该点的坐标是,故选:B16.已知函数,,对于不相等的实数、,设,,现有如下命题:①对于任意的实数,存在不相等的实数、,使得;②对于任意的实数,存在不相等的实数、,使得,下列判断正确的是()A.①和②均为真命题B.①和②均为假命题C.①为真命题,②为假命题D.①为假命题,②为真命题【答案】D【解析】【分析】假设①中的结论成立,构造,取,判断函数的单调性,可判断①;假设②中的结论成立,构造函数,判断出函数的单调性,可判断②.【详解】对于①,假设对于任意的实数,存在不相等的实数、,使得,则,可得,即,取,可得,令,因为函数、在上均为增函数,所以,当、,且时,;当时,函数的增长速度比函数的速度增长得更快, 任取、,且,记点、、、,则直线比直线的斜率更大,即,故,故①错;对于②,假设对于任意的实数,存在不相等的实数、,使得,则,可得,构造函数,因为函数为上的增函数,函数在上为增函数,所以,函数在上为增函数,取,则,记, 当时,,则,所以,存在区间,使得函数在上不是增函数,故对任意的实数,函数不单调,故对于任意的实数,存在不相等的实数、,使得,②对.故选:D.【点睛】关键点点睛:本题考查的是有关函数命题真假的判断,解题的关键在于假设结论成立,通过等式的结构构造新函数,转化为新函数的单调性问题来处理.三、解答题17.如图,在正三棱柱中,,异面直线与所成角的大小为.(1)求正三棱柱的体积;(2)求直线与平面所成角的大小.(结果用反三角函数值表示)【答案】(1);(2)【解析】【分析】(1)由已知可得,又,求得正三棱柱的底面边长为,再求出底面积,即可得到答案;(2)在底面三角形ABC中,过B作,垂足为O,连接,可得为直线BC1与平面所成角,求解三角形即求解【小问1详解】 ∵异面直线与所成角的大小为,且,∴,又,∴,即正三棱柱的底面边长为,∴,则正三棱柱的体积为;【小问2详解】在底面三角形ABC中,过B作,垂足为O,则O为AC中点,∵平面平面,平面平面,平面∴平面,连接,则为直线与平面所成角,∵,,∴,∴,即直线与平面所成角的大小为18.已知函数的部分图象如图所示. (1)求函数的解析式;(2)在为锐角的中,角、、的对边分别为、、,若,,且的面积为,求的值.【答案】(1)(2)或【解析】【分析】(1)由图象可得出函数的最小正周期,可求得的值,代入点、的坐标,可分别求出、的值,可得出函数的解析式;(2)由结合角的取值范围可求得角的值,利用三角形的面积公式可求得的值,利用余弦定理可求得的值.【小问1详解】解:由图象可知,函数的最小正周期为,.因为点在函数的图象上,所以,即.又,则,从而,即.又点在函数的图象上,所以由,得. 此时,则在附近单调递增,合乎题意,所以函数的解析式为.【小问2详解】解:由,所以,,因为,,,则,所以,或,可得或,当时,因为,可得.又因为,所以,解得;当时,因,可得,因为,所以,解得.所以或.19.某油库的设计容量为30万吨,年初储量为10万吨,从年初起计划每月购进石油万吨,以满足区域内和区域外的需求,若区域内每月用石油1万吨,区域外前个月的需求量(万吨)与的函数关系为,并且前4个月,区域外的需求量为20万吨.(1)试写出第个月石油调出后,油库内储油量(万吨)与的函数关系式;(2)要使16 个月内每月按计划购进石油之后,油库总能满足区域内和区域外的需求,且每月石油调出后,油库的石油剩余量不超过油库的容量,试确定的取值范围.【答案】(1),();(2).【解析】【详解】1)由条件得,所以2分,().(2)因,所以恒成立恒成立设,则:恒成立,由恒成立得(时取等号)恒成立得(时取等号)所以.20.已知椭圆:焦距为,过点,斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点、.(1)求椭圆的方程;(2)若,最大值;(3)设,直线与椭圆的另一个交点为,直线与椭圆的另一个交点 为.若、和点共线,求实数的值.【答案】(1)(2)(3)【解析】【分析】(1)待定系数法求解椭圆方程;(2)设出直线方程,联立椭圆方程,求出两根之和,两根之积,利用弦长公式得到,结合的取值范围,求出最大值;(3)设出直线方程,表达出两点坐标,由、、三点共线得到方程,化简后得到.【小问1详解】由题意得:焦距为,得,点坐标代入椭圆方程得:,,解得:,,所以椭圆的标准方程为.【小问2详解】设直线的方程为,由消去可得,则,即,设,,则,, 则,易得当时,,故的最大值为.【小问3详解】设,,,,则①,②,又,所以可设,直线的方程为,由消去可得,则,即,由,及①,代入可得,又,所以,所以,同理可得.故,,因为、、三点共线,所以.将点,的坐标代入,通分化简得,即.【点睛】处理圆锥曲线问题,通常要设出直线方程,与圆锥曲线联立,得到两根之和,两根之积,再利用弦长公式或题干中条件,求出取值范围或得到方程,求出参数.21.记实数、中较小者为,例如,,对于无穷数列,记.若对任意均有,则称数列为“趋向递增数列”. (1)已知数列、的通项公式分别为,,判断数列、是否为“趋向递增数列”?并说明理由;(2)已知首项为,公比为的等比数列是“趋向递增数列”,求公比的取值范围;(3)若数列满足、为正实数,且,求证:数列为“趋向递增数列”的必要非充分条件是中没有.【答案】(1)数列不是“趋向递增数列”,数列是“趋向递增数列”,理由见解析(2)(3)证明见解析【解析】【分析】(1)利用定义“趋向递增数列”判断数列、,可得出结论;(2)求得,分、、、、、六种情况讨论,验证能否恒成立,综合可得出的取值范围;(3)利用充分条件、必要条件的定义,利用反证法结合“趋向递增数列”的性质证明数列中没有,再证明出数列中没有时数列不是“趋势递增数列”.【小问1详解】解:由于,记,所以,,由于,不满足对任意均有,所以数列不是“趋向递增数列”, 由于,记,所以,数列是“趋向递增数列”.【小问2详解】解:.当时,数列为单调递增数列,此时,满足题意,当时,数列为常数列,不满足题意;当时,数列为单调递减数列,此时,不满足题意;当时,此时,满足题意;当时,此时,不满足题意;当时,此时,不满足题意,综上所述,的取值范围是.【小问3详解】证明:先证必要性:假设存在正整数使得,,令.因为、为正实数,且,所以,于是.则数列从第项开始为:、、、、、、.若为奇数,,,与数列为“趋向递增数列”矛盾:若为偶数,,,‘’与数列 为“趋向递增数列”矛盾,故假设不成立,所以数列为“趋向递增数列”的必要条件是中没有;再证非充分:首先,若中没有,构造数列:,,,,此时,,,与“趋向递增数列”定义矛盾;其次,证明数列中各项均大于.下面利用数学归纳法证明.即证:,①当时,,;②假设当时,命题成立,即,.当时,,.因此,有对任意,均有.当为偶数时,;当为奇数时,,所以对任意均成立.因此,中没有是数列为“趋向递增数列”非充分条件.所以数列为“趋向递增数列”的必要非充分条件是中没有.【点睛】关键点点睛:本题考查数列新定义“趋势递增数列”,在证明第三问时,可充分采用反证法与数学归纳法结合充分条件、必要条件的定义来证明,并且可充分利用特例法来推出矛盾.

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发布时间:2023-04-18 23:45:02 页数:21
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文章作者:随遇而安

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