江西省部分学校2023届高三数学（理）下学期3月月考试题（Word版附解析）

高三数学考试（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合，，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】解不等式求得集合，由此求得.【详解】由解得，所以，由得，解得或，所以，所以.故选：D2.青少年近视情况日益严重，为了解情况，现从某校抽取部分学生，用对数视力表检查视力情况，A组和B组数据结果用茎叶图记录（如图所示），其中茎表示个位数，叶表示十分位数．对于这两组数据，下列结论正确的是（）A.两组数据的中位数相等B.两组数据的极差相等C.两组数据的平均数相等D.两组数据的众数相等【答案】C【解析】【分析】将两组数据从小到大排列，分别根据中位数、极差、平均数、众数的概念及求法，求解并判断即可．【详解】A组数据按从小到大排列为：4.0，4.4，4.6，4.6，4.6，4.7，4.8，5.0，5.1，5.2，B组数据按从小到大排列为：4.2，4.4，4.4，4.5，4.8，4.8，4.8，4.9，5.0，5.2，所以A组数据的中位数为＝4.65，B组数据的中位数为＝4.8，故两组数据的中位数不相等，故A错误； A两组数据的极差为5.2－4.0＝1.2，B组数据的极差为5.2－4.2＝1.0，故两组数据的极差不相等，故B错误；A组数据的平均数为×(4.0＋4.4＋3×4.6＋4.7＋4.8＋5.0＋5.1＋5.2)＝4.7，B组数据的平均数为×(4.2＋2×4.4＋4.5＋3×4.8＋4.9＋5.0＋5.2)＝4.7，故两组数据的平均数相等，故C正确；A组数据的众数为4.6，B组数据的众数为4.8，故两组数据的众数不相等，故D错误．故选：C．3.在四面体ABCD中，为正三角形，AB与平面BCD不垂直，则（）A.AB与CD可能垂直B.A在平面BCD内的射影可能是BC.AB与CD不可能垂直D.平面ABC与平面BCD不可能垂直【答案】A【解析】【分析】根据线线垂直、线面垂直、面面垂直的知识确定正确答案.【详解】当四面体ABCD为正四面体时，如图所示，在平面上的射影为，即平面，由于平面，所以.延长交于，则，由于平面，所以平面，由于平面，所以.所以A正确，C错误.若A在平面BCD内的射影是B，则AB与平面BCD垂直，与已知矛盾，B错误.平面ABC与平面BCD可能垂直，D错误.故选：A4.若是定义在R上的奇函数，则下列函数是奇函数的是（） A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据函数的奇偶性确定正确答案.【详解】依题意，是定义在R上的奇函数，，A选项，对于函数，，所以函数不是奇函数.B选项，对于函数，，所以函数不是奇函数.C选项，对于函数，，所以函数是奇函数.D选项，对于函数，，所以函数不是奇函数.故选：C5.设圆与y轴交于A，B两点（A在B的上方），过B作圆O的切线l，若动点P到A的距离等于P到l的距离，则动点P的轨迹方程为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据题意分别求得，的坐标与切线，再根据抛物线的定义即可求得动点的轨迹方程．【详解】因为圆与轴交于，两点（在的上方），所以，，又因为过作圆的切线，所以切线的方程为，因为动点到的距离等于到的距离， 所以动点的轨迹为抛物线，且其焦点为，准线为，所以的轨迹方程为．故选：A.6.已知随机变量X的分布列为（）Xt6P0.30.20.20.3若t在内变化，当X的数学期望取得最小值时，（）A.B.C.0.15D.0.25【答案】B【解析】【分析】根据数学期望公式结合二次函数的最值求解即可.【详解】，故当时，X的数学期望取得最小值．故选：B7.若一个等比数列的首项为，公比为2，S是该等比数列前10项之和，是该等比数列前10项的倒数之和，则（）A.16B.32C.64D.128【答案】B【解析】【分析】易得该等比数列前10项的倒数构成一个新的等比数列，且其首项为4，公比为，再根据等比数列的前项和公式求解即可.【详解】依题意可得该等比数列前10项的倒数构成一个新的等比数列，且其首项为4，公比为．故．故选：B8.已知函数的图象在原点处的切线与在点处的切线的交点为P，则 （）A.2B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先由函数的导函数求得函数原点处的切线与在点处的切线的倾斜角的正切值，再由与两倾斜角的关系结合两角差的正切公式可得.【详解】由，可得，，则曲线在点O处的切线的倾斜角为，设曲线在点A处的切线的倾斜角为，则．由图可知，．故选：A9.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则“”是“为锐角三角形”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】先利用正弦定理化边为角，再结合余弦定理分为钝角三角形，为直角三角形，为直角三角形三种情况讨论，即可判断三角形的形状，即可得充分性，根据三角形的锐角三角形结合余弦定理可得必要性.【详解】若，则，假设为钝角三角形， 则由余弦定理得，，这三个代数式中有两个为正，一个为负，可得，这与题设矛盾，因此不为钝角三角形，假设为直角三角形，则由余弦定理得，，这三个代数式中有两个为正，一个为零，可得，假设为锐角三角形，则由余弦定理得，，这三个代数式都为正，可得，所以为锐角三角形，若为锐角三角形，则，，这三个代数式均为正，所以，故“”是“为锐角三角形”的充要条件.故选：C.10.已知A，B，C为椭圆D上的三点，AB为长轴，，，，则D的离心率是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据已知条件求得，进而求得椭圆的离心率.【详解】设椭圆D的方程为，如图，点C的横坐标为，纵坐标为，因为，所以， 将点C的坐标代入，得，解得，故.故选：D11.定义在上的函数的导函数都存在，且，则必有（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】通过分析不等式，构造新函数求导后得出单调性，即可得出结论【详解】由题意，，由，得．设函数，则，∴在上单调递增，从而．即，即．故选：A.【点睛】本题考查导数的应用与不等式的综合，考查数学抽象、数学运算、逻辑推理的核心素养．12.已知数列共有m项，，且当时，．当项数 m的最大值为220时，常数p的值为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】当项数m最大时，，则，m的最大值为220，解得．【详解】当时，，当项数m最大时，，则，，将以上各式相加得，即．因为m的最大值为220，所以，解得．故选：C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13.写出一个满足下列两个条件的复数：______.①的实部为5；②z的虚部不为0.【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】根据复数运算、实部、虚部的知识写出正确答案.【详解】设，则，依题意可得，.故可取，.故答案为：（答案不唯一）14.已知两个单位向量满足与垂直，则_______．【答案】【解析】【分析】根据题意，由向量垂直可得其数量积为0，列出方程，即可得到结果. 【详解】依题意可得，是两个单位向量，则则．故答案为：15.如图为一个开关阵列，每个开关只有“开”和“关”两种状态，按其中一个开关1次，将导致自身和所有相邻（上、下相邻或左、右相邻）的开关改变状态.若从这十六个开关中随机选两个不同的开关先后各按1次（例如：先按，再按），则和的最终状态都未发生改变的概率为______.【答案】【解析】【分析】根据开关阵列的性质，结合古典概型的概率公式进行求解即可.【详解】要使得的状态发生改变，则需要按，，，，这五个开关中的一个，要使得的状态发生改变，则需要按，，这三个开关中的一个，所以要使得和的最终状态都未发生改变，则需按其他八个开关中的两个或，，，，中的两个或，，中的两个，故所求概率为.故答案为：【点睛】关键点睛：根据开关阵列的判断出：要使得和的最终状态都未发生改变， 则需按其他八个开关中的两个或，，，，中的两个或，，中的两个，是解题的关键.16.将3个的正方形都沿其中的一对邻边的中点剪开，每个正方形均分成两个部分，如图（1）所示，将这6个部分接于一个边长为的正六边形上，如图（2）所示．若该平面图沿着正六边形的边折起，围成一个七面体，则该七面体的体积为_______；若在该七面体内放置一个小球，则小球半径的最大值为_______．【答案】①.108②.【解析】【分析】将平面图形折叠并补形得到如图（3）所示的正方体，该七面体为正方体沿着图中的六边形截面截去一部分后剩下的另一部分，即可求解其体积；当小球为该七面体的内切球时，半径最大，此球亦为正三棱锥A－BCD的内切球，设正三棱锥A－BCD的内切球的半径为rcm，根据三棱锥的体积计算即可求解．【详解】将平面图形折叠并补形得到如图（3）所示的正方体，该七面体为正方体沿着图中的六边形截面截去一部分后剩下的另一部分，易得其体积为正方体体积的一半，即．当小球为该七面体的内切球时，半径最大，此球亦为正三棱锥的内切球，，设O为中心，则，高， 设正三棱锥A－BCD的内切球的半径为，则，①在中，，得，，代入①，得．故答案为：108；.三、解答题：共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.如图，在棱长为2的正方体中，E，F，G分别为，，的中点.（1）过BG作该正方体的截面，使得该截面与平面平行，写出作法，并说明理由；（2）求直线DE与平面所成角的正弦值.【答案】（1）作法见解析，理由见解析（2）【解析】【分析】（1）通过构造面面平行的方法作出截面.（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线DE与平面所成角的正弦值.【小问1详解】 取的中点H，连接，，BH，GH，即截面为要求作的截面.理由如下：因为E，F分别为，的中点，所以，又平面，平面，所以平面.在正方形中，因为G为的中点，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以，由于平面，平面，所以平面.又，平面，所以平面平面.连接，易证，，则，所以，B，H，G四点共面，从而截面为要求作的截面.小问2详解】如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，则，，，，，，.设平面的法向量为，则，令，得，所以.故直线DE与平面所成角的正弦值为. 18.已知函数在上单调递减.（1）求的最大值；（2）若的图象关于点中心对称，且在上的值域为，求m的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）将看作整体，再根据正弦型函数的单调性可求得结果；（2）根据正弦型函数的对称中心及第一问可得解析式，再利用正弦型函数的图象与性质可得结果.【小问1详解】由条件知则，由正弦函数的性质可知：又有，当时，符合题意；当时，不等式，舍去， 所以的最大值为.【小问2详解】因为的图象关于点中心对称，所以.即，由（1）得：，所以，则，当时，，因为在上的值域为，所以，则，解得，所以m的取值范围是.19.2022年12月份以来，全国多个地区纷纷采取不同的形式发放多轮消费券，助力消费复苏.记发放的消费券额度为x（百万元），带动的消费为y（百万元）.某省随机抽查的一些城市的数据如下表所示.x33455668y1012131819212427（1）根据表中的数据，请用相关系数说明y与x有很强的线性相关关系，并求出y关于x的线性回归方程.（2）（ⅰ）若该省A城市在2023年2月份准备发放一轮额度为10百万元的消费券，利用（1）中求得的线性回归方程，预计可以带动多少消费？（ⅱ）当实际值与估计值的差的绝对值与估计值的比值不超过10％时，认为发放的该轮消费券助力消费复苏是理想的.若该省A城市2月份发放额度为10百万元的消费券后，经过一个月的统计，发现实际带动的消费为30百万元，请问发放的该轮消费券助力消费复苏是否理想？若不理想，请分析可能存在的原因.参考公式：，，.当 时，两个变量之间具有很强的线性相关关系.参考数据：.【答案】（1）具有很强的线性相关关系,（2）（ⅰ）3525百万元（ⅱ）不理想，理由见解析，答案不唯一【解析】【分析】（1）通过相关系数公式求得相关系数，利用回归直线方程的计算公式求得回归直线方程.（2）（ⅰ）利用回归直线方程求得预测值.（ⅱ）根据“理想”的定义进行分析，从而确定正确答案.【小问1详解】，，，，代入公式可得相关系数.由于且r非常接近1，所以y与x具有很强的线性相关关系.经计算可得，.所以所求线性回归方程为.【小问2详解】 （ⅰ）当时，，所以预计能带动的消费达35.25百万元.（ⅱ）因为％，所以发放的该轮消费券助力消费复苏不是理想的.发放消费券只是影响消费的其中一个因素，还有其他重要因素，比如：A城市经济发展水平不高，居民的收入水平直接影响了居民的消费水平；A城市人口数量有限、商品价格水平、消费者偏好、消费者年龄构成等因素一定程度上影响了消费总量.（只要写出一个原因即可）.20.已知函数.（1）求的最小值.（2）若，且.证明：（ⅰ）；（ⅱ）.【答案】（1）7（2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析【解析】【分析】（1）利用导数求得的单调区间，进而求得的最小值.（2）（ⅰ）利用差比较法证得不等式成立.（ⅱ）将证明转化为证明，利用构造函数法，结合导数证得不等式成立.【小问1详解】.当时，，单调递减；当时，，单调递增.所以.【小问2详解】（ⅰ）由（1）可知，，因为，所以，， 则，所以.（ⅱ）由得，要证，只需证，只需证，即证.令函数，则，所以，因为，所以，在上单调递减.所以，则，故.21.已知等轴双曲线C的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，且焦点到渐近线的距离为.（1）求C的方程；（2）若C上有两点P，Q满足，证明：是定值.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据焦点到渐近线的距离求得，进而求得等轴双曲线的方程.（2）由进行化简，通过化归与转化，求得为定值.【小问1详解】设C的方程为， 不妨设右焦点为，渐近线方程为.右焦点到渐近线距离.因为C为等轴双曲线，所以.所以C的方程为.【小问2详解】设，.由，得，且，，所以，则，即，平方后得，等式两边同时除以，得，即，即.所以是定值，且该定值为.（二）选考题：共10分．请考生从第22，23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一个题目计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在极坐标系中，圆C的圆心在极轴上，半径为2，且圆C经过极点． （1）求圆C的极坐标方程；（2）若P为圆C上的动点，过P作直线的垂线，垂足分别为A，B，求面积的最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）设为圆C上一点，再根据圆的性质与三角函数关系求解即可；（2）根据极坐标与直角坐标的互化可得圆C的直角坐标方程，再设，进而表达出面积，结合二次函数与三角函数的值域求解即可.【小问1详解】如图，设为圆C上一点，O为极点，为圆C的直径，连接，则，则．故圆C的极坐标方程为．【小问2详解】极坐标中的直线对应的直角坐标方程为．因为圆C的直角坐标方程为，设，所以，，则的面积；设，则，当时，S取得最大值．[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数．（1）若，证明：．（2）记集合，试判断A与B 的关系，并说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2），理由见解析.【解析】【分析】（1）利用绝对值三角不等式，结合正弦函数最大值推理作答.（2）分段讨论解含绝对值不等式得集合A，再求出集合B作答.【小问1详解】当时，，当且仅当，即时取等号，而，所以.【小问2详解】依题意，，，不等式化为：或或，解得，解得，解得，因此，由，得，解得，因此，所以.