江西省部分学校2023届高三数学（理）上学期1月联考试题（Word版附解析）

高三数学考试（理科）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自已的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本大题共12小题；每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】分别解二次不等式，一次不等式得集合，再由集合交集运算得.【详解】，，，故选：A.2.已知复数，若，则复数在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，求出a值，即可求出复数对应点的坐标作答. 【详解】依题意，，即，又，因此，解得，则有，所以在复平面内对应的点位于第三象限.故选：C3.已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，若点到轴的距离是，则（）A.2B.3C.4D.6【答案】C【解析】【分析】根据抛物线的定义，得到焦半径公式，结合点到轴的距离即可解决问题.【详解】由抛物线的焦点为，点在抛物线上，所以抛物线焦点，准线方程为：，设，且由题，由抛物线定义得：，又点到轴的距离是，所以，所以，故选：C.4.函数的部分图象大致为（）A.B. C.D.【答案】B【解析】【分析】根据函数奇偶性以及函数值的正负可得答案．【详解】因为，，所以为奇函数，得的图象关于原点对称，当时，，排除AD，当时，，排除C.故选：B．5.若是第二象限角，且，则（）A.B.C.D.，【答案】D【解析】【分析】由已知和求出，再代入两角和的正切展开式可得答案.【详解】是第二象限角，所以，，由，得，，所以，则.故选：D.6.某数学兴趣小组的学生为了了解会议用水的饮用情况，对某单位的某次会议所用矿泉水饮用情况进行调查，会议前每人发一瓶500ml的矿泉水，会议后了解到所发的矿泉水饮用情况主要有四种：A．全部喝完；B．喝剩约；C．喝剩约一半；D．其他情况．该数学兴趣小组的学生将收集到的数据进行整理，并绘制成所示的两幅不完整的统计图． 根据图中信息，本次调查中会议所发矿泉水全部喝完的人数是（）A.40B.30C.22D.14【答案】C【解析】【分析】由两幅统计图可得喝剩约的人有40人，所占可得参加该会议人数，再由喝剩约一半的百分比、其他情况的人数可得答案.【详解】由两幅统计图可得喝剩约的人有40人，所以该会议共有人，所以喝剩约一半的有人，而其他情况共有8人，所以本次调查中会议所发矿泉水全部喝完的人数是人.故选：C.7.在四棱锥中，平面，四边形是正方形，，，，分别是棱，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间向量求线线角的余弦作答.【详解】在四棱锥中，平面，四边形是正方形，以点A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 令，而分别是棱的中点，则，由得：，则，,所以异面直线与所成角的余弦值为.故选：A8.当光线入射玻璃时，表现有反射、吸收和透射三种性质．光线透过玻璃的性质，称为“透射”，以透光率表示．已知某玻璃的透光率为90%（即光线强度减弱10%）．若光线强度要减弱到原来的以下，则至少要通过这样的玻璃的数量是（）（参考数据：，）A.30块B.31块C.32块D.33块【答案】B【解析】【分析】根据给定条件，列出不等式，再利用对数函数的性质解不等式作答.【详解】令光线原有强度为1，经过n块玻璃后光线强度变为原来的，依题意，，两边取对数得：，即有，而，则，所以至少要通过这样的玻璃的数量是31块.故选：B9.已知是定义在上的奇函数，是的导函数，当时， ．若，则不等式的解集是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】构造函数，其中，分析函数的奇偶性与单调性，可得出，然后分、两种情况解不等式，综合可得出原不等式的解集.【详解】构造函数，其中，则，所以，函数为奇函数，且，，当时，，所以，函数在上为增函数，因为函数为奇函数，故函数在上为增函数，由可知，当时，，可得；当时，，可得.综上所述，不等式的解集为.故选：B.10.已知函数，则（）A.的最小正周期是B.的图象关于直线对称C.在上有4个极值点D.在上单调递减【答案】D【解析】 【分析】根据给定条件，利用函数周期性、对称性定义判断A，B；求导并探讨导数在上的正负情况判断C；探讨函数在上单调性判断D作答.【详解】函数，对于A，，即不是的周期，A不正确；对于B，因为，而，显然函数图象上的点关于直线的对称点不在的图象上，B不正确；对于C，当或时，，，此时或，当或，即或时，函数取得最值，因此在或取极值，当时，，，此时，当或，即或时，函数取得最值，因此在或取极值，当时，，函数在上单调递减，当时，，函数在上单调递增，又函数是定义域R上的连续函数，则是函数的一个极小值点， 所以函数在上的极值点至少有5个，C不正确；对于D，因为，则是函数的一个周期，当时，，由选项C知函数在上单调递减，因此函数在上单调递减，所以在上单调递减，D正确.故选：D11.已知双曲线的左、右焦点分别是，，过作圆的切线交双曲线的右支于点，切点为，若，则双曲线的离心率为（）A.B.2C.3D.【答案】A【解析】【分析】根据题意结合勾股定理可得，从而可得，再根据双曲线的定义得，利用中位线的关系可得，在三角形中利用勾股定理即可求解.【详解】由题意，作图如下，因为，所以，又因为，所以，则，根据双曲线的定义可得，所以， 取中点为，连接,则为的中位线，所以，因为，在直角三角形中，，所以，则，所以，所以离心率为，故选:A.12.数学中有许多形状优美，寓意独特的几何体，图1所示的礼品包装盒就是其中之一．该礼品包装盒可以看成是一个十面体，其中上、下底面为全等的正方形，所有的侧面是全等的等腰三角形．将长方体的上底面绕着其中心旋转45°得到如图2所示的十面体．已知，，，过直线作平面，则十面体外接球被平面所截的截面圆面积的最小值是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】 【分析】根据给定的几何体，确定出球心O的位置，求出球半径，再建立空间直角坐标系求出点O到直线距离，进而求出最小截面圆半径作答.【详解】依题意，四边形是正方形，令正方形与正方形中心分别为，连接，因为正方形与正方形在同一平面内，且有相同中心，因此它们有相同的外接圆，从而十面体与长方体的外接球相同，球心O是线段的中点，如图，取中点M，连接，因为，则，显然，又平面，则平面，而平面，平面，即有，平面，则平面，平面与平面有公共点，显然平面与平面为同一平面，有，而，，在直角梯形中，过作于I， ，球O的半径，过D作平面，以点D为原点，射线分别为轴非负半轴，建立空间直角坐标系，则，，由已知得，即，，，则点到直线的距离有：,球O被过直线的平面所截的截面圆最小时，球心O到平面的距离最大，即为点到直线的距离，截得的最小截面圆半径为，而，则，所以截得的截面圆面积的最小值是.故选：C【点睛】关键点睛：解决与球有关的内切或外接问题时，关键是确定球心的位置，再利用球的截面小圆性质求解.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13.已知向量，，，若，，三点共线，则 ______．【答案】【解析】【分析】根据给定条件，求出向量坐标，再利用共线向量的坐标表示计算作答.【详解】因为向量，，则，而，又，，三点共线，则有，因此，解得，所以.故答案为：14.在中，内角，，所对的边分别是，，，若，，，则______．【答案】【解析】【分析】利用余弦定理列方程求解.【详解】由余弦定理得即，解得（舍），故答案为:.15.某班派甲、乙等五人参加跳高、跳远、米短跑这三个项目，要求每人只参加一个项目，且每个项目都要有人参加，则甲、乙参加同一个项目的概率是______．【答案】##【解析】【分析】计算出将三个项目都有人参加的安排方法种数，以及甲、乙参加同一个项目的分配方法种数，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】将甲、乙等五人参加跳高、跳远、米短跑这三个项目，每人只参加一个项目，且每个项目都要有人参加，可将这五人分为组，每组人数分别为、、或、、，则不同的安排方法种数为种； 若甲、乙安排在同一个项目，分以下两种情况讨论：①甲、乙所安排的项目只有人参与，此时，不同的安排方法种数为；②甲、乙所安排的项目有人参与，此时，不同的安排方法种数为.综上所述，甲、乙参加同一个项目的概率是.故答案为：.16.已知函数，定义域均为，且，．若的图象关于直线对称，且，则______．【答案】90【解析】【分析】的图象关于直线对称得，由得，得，从而得，，是周期为4的周期函数，再利用周期可得答案.【详解】因为的图象关于直线对称，则，又，即有，则，因为，得，因此，则，显然，则，即，所以是周期为4的周期函数，，，由得，，又，，则， 所以，所以.故答案为：90.【点睛】结论点睛：函数关于直线对称，则有；函数关于中心对称，则有，函数的周期为，则有.三、解答题：共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步聚．题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.公差不为的等差数列的前项和为，且满足，、、成等比数列．（1）求的前项和；（2）记，求数列的前项和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）设等差数列的公差为，则，根据题意可得出关于的方程，求出的值，可求得数列的通项公式，利用等差数列的求和公式可求得；（2）求得，利用裂项相消法可求得.小问1详解】 解：设等差数列的公差为，则，，，，由题意可得，即，解得，所以，，所以，.【小问2详解】解：，所以，.18.某商场在周年庆举行了一场抽奖活动，抽奖箱中所有乒乓球都是质地均匀，大小与颜色相同的，且每个小球上标有1，2，3，4，5，6这6个数字中的一个，每个号都有若干个乒乓球．顾客有放回地从抽奖箱中抽取小球，用表示取出的小球上的数字，当时，该顾客积分为3分，当时，该顾客积分为2分，当时，该顾客积分为1分．以下是用电脑模拟的抽奖，得到的30组数据如下：131163341241253126316121225345（1）以此样本数据来估计顾客的抽奖情况，分别估计某顾客抽奖一次，积分为3分和2分的概率；（2）某顾客从上述30个样本数据中随机抽取2个，若该顾客总积分是几分，商场就让利几折（如该顾客积分为，商场就给该顾客的所有购物打折），记该顾客最后购物打X折，求X的分布列和数学期望．【答案】（1）估计积分为3分的概率为，积分为2分的概率为（2）分布列见解析；【解析】【分析】（1）由样本数据分别计算积分为3分和2分的频率，由此估计概率即可； （2）先确定X的可能取值，分别求出对应的概率，列出分布列，由数学期望公式求解即可．【小问1详解】由题意可知某顾客抽奖一次，积分为3分的频率是，则估计某顾客抽奖一次，积分为3分的概率为．某顾客抽奖一次，积分为2分的频率是，则估计某顾客抽奖一次，积分为2分的概率为．【小问2详解】由题意可知可能取值为4，5，6，7，8..则的分布列为87654故．19.如图，在正三棱柱中，，，分别是棱，的中点．（1）证明：平面平面．（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）根据法向量垂直，即可求证，（2）根据平面法向量的夹角即可求解面面角.小问1详解】设，分别是，的中点，连接，，，则，是等边三角形，，又根据题意可得：平面平面，且交线为，又平面，平面，又平面，．又根据正三棱柱的性质可知：平面，平面，，平面，，，以为原点，建立空间直角坐标系，如图所示，设，则，，设平面，平面的法向量分别为，所以取，则，取，则，所以，故，所以平面平面． 【小问2详解】设平面的法向量分别为,则，取，则，设平面与平面所成的锐二面角为，则，故平面与平面所成锐二面角的余弦值为20.已知椭圆的离心率是，点在椭圆上．（1）求椭圆的标准方程．（2）已知，直线与椭圆交于、两点，若直线、的斜率之和为，试问的面积是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）（2）的面积是否存在最大值，且最大值为【解析】【分析】（1）根据已知条件可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆的标准方程；（2）设点、，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，根据求出的值，利用三角形的面积公式以及基本不等式可求得面积的 最大值.【小问1详解】解：由已知可得，解得，故椭圆的标准方程为.【小问2详解】解：设点、，联立可得，，可得，由韦达定理可得，，，同理可得，，，解得，所以，，即，故直线过定点，，当且仅当时，即当时，等号成立，故的面积存在最大值，且最大值为. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．21.已知函数的图象在处的切线方程为．（1）求，的值；（2）若关于的不等式对于任意恒成立，求整数的最大值．（参考数据：）【答案】（1），；（2）3【解析】【分析】（1）根据给定条件，求出函数的导数，利用导数的几何意义求解作答.（2）利用导数求出函数在区间上的最小值取值范围，再结合恒成立的不等式即可作答.【小问1详解】函数，求导得：，因为函数的图象在处的切线方程为，则，解得，当时，，则，解得，所以，.【小问2详解】由（1）知，，，令，，在上单调递增，当时，，当时，，因此函数在上单调递减，在上单调递增，，， ，于是存在，使得，当或时，，当时，，即有函数在上单调递增，在上单调递减，而，，显然函数在上的最小值为与中最小的，由得，因此，函数图象对称轴，显然，以下比较到的距离大小：若，则有，，，若，则，从而函数在上，当时，有，即，显然，综上，函数在上的最小值在区间内，对于任意恒成立，则有，所以整数的最大值为3.【点睛】结论点睛：恒成立，只需即可；恒成立，只需即可.（二）选考题：共10分．请考生从第22，23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一个题目计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（ 为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程是．（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；（2）已知，设直线和曲线交于，两点，线段的中点为，求的值．【答案】（1）,（2）【解析】【分析】(1)根据同角三角的平方关系消去参数可得曲线的普通方程，利用公式可得直线的直角坐标方程；(2)联立直线和圆方程，求出点坐标，用两点间距离公式求解.【小问1详解】由得，所以曲线的普通方程为.将代入得，所以直线的直角坐标方程为.【小问2详解】设，联立得得，所以的纵坐标为，则横坐标为，即，所以. [选修4-5：不等式选讲]23.已知函数．（1）求不等式的解集；（2）若对任意的，关于的不等式恒成立，求的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）分、、讨论去绝对值解不等式可得答案；（2）转化为对任意的，不等式恒成立，令，求出的最小值可得答案.【小问1详解】由不等式得，即，当时，得，解得；当时，得，解得；当时，得，解得；所以不等式的解集为；【小问2详解】若对任意的，关于的不等式恒成立，则对任意的，不等式恒成立，令，，当时，，因为，所以，当时，，因，所以， 所以，所以.若对任意的，不等式恒成立，则的取值范围是.