四川省内江市第二中学2023-2024学年高三数学（文）上学期10月月考试题（Word版附解析）

内江二中高2024届高三上期第二次月考数学（文科）试题一、选择题1.设，，，则（    ）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据交集的知识求得正确答案.【详解】依题意，.故选：B2.已知，则是成立的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】解一元二次不等式，再由充分必要条件的定义判断即可.【详解】由可得：，因为推不出，而能推出，所以是成立的必要不充分条件故选：B.3.已知集合，，若，则实数a的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】求出，，根据，得到，从而得到不等式，求出实数a的取值范围. 【详解】，，因为，所以，故，解得：，故选：D4.若“，使得成立”是假命题，则实数的取值范围为（）A.B.CD.【答案】B【解析】【分析】“，使得成立”是假命题，等价于“，使得成立”是真命题，再利用基本不等式，求出时，的最小值，即可得实数的取值范围．【详解】若“，使得成立”是假命题，则“，使得成立”是假命题，即等价于“，使得成立”是真命题.根据基本不等式，，当且仅当，即时等号成立，所以，故实数的取值范围为.故选：B．5.函数图象大致为 A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先确定函数定义域，再确定函数奇偶性，最后根据值域确定大致图像。【详解】由题函数定义域为，，函数为偶函数，图像关于y轴对称，B,C选项不符合，当时，，则函数图像大致为A选项所示.故选：A【点睛】此类题目通常根据函数的定义域，周期性，奇偶性以及值域和特殊点等来判断大致图像。6.设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如:，．已知函数，若，，则函数的值域为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据高斯函数的定义，分段讨论的取值，计算的值域.【详解】当时,，∴，当时,，∴， ∴函数的值域为.故选:B.7.已知定义在R上的函数在上单调递增，且为偶函数，则不等式的解集为（）．A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据已知条件，可得对称轴为，且在上单调递减.根据函数的对称性与单调性，可得只需即可，解出不等式即可.【详解】由题意可得，对称轴为，且在上单调递减.则由，可得出，即，即，解得或.所以，不等式的解集为.故选：B.8.已知定义在上的函数满足，且为偶函数，若在上单调递减，则下面结论正确的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由已知可知函数具有周期性和对称性，从而可得，，再利用函数单调性比较大小即可.【详解】由得，所以， 又为偶函数，所以的图象关于对称，所以，，又在内单调递减，，即.故选：D.9.教室通风的目的是通过空气的流动，排出室内的污浊空气和致病微生物，降低室内二氧化碳和致病微生物的浓度，送进室外的新鲜空气.按照国家标准，教室内空气中二氧化碳日平均最高容许浓度应小于等于.经测定，刚下课时，空气中含有的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为，且随时间(单位：分钟)的变化规律可以用函数（）描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准至少需要的时间为（）(参考数据)A.10分钟B.14分钟C.15分钟D.20分钟【答案】B【解析】【分析】根据已知条件求得的值，由此列不等式，解不等式求得的取值范围，从而确定正确答案.【详解】由题意知，当时，，所以所以，解得，所以.故该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准至少需要的时间为14分钟.故选：B10.已知函数，则使函数有零点的实数m的取值范围（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用函数的单调性数形结合判定范围即可.【详解】函数有零点，即与有交点即可， 易知单调递增，在时，，时，，可得函数的大致图象如图，易得.故选：C11.已知函数若的最小值为，则实数a的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】分别求解分段函数在每一段定义区间内的最小值，结合函数在整体定义域内的最小值得到关于a的不等式组，解不等式组得到a的取值范围.【详解】当时，，当且仅当时，等号成立，即当时，函数的最小值为；当时，，要使得函数的最小值为， 则满足解得．故选：A．12.已知函数，g（x）＝ax2＋2x＋a－1，若对任意的实数x1∈[0，＋∞)，总存在实数x2∈[0，＋∞)，使得f(x1)＝g(x2)成立，则实数a的取值范围为（）AB.C.D.【答案】D【解析】【分析】求出的值域，在上的值域，由可得参数范围．【详解】因为对任意的实数x1∈[0，＋∞)，总存在实数x2∈[0，＋∞)，使得f(x1)＝g(x2)成立，所以函数f（x）的值域是函数g（x）的值域的子集．当0≤x<1时，f（x）＝x2－x＋1，此时f（x）∈；当x≥1时，f（x）＝log2(x＋1)单调递增，f（x）∈[1，＋∞)，所以函数f（x）的值域为．对于函数g（x）＝ax2＋2x＋a－1，当a＝0时，函数g（x）＝2x－1在[0，＋∞)上单调递增，此时g（x）的值域为[－1，＋∞)，满足⊆[－1，＋∞)；当a≠0时，要使函数f（x）的值域是函数g（x）的值域的子集，则二次函数的图像开口必须向上，即a>0，此时函数g（x）的对称轴为，故函数g（x）在[0，＋∞)上单调递增，此时g（x）的值域为[a－1，＋∞)，由得，，即．综上可得：实数a的取值范围为．故选：D．二、填空题13.函数的定义域为__________. 【答案】【解析】【分析】根据二次根式，分式，零次幂的性质列出不等式求解函数的定义域即可.【详解】解：因为所以函数的定义域满足：，解得：且所以函数的定义域为：.故答案为：.14.计算：__________【答案】##【解析】【分析】根据对数的运算法则及性质化简即可得解.【详解】,故答案为：15.已知函数，函数满足，若与的图象有6个交点的，则所有交点横坐标之和等于______.【答案】6【解析】【分析】首先根据函数的解析式绘制图像，并根据函数图像得到其对称中心，再根据已知条件得到函数的对称中心，最后根据函数的对称性求得交点横坐标之和即可【详解】已知函数，绘制其图像如下图： ，根据图像易知函数关于中心对称；又函数满足，易知也关于中心对称.由于与均关于中心对称，可得两个函数的交点也关于中心对称，设其交点分别为，，…，，根据对称性易知，即得：.故答案为：16.函数的定义域为，当时，且，若函数有四个不同的零点，则实数的取值范围为______【答案】【解析】【分析】首先根据在的解析式，结合条件画出在的图像，然后根据已知条件结合函数图像求得参数的取值范围【详解】已知当时，且满足，可得在的图像如下图：又函数有四个不同的零点，故的图像与的图像有四个不同的交点. 因此根据图像易知参数必须满足，即得的取值范围为.故答案为：三、解答题17.已知，设恒成立，，使得．（1）若是真命题，求的取值范围；（2）若为假，求的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由是真命题，得真真，列出不等式组求解，即可确定的取值范围；（2）由为假，假真，列出不等式组求解，即可确定的取值范围.【小问1详解】若为真，即恒成立，所以，解得，若为真，即，使得，则，解得，或，若是真命题，则为真，则，所以，故a的取值范围为，【小问2详解】因为为假，所以都为假，即假真，则，得18.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为． （1）将曲线化为普通方程，将曲线化为参数方程；（2）设曲线与曲线交于两点，求．【答案】（1）化为普通方程为，化为参数方程为（答案不唯一）（2）【解析】【分析】（1）变形后平方相加即可，利用求出曲线的直角坐标方程，再求出参数方程；（2）联立曲线的参数方程和曲线的普通方程，利用直线参数方程中的几何意义求出答案.【小问1详解】变形为，两边平方相加得到；故化为普通方程为；，又，故曲线化为直角坐标方程为，直线的斜率为，倾斜角为，又在上，不妨取，此时曲线化为参数方程为，即；【小问2详解】 将与联立得，，设两点分别对应，则，，故.19.已知函数．（1）若，求不等式的解集；（2）若，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由题意，去绝对值分类讨论即可.（2）由题意转换为恒成立即可.【小问1详解】当时，即或或，解得，原不等式的解集为.【小问2详解】的解集包含，即恒成立，即，所以， 所以.20.已知函数是定义域为的奇函数，当时，.（1）求出函数在上的解析式；（2）画出函数的图象，并根据图象写出的单增区间；（3）已知有三个零点，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）图像见详解，单调增区间：；（3）.【解析】【分析】（1）通过①由于函数是定义域为奇函数，则；②当时，，利用是奇函数，．求出解析式即可；（2）利用函数的奇偶性以及二次函数的性质画出函数的图象，写出单调增区间，单调减区间；（3）利用函数的图像，直接观察得到的范围即可．【小问1详解】①由于函数是定义域为的奇函数，则；②当时，，因为是奇函数，所以．所以． 综上：．【小问2详解】函数图像如下所示：由函数图像可知，函数的单调增区间为和．【小问3详解】因为函数有三个零点，即方程有三个不同的解，由图像可知，，即．21.已知函数的函数图象关于直线“”轴对称，当时，.（1）求()的解析式；（2）当()时，的最小值为，求的最小值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1)由题意可得为偶函数，再根据偶函数的性质求出时的解析式，即可得答案；(2)因为当时，，所以的图象开口向上，对称轴为，根据二次函数性质讨论函数在上单调性，即可得答案.【小问1详解】因为函数的函数图象关于直线“”轴对称，所以函数的函数图象关于直线“，即”轴对称， 所以为偶函数，又因为当时，，所以当时，，所以所以；【小问2详解】由（1）可得，当时，，所以的图象开口向上，对称轴为，∴当时，，在上单调递减，所以，当时，，在上单调递减，在上单调递增，所以，当时，在上单调递增，所以，∴综上所述：，作出的图象，如图所示： 所以.22.已知函数是定义在上的奇函数.（1）求的值；（2）判断函数的单调性，并利用结论解不等式；（3）是否存在实数，使得函数在区间上的取值范围是？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】（1）（2）是R上的增函数；（3）【解析】【分析】（1）根据奇函数的性质，求出a的值，再利用奇函数的定义进行验证即可；（2）运用函数单调性的定义，结合指数函数的单调性进行判断函数的单调性，最后根据单调性的性质，通过解一元二次不等式进行求解即可；（3）根据（2），通过函数的单调性的性质，结合换元法，一元二次方程根与系数的关系进行求解即可.【小问1详解】是定义在R上的奇函数，，从而得出， 当时，，；【小问2详解】是R上的增函数，证明如下：设任意，且，，，，，，，是在上是单调增函数.，又是定义在R上的奇函数且在上单调递增，，，，故解集为：；【小问3详解】假设存在实数k，使之满足题意，由（2）可得函数在上单调递增，， ，n为方程的两个根，即方程有两个不等的实根，令，即方程有两个不等的正根，设为，，于是有且且，解得：存在实数k，使得函数在上的取值范围是，并且实数k的取值范围是.