四川省泸县第一中学2023-2024学年高三数学（文）上学期10月月考试题（Word版附解析）

泸县一中高2021级高三10月考试数学（文史类）本试卷共4页，23小题，满分150分.考试用时120分钟.第I卷选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据一元二次不等式的求解方法，结合集合的交集，可得答案.【详解】由不等式，分解因式可得，解得，则，所以.故选：A.2.下列函数在区间上是增函数的是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【详解】对于A，在上是增函数，对于B，在上是增函数，对于C，在上是减函数，对于D，是减函数，所以选A.3.函数的单调递增区间为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】 【分析】先求定义域即.令是二次函数,根据二次函数图像即可求得其单调区间,根据复合函数同增异减,即可求得单调递增区间.【详解】，即，得，定义域为，又单调递增区间为，函数的单调递增区间故选：C.【点睛】对于复合函数单调性的判断要掌握同增异减,对函数的内层和外层分别判断,即可得出单调性.求单调区间时,要先求函数定义域,单调区间是定义域的子集.4.已知m，n为两条不重合直线，α，β为两个不重合平面，下列条件中，一定能推出的是（　　）A.B.CD.【答案】B【解析】【分析】根据垂直于同一直线的两平面平行可知正确.【详解】当时，若，可得又，可知本题正确选项：【点睛】本题考查面面平行的判定，属于基础题.5.展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则n的值为（）A.8B.7C.6D.5【答案】C【解析】【分析】根据二项式系数的性质知中间一项第4项二项式系数最大即可得解 【详解】因为只有一项二项式系数最大，所以n为偶数，故，得.故选：C6.函数的定义域是，且满足，当时，，则图象大致是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据函数的奇偶性可排除B,C选项，当时，可知，排除D选项，即可求解.【详解】因为函数的定义域是，且满足，所以是奇函数，故函数图象关于原点成中心对称，排除选项B,C，又当时，，可知，故排除选项D,故选：A【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性，函数图象，属于中档题.7.已知简单组合体的三视图如图所示，则此简单组合体的体积为 A.B.C.D.【答案】C【解析】【详解】由题设中所提供的三视图可知该几何体是一个底面半径为2，高为4的圆锥内去掉一个底面边长为，高为2的四棱柱的组合体，其体积，应选答案C．8.已知，，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据三角恒等变换可得，然后利用同角关系式结合条件即得.【详解】因为，将，代入化简，可得，解得（舍去）或，又因为，所以，．故选：B.9.经研究发现：某昆虫释放信息素t秒后，在距释放处x米的地方测得信息素浓度y满足函数（A，K为非零常数）．已知释放1秒后，在距释放处2 米的地方测得信息素浓度为a，则释放信息素4秒后，信息素浓度为的位置距释放处的距离为（）米．A.B.2C.D.4【答案】D【解析】【分析】根据已知数据可得，再根据即可求出值.【详解】由题知：当，时，，代入得：，当，时，，即，而，解得：或（舍）故选：D.10.已知函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】分离参数，求函数的导数，根据函数有两个零点可知函数的单调性，即可求解.【详解】由题意得有两个零点令, 则且所以，在上为增函数，可得，当，在上单调递减，可得，即要有两个零点，实数的取值范围是.故选：A【点睛】方法点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．11.过点可作三条直线与曲线相切，则实数a的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】求导得到导函数，设切点为，得到切线方程，代入点坐标得到，设，计算函数的极值，得到答案.【详解】，，设切点为，则切线方程为，切线过点，，整理得到，方程有三个不等根.令，则，令，则或，当或时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，极大值，极小值，函数与有三个交点， 则，的取值范围为.故选：D12.已知函数,若,则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】因为函数,判断的奇偶性和单调性,即可求解,进而求得实数的取值范围.【详解】则定义是.又可得:是奇函数.则是单调增函数. 故:,化简可得:,即根据是单调减函数,得:,故选:D.【点睛】本小题主要考查函数的单调性,考查函数的奇偶性,解题关键是掌握利用单调性和奇偶性解函数不等式,属于基础题.第II卷非选择题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.若复数（i为虚数单位），则z的实部为________．【答案】1【解析】【分析】根据复数除法运算法则，结合复数实部的定义进行求解即可.【详解】因为，所以的实部为1．故答案为：1．【点睛】本题考查了复数除法运算法则，考查了复数的实部概念，考查了数学运算能力，是基础题．14.已知函数，则__________．【答案】##1.5【解析】【分析】先计算，再计算的值. 【详解】由题可得：=，所以.故答案为：.15.已知向量，的夹角为，，则向量在方向上的投影为__．【答案】【解析】【分析】根据已知条件，结合平面向量的投影公式，即可求解．【详解】向量，夹角为，，，，，故向量在方向上的投影为．故答案为：．16.长方形中，,将沿折起，使二面角大小为，则四面体的外接球的表面积为________【答案】【解析】【分析】根据题意知，矩形的对角线即为三棱锥外接球的直径，由此求出外接球的表面积．【详解】如图所示： 设矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，则OA=OB=OC=OD=，∴三棱锥B-ACD的外接球的半径为R=，其表面积为S=4πR2=4π•=.故答案为.【点睛】本题考查了三棱锥外接球的表面积计算问题，是中档题,分析各面特点及各边长特点找出球心所在位置是关键.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.已知，，．（1）若，求x的值；（2）求的最大值及取得最大值时相应的x的值．【答案】（1）；（2）的最大值为1，此时．【解析】【分析】（1）由平面向量的数量积为0可得，再由x的范围求得x值；（2），结合x的范围及正弦函数的最值求解．【小问1详解】，，若，则， ∴，即，∵，∴，可得，即；【小问2详解】，∵，∴，可得当，即时，取最大值为1．18.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）证明：（2）若，，求△ABC的面积．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据正弦定理边化角结合三角恒等变换化简得，可证明；（2）结合（1）得．，利用正弦定理及面积公式计算即可.【小问1详解】证明：因为，所以，所以．所以，即．因为在△ABC中，所以，即，故．即．【小问2详解】 解：由（1）可知．因为，所以．则．．由正弦定理可知．则．．故△ABC的面积．19.已知函数.（1）若在处取得极值，求的极值；（2）若在上的最小值为，求的取值范围.【答案】（1）极大值为，极小值为（2）【解析】【分析】（1）根据极值点可得，进而可得，利用导数即可求解函数的单调区间，进而可求解极值，（2）根据导数确定函数单调性，结合分类讨论即可求解.【小问1详解】，，.因为在处取得极值，所以，则.所以，，令得或1，列表得1+0-0+↗极大值↘极小值↗所以的极大值为，极小值为. 【小问2详解】.①当时，，所以在上单调递增，的最小值为，满足题意；②当时，令，则或，所以在上单调递减，在上单调递增，此时，的最小值为，不满足题意；③当时，在上单调递减，的最小值为，不满足题意.综上可知，实数的取值范围时.20.如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为平行四边形，E，F分别为CD，PB的中点．（1）求证：EF∥平面PAD．（2）在线段PC上是否存在一点Q使得A，E，Q，F四点共面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）存在点符合题意，且此时【解析】【分析】（1）取的中点，连接，可证得四边形为平行四边形，可得∥，再由线面平行的判定理可证得结论；（2）取的中点，连接交于，在上取点，使，连接，则四点共面，然后证明即可.【小问1详解】 证明：取的中点，连接，因为分别为的中点，所以∥，，因为四边形为平行四边形，所以∥，，因为为的中点，所以，所以∥，，所以四边形为平行四边形，所以∥，因为平面，平面，所以∥平面，【小问2详解】存在点符合题意，且此时，取的中点，连接交于，在上取点，使，连接，则四点共面，证明如下：因为在平行四边形中，分别为的中点，所以∥，，所以四边形为平行四边形，所以∥，因为为中点，所以点为的重心，且，因，所以∥，因为∥，所以∥， 所以和确定一个平面，因为在直线上，所以，所以四点共面，所以在线段PC上存在一点Q使得A，E，Q，F四点共面.21.已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若函数有三个零点，证明：当时，．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）先求导，再对分类讨论得到的单调性.(2)先转化函数有三个零点得到，再利用分析法和导数证明.【小问1详解】令,则或,当时,,在上是增函数；当时,令,得,,所以在,上是增函数；令,得,所以在上是减函数当时,令,得,, 所以在,上是增函数；令,得,所以在上是减函数综上所述：当时,在上是增函数；当时,在,上是增函数,在上是减函数.当时,在,上是增函数,在上是减函数.【小问2详解】由(1)可知：当时,在上是增函数，函数不可能有三个零点；当时,在,上是增函数,在上是减函数.的极小值为，函数不可能有三个零点当时,,要满足有三个零点,则需,即当时,要证明：等价于要证明即要证：由于，故等价于证明：,证明如下：构造函数令,函数在单调递增,函数在单调递增,∴．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答. 如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在直角坐标系中，点，曲线C的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为．（1）写出曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）设点M为C上的动点，点P满足，写出P的轨迹的参数方程，并判断l与是否有公共点．【答案】（1），：（2），（为参数），直线l与圆没有公共点。【解析】【分析】（1）根据消参法可得曲线C的普通方程，利用极坐标与直角坐标之间的转化公式可得直线的直角坐标方程.（2）设，设，根据，即可求得P的轨迹的参数方程，表示圆，计算圆心到直线的距离，即可判断断l与是否有公共点．【小问1详解】因为曲线C的参数方程为(为参数)，所以，即曲线C的普通方程为：，因为，由，可得l的方程为：.【小问2详解】设，设，因为，所以， 则，（为参数），故P的轨迹的参数方程为，（为参数），所以曲线为以为圆心，半径为4的圆，而圆心到直线l的距离为，因为，所以直线l与圆相离，故直线l与圆没有公共点.[选修4-5：不等式选讲]23.已知、为非负实数，函数．（1）当，时，解不等式；（2）若函数的最小值为，求的最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）当，时，可得出，分、、三种情况解不等式，综合可得出原不等式的解集；（2）利用绝对值三角不等式可得出，再利用柯西不等式可求得的最大值.【小问1详解】解：当，时，．当时，，解得，此时；当时，，此时原不等式无解；当时，，解得，此时．综上，不等式的解集为. 【小问2详解】解：由，因为，，当且仅当时，等号成立，．所以，，即，所以，，当且仅当时，即当，时，等号成立，综上，的最大值为．