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四川省泸县第五中学2023-2024学年高三数学(文)上学期10月月考试题(Word版附解析)

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泸县五中高2021级高三10月考试数学(文史类)本试卷共23小题,满分150分,考试用时120分钟.第I卷选择题(60分)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.全集,集合,,则阴影部分表示的集合是()A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据给定的条件利用韦恩图反应的集合运算直接计算作答.【详解】韦恩图阴影部分表示的集合为,而全集,集合,,所以.故选:C2.复数(,为虚数单位),在复平面内所对应的点在上,则()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】求出复数在复平面内所对应的点的坐标,代入,求得,再根据复数的模的公式即可得解.【详解】解:复数在复平面内所对应的点的坐标为,因为点在上, 所以,解得,所以,所以.故选:B.3.若实数x,y满足约束条件,则z=3x+y的最大值为()A.B.3C.D.4【答案】D【解析】【分析】画出约束条件的可行域,利用目标函数的几何意义,求解即可.【详解】解:可行域如图所示,作出直线,可知要取最大值,即直线经过点.解方程组得,,所以.故选:D.4.函数的大致图象是() A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】从各项图象的区别,确定先判断函数奇偶性(对称性),再求导研究的符号,判断单调性即可.【详解】,是偶函数,图象关于y轴对称,排除选项AB.当时,,则,由,,故存在使得,即函数在区间上不单调,排除D.故选:C.【点睛】方法点睛:函数图象的辨识可从以下方面入手:(1)从函数的定义域,判断图象的左右位置;从函数的值域,判断图象的上下位置;(2)从函数的单调性,判断图象的变化趋势;(3)从函数的奇偶性,判断图象的对称性;(4)从函数的特征点,排除不合要求的图象.5.“”是“”的()A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充分必要条件D.非充分非必要条件【答案】C【解析】 【分析】利用“”“”,即可判断出结论.【详解】解:“”“”,“”是“”的充要条件.故选:C.【点睛】本题考查了简易逻辑的判定、不等式的解法,属于基础题.6.天文学中,用视星等表示观测者用肉眼所看到的星体亮度,用绝对星等反映星体的真实亮度.星体的视星等,绝对星等,距地球的距离有关系式(为常数).若甲星体视星等为,绝对星等为,距地球距离;乙星体视星等为,绝对星等为,距地球距离,则()A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用对数的运算可求得的值.【详解】由已知可得,上述两个等式作差得,因此,.故选:A.7.已知为等边三角形,,设点,满足,,与交于点,则()A.B.C.1D.2【答案】D【解析】【分析】 先根据已知条件确定出点位置,然后用表示出,最后根据向量的数量积运算求解出的结果.【详解】因为,所以,所以,所以为的一个靠近的三等分点,又因为,所以为的中点,过作交于点,如下图所示:因为且,所以,所以,所以,所以,故选:D.【点睛】关键点点睛:解答本题的关键是确定点的位置,通过将待求的向量都转化为,即可直接根据数量积的计算公式完成求解.8.把函数的图象向左平移个单位长度后,所得到的图象关于轴对称,则的最小值是()A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先由辅助角公式化简,再结合奇偶函数特征即可求解.【详解】, 函数向左平移个单位后可得,因为关于轴对称,为偶函数,所以,解得,当时,取到最小正值.故选:D9.已知偶函数区间上单调递增,且,则满足A.B.C.D.【答案】D【解析】【详解】,故,又,故,故选D.10.已知函数,其中为函数的导数,则()A.0B.2C.2020D.2021【答案】B【解析】【分析】先求出,则,再求出,得到,从而求出,求出答案.【详解】所以 所以所以所以故选:B【点睛】关键点睛:本题考查函数的对称性和求导函数以及求导函数的奇偶性,解答本题的关键是由解析式求得,从而得到,求出,得到,得到,考查计算能力,属于中档题.11.已知三棱锥中,平面平面,且和都是边长为2的等边三角形,则该三棱锥的外接球表面积为()A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由题意画出图形分别取与的外心,过分别作两面的垂线,相交于,结合已知由,求出三棱锥外接球的半径,则外接球的表面积可求.【详解】如图, 由已知可得,与均为等边三角形,取中点,连接,,则,∵平面平面,则平面,分别取与的外心,过分别作两面的垂线,相交于,则为三棱锥的外接球的球心,由与均为边长为的等边三角形,可得,,,∴三棱锥A−BCD的外接球的表面积为.故选:D.12.,,的大小关系是()A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用三角函数函数值的正负和正弦函数在上的单调性判断即可. 【详解】因为,所以,可得,因为,所以,可得,因为,又因为,由正弦函数在上的单调性知,,即.故选:A【点睛】本题考查利用三角函数函数值的正负和正弦函数的单调性比较大小;特殊角三角函数值的运用和选取合适的临界值是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.第II卷非选择题二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分13.已知幂函数在上单调递减,则___________.【答案】【解析】【分析】由系数为1解出的值,再由单调性确定结论.【详解】由题意,解得或,若,则函数为,在上递增,不合题意.若,则函数为,满足题意.故答案为:.14.已知,则______.【答案】【解析】 【分析】由可得,再由二倍角公式可得,代入即可得答案.【详解】解:因为,所以,所以.故答案为:15.已知中,内角的对边分别为,且,则___________.【答案】(或)【解析】【分析】利用余弦定理和正弦定理边角互化,整理已知条件,最后变形为,求角的值.【详解】根据余弦定理可知,所以原式,变形为,根据正弦定理边角互化,可知,又因为,则原式变形整理为,即,因为,所以(或)故答案为(或)【点睛】方法点睛:(1)在解有关三角形的题目时,要有意识地考虑用哪个定理更适合,或是两个定理都要 用,要抓住能够利用某个定理的信息,一般地,如果式子中含有角的余弦或边的二次式,要考虑用余弦定理;如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时,则考虑用正弦定理;以上特征都不明显时,则要考虑两个定理都有可能用到;(2)解题中注意三角形内角和定理的应用及角的范围限制.16.已知函数.若对定义域内不相等的,都有,则实数的取值范围是__________.【答案】【解析】【分析】由条件知函数单调递增,根据分段函数为增函数建立不等式组求解,求解过程需构造函函数利用单调性求解.【详解】由,可得,即函数在定义域内单调递增,,即,又单调递增,且,由,得,实数的取值范围是.故答案为:[e,2e).三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.17.已知函数. (1)求单调递增区间;(2)若,且,求的值.【答案】(1);(2).【解析】【分析】(1)利用二倍角公式和两角和的正弦公式化简,再根据正弦函数的递增区间可得结果;(2)由得到,由可得,再根据可求得结果.【详解】(1),由,得,则函数单调递增区间为.(2)由得,即,由,,可得,则,所以【点睛】关键点点睛:第(2)问将拆为已知角和特殊角是本题解题关键.18.已知曲线在点处的切线方程为.(1)求,的值; (2)判断函数在区间上零点的个数,并证明.【答案】(1),;(2)在上有且只有一个零点.证明见解析.【解析】【分析】(1)求出即得的值,求出即得的值;(2)先证明在上为单调递增函数且图象连续不断,再求出,,即得证.【详解】(1)因为,所以,又因为,因为曲线在点处的切线方程为.所以,所以所以;(2)上有且只有一个零点,因为,,,所以在上为单调递增函数且图象连续不断, 因为,,所以在上有且只有一个零点.【点睛】方法点睛:研究零点问题常用的方法有:(1)方程法(直接解方程得解);(2)图象法(直接画出函数的图象得解);(3)方程+图象法(令得到,画出的图象得解).19.已知锐角三角形的内角A,B,C所对的边分别记作a,b,c,满足,且.(1)求;(2)若点,分别在边和上,且将分成面积相等的两部分,求的最小值.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)根据二倍角公式、正弦定理和得到,,再利用同角三角函数基本公式得到,利用和差公式得到,即可得到;(2)利用三角形面积公式得到,然后利用余弦定理和基本不等式即可得到的最小值.【小问1详解】因为,所以,因为,所以,又,且为锐角,所以,所以.因为.所以.所以.【小问2详解】设,,根据题设有, 所以,可得,所以,当且仅当时等号成立.所以的最小值为.20.如图,,,D为BC中点,平面,,,.(1)证明:平面;(2)求点C到平面的距离.【答案】(1)证明见解析(2)【解析】【分析】(1)由平面,证得平面平面,证得平面,得到,证得平面,得到,,从而证得,进而证得平面,即可得到.(2)设点到平面距离为,即为三棱锥的高,利用,结合锥体的体积公式,列出方程,即可求解.【小问1详解】 证明:∵平面,平面,∴平面平面,平面平面,又∵是以为斜边的等腰直角三角形,∴,∴平面.∵平面,∴.∵,平面,∴平面.∵平面,∴,,∴与都为直角三角形,又∵,,∴,,.∴,.∵平面,平面,,∴平面,∵平面,.【小问2详解】解:设点到平面距离为,即为三棱锥的高,∵,∴,∵平面,平面,∴,∴为直角三角形,.∵为直角三角形,, ∴,即点到平面的距离为.21.已知函数.(1)求函数的极值点;(2)若函数有极大值点,证明:.【答案】(1)极大值点为;极小值点为(2)证明见解析【解析】【分析】(1)求,求出的解,进而求出单调区间,即可求出极值点;(2)根据(1)中极大值关系,求出的范围,将用表示,要证的不等式转化为证明关于的不等式,构造函数,用导数法求函数的最值,即可证明不等式.【详解】(1),对于,,令,则,,在上,函数单调递增;在上,函数单调递减;在上,函数单调递增,所以函数的极大值点为,极小值点为.(2)由(1)知函数的极大值点为,则,由得,要证,只需证,只需证,即证,令,则,令,则,当时,,单调递增; ,即,当时,单调递减,又,则,即.【点睛】本题考查导数综合应用,涉及到函数的单调性、极值,不等式的证明,构造函数是解题的关键点和难点,属于较难题.(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.选修4-4:坐标系与参数方程22.如图,在极坐标系中,已知点,曲线是以极点为圆心,以为半径的半圆,曲线是过极点且与曲线相切于点的圆.(1)分别写出曲线、的极坐标方程;(2)直线与曲线、分别相交于点、(异于极点),求面积的最大值.【答案】(1),;(2).【解析】【分析】(1)分析可知曲线是以极点为圆心,以为半径的半圆,结合图形可得到曲线的极坐标方程,设为曲线上的任意一点,根据三角函数的定义可得出曲线的极坐标方程;(2)设、,由题意得,,求出以及点到直线的距离,利用三角形的面积公式以及基本不等式可求得结果. 【小问1详解】解:由题意可知,曲线是以极点为圆心,以为半径的半圆,结合图形可知,曲线的极坐标方程为.设为曲线上的任意一点,可得.因此,曲线极坐标方程为.【小问2详解】解:因为直线与曲线、分别相交于点、(异于极点),设、,由题意得,,所以,.因为点到直线的距离为,所以,,当且仅当时,等号成立,故面积的最大值为.选修4-5:不等式选讲23.已知函数.(1)当时,求函数的定义域;(2)设函数的定义域为,当时,,求实数的取值范围.【答案】(1);(2).【解析】【分析】(1)将代入,列出不等式,再解含绝对值符号的不等式作答.(2)利用给定条件去掉绝对值符号,转化成恒成立的不等式,分离参数构造函数推理作答.【小问1详解】当时,,依题意,, 当时,不等式化为:,解得,则有,当时,不等式化为:,解得,则有;当时,不等式化为:,解得,则有,综上得:或,所以函数的定义域为.【小问2详解】因当时,,则对,成立,此时,,,则,于得,成立,而函数在上单调递减,当时,,从而得,解得,又,则,所以实数的取值范围是.

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所属: 高中 - 数学
发布时间:2023-11-19 18:40:02 页数:20
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文章作者:随遇而安

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