四川省内江市第二中学2023-2024学年高二数学上学期10月月考试题（Word版附解析）

2023-2024学年度内江二中10月月考数学考试时间：120分钟一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合要求的.1.观察下面的几何体，哪些是棱柱？（）A.（1）（3）（5）B.（1）（2）（3）（5）C.（1）（3）（5）（6）D.（3）（4）（6）（7）【答案】A【解析】【分析】根据棱柱的结构特征确定答案即可.【详解】根据棱柱的结构特征：一对平行的平面且侧棱相互平行的几何体，所以，棱柱有（1）（3）（5）.故选：A2.如图，是水平放置的的直观图，，，则原的面积为（）A.6B.C.12D.24【答案】C【解析】【分析】画出原图，从而计算出原图的面积.【详解】根据斜二测画法的知识画出原图如下图所示，则原的面积为. 故选：C3.在正方体中，、、、分别是该点所在棱的中点，则下列图形中、、、四点共面的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】对于B，证明即可；而对于BCD，首先通过辅助线找到其中三点所在的平面，然后说明另外一点不在该平面中即可.【详解】对于选项，如下图，点、、、确定一个平面，该平面与底面交于，而点不在平面上，故、、、四点不共面；对于选项，连结底面对角线，由中位线定理得，又，则，故、、、四点共面 对于选项C，显然、、所确定的平面为正方体的底面，而点不在该平面内，故、、、四点不共面；对于选项D，如图，取部分棱的中点，顺次连接，得一个正六边形，即点、、确定的平面，该平面与正方体正面的交线为，而点不在直线上，故、、、四点不共面．故选：B4.在正方体中，点M是棱的中点，则异面直线BM与AC所成角的余弦值为（）．A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】取的中点，连，，，（或其补角）是异面直线BM与AC所成的角，解三角形可得解.【详解】取的中点，连，，，则，，所以四边形是平行四边形，所以，所以（或其补角）是异面直线BM与AC所成角，设正方体的棱长为，则，，则. 所以异面直线BM与AC所成角的余弦值为.故选：C5.如图是正方体的展开图，则还原图形后，下列说法正确的是（）A.与平行B.与异面C.与平行D.与相交【答案】B【解析】【分析】先还原图形后，根据直线位置关系可判断.【详解】如图为还原图，由图可知与为异面直线，与为异面直线，故选：B6.如图，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，则图中与平面PCD垂直的平面是（） A.平面ABCDB.平面PBCC.平面PADD.平面PCD【答案】C【解析】【分析】由线面垂直得到线线垂直，进而证明出线面垂直，面面垂直.【详解】因为平面ABCD，平面ABCD，所以，由四边形ABCD为矩形得，因为，所以平面PAD．又平面PCD，所以平面平面PAD．故选：C7.已知圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球与圆柱体积比是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据题意可知若球的半径为，则圆柱的底面半径为，高为，结合球与圆柱的体积公式计算即可得出结果.【详解】设球的半径为，则圆柱的底面半径为，高为，因为，所以．故选：A8.如图，在三棱锥中，平面，其中，则 三棱锥外接球的表面积为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由平面，该三棱锥为墙角模型，即可解题.【详解】在三棱锥中，平面，∴三棱锥的每个顶点都可以放置在以为长宽高的长方体中，∴三棱锥外接球的直径为该长方体的外接球直径，∴,则三棱锥外接球的表面积为.故选：C.二、多选题:本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的4个选项中，有两个及两个以上的正确答案，选对得满分，选对部分得2分，选错得0分.9.下列说法中正确的有（）A.正四面体是正三棱锥.B.棱锥的侧面是全等的三角形.C.正三棱锥是正四面体.D.延长棱台所有侧棱，它们会交于一点.【答案】AD【解析】【分析】根据棱锥、棱台的有关知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A选项，正四面体的四个面都是等边三角形，是正三棱锥，A选项正确.B选项，棱锥的侧面是三角形，不一定全等，B选项错误.C选项，正三棱锥的侧棱长和底面棱长不一定相等，所以正三棱锥不一定是正四面体，C选项错误.D选项，根据棱台的定义可知，延长棱台所有侧棱，它们会交于一点，D选项正确.故选：AD 10.已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，下列命题中正确的是（）A若，则B.若，则C.若，则D.若，则【答案】BD【解析】【分析】根据线、面之间的位置关系一一分析即可.【详解】对于A，当时，则或，故A错误；对于B，若，则，故B正确；对于C，当时，或，故C错误，对于D，若，则，故D正确.故选：BD.11.如图所示，正方体中，给出以下判断，其中正确的有（）A.面B.C.与是异面直线D.与平面夹角余弦为【答案】ABCD【解析】【分析】由正方体的性质，应用线面垂直判定、异面直线定义、线面角的定义判断各项正误.【详解】由面，故面，A对；由，即为平行四边形，则，B对；由面，面，且面面，与不平行，与 是异面直线，C对；由正方体易知：面，故为与平面夹角，若正方体的棱长为1，则，D正确.故选：ABCD12.如图，已知在长方体中，，点为棱上的一个动点，平面与棱交于点，则下列命题正确的是（）A.当点在棱上的移动时，恒有B.在棱上总存在点，使得平面C.四棱锥的体积为定值D.四边形的周长的最小值是【答案】ACD【解析】【分析】根据线面垂直的性质可判断A；利用特殊位置可判断B；将四棱锥的体积转化为三棱锥体积，根据等体积法可判断C；利用侧面展开可求得四边形的周长的最小值，判断D.【详解】对于A，当点为棱上的移动时，平面， 由于平面，故，故A正确；对于B，当点在时，平面，故B错误；对于C，在长方体中，平面平面,平面平面,平面平面,故，同理，则四边形为平行四边形；故，由于，故，故，故C正确；对于D，如图，将长方体展开，使四个侧面在同一个平面内，连接（左侧）交于F点，由于,则F为的中点，同理E为的中点，则四边形的周长的最小值是,则D正确，故选：ACD.三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确选项填在相应横线上.13.若球半径为1，则球的体积是___________. 【答案】【解析】【分析】已知半径，根据球的体积公式计算即可.【详解】已知球的半径，∴体积.故答案为：.14.若圆锥的轴截面是边长为1的正三角形．则圆锥的侧面积是_________．【答案】【解析】【分析】根据题意可得圆锥的底面半径和母线长，进而根据圆锥侧面积公式求得结果.【详解】若圆锥的轴截面是边长为1的正三角形，则圆锥的底面半径，母线，故圆锥的侧面积.故答案为：.15.如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________．【答案】【解析】【详解】分析：先分析组合体的构成，再确定锥体的高，最后利用锥体体积公式求结果.详解：由图可知，该多面体为两个全等正四棱锥的组合体，正四棱锥的高为1，底面正方形的边长等于，所以该多面体的体积为点睛：解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断；求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决． 16.如图，在棱长为2的正方体中，、、分别是，，的中点，是线段上的动点.①不存在点，使//平面；②直线平面；③经过、、、四点的球的体积为.正确的是___________.【答案】②【解析】【分析】连接PQ，，当Q是的中点时，由线面平行的判定可证，即可判断①；以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法即可判断②；分别取，的中点E，F，构造长方体，其体对角线就是外接球的直径，求出体对角线的长，可求出球的体积，即可判断③.【详解】对于①，连接PQ，，当是的中点时，，∵，∴，又∵平面，平面，∴平面，故①错误；对于②，解：如图，以点为原点建立空间直角坐标系，则，，∵，∴，又∵，平面，∴平面PMN，故②正确； 对于③，分别取的中点，构造长方体，则经过C、M、B、N四点的球即为长方体的外接球，设所求外接球的半径为，∴，则所以经过C、M、B、N四点的球的体积为，故③错误.故答案为：②.四、解答题:本题有6小题，共70分.其中17题10分，其余各题都是12分.17.求解下列问题：（1）求一个底面周长为，高为4的圆柱的表面积;（2）求一个上下底面是分别为边长2和4的正方形，高为3的棱台的体积.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据圆柱表面积的计算方法求得正确答案.（2）根据棱台的体积公式求得正确答案.小问1详解】设圆柱的底面半径为，则，所以圆柱的表面积为.【小问2详解】棱台的体积为. 18.如图，在四棱锥中，底面为正方形，分别是的中点．（1）求证：平面；（2）求证：平面平面.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）线面平行判定定理证明即可；（2）先证线面平行，再证面面平行即可.【小问1详解】∵分别是的中点，∴又∵平面,平面,∴平面.【小问2详解】∵四边形为正方形，且分别为，边的中点，，又∵面，面，∴面，由（1）知，平面，且平面,平面,∴平面平面19.如图，在直三棱柱中，，分别是棱的中点，是线段上的点. （1）求证：直线平面；（2）求证：直线平面．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由线面垂直、等腰三角形的性质得、，再由线面垂直判定证结论；（2）连接，由直棱柱的特征易得为平行四边形，则，再由线面平行的判定证结论.【小问1详解】直棱柱中，，则，是棱中点，所以，而面，面，则，，面，故直线平面.【小问2详解】连接，且分别是棱的中点，则，所以四边形为平行四边形，则，面，面，故直线平面．20.如图，四面体中，是的中点，，. （1）求证:平面平面;（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）要证明面面垂直，需先证明线面垂直，即先证明平面，即可证明；（2）首先建立空间直角坐标系，先求平面的法向量，利用向量公式求线面角的正弦值.【小问1详解】中，，，则为等腰直角三角形，为的中点，所以，且，中，，所以为等边三角形，因为为的中点，所以，，又，所以，则，且，且平面,所以平面，平面，所以平面平面；【小问2详解】由（1）可知，平面，，所以以点为原点，以向量为轴的正方向建立空间直角坐标系， ，，，，，，设平面的法向量为，则，令，则，，所以平面的法向量为，设直线与平面所成角为，.21.如图，在底面是菱形的四棱柱中，，，，点在上.（1）证明：平面；（2）当为何值时，平面，并求出此时直线与平面之间的距离.【答案】(1)证明见解析；(2)当,平面,.【解析】【分析】（1）由得，由得可得答案；（2）当时得点为的中点时，可得平面，转化为求点到平面的距离，设的中点为，则，得平面，利用可求得，利用 可得答案．【详解】（1）证明：因为底面为菱形，，所以，由知，由知，又因为，所以平面．（2）当时，平面．证明如下：连结交于，当时，即点为的中点时，连结，则，平面，平面，所以平面，所以直线与平面之间的距离等于点到平面的距离．因为点为的中点，可转化为到平面的距离，，设的中点为，连结，则，所以平面，且，可求得，所以，又，，，，所以（表示点到平面的距离），，所以直线与平面之间的距离为． 22.如图，直三棱柱中，分别为的中点.（1）证明:平面;（2）已知与平面所成的角为，求二面角的平面角的大小.【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）法一：取中点，连接、，根据题目条件，利用线面垂直的判定定理，得出平面，由于为中点，，，可证出四边形为平行四边形，得出，从而可证出平面；法二：建立空间直角坐标系，设，利用坐标法即证；（2）利用坐标法，由与平面所成的角为30°，可求出，进而可得平面的一个法向量，又为平面的一个法向量，即可求解.【小问1详解】（1）法一：取中点，连接、， ∵，∴，∵平面，平面，∴，而平面，平面，∴平面，∵为中点，∴，，∴，，∴四边形为平行四边形，∴．∴平面；法二：如图建立空间直角坐标系，设，则，∴， ∴，，∴，即，又，平面∴平面.【小问2详解】设平面的法向量为，又，∴即，令，可得，∵与平面所成的角为，又，∴，即，∴，解得，∴，又由（1）知，平面，∴为平面的一个法向量，∴，∴二面角的余弦值为. ∴二面角的平面角为