四川省绵阳中学2024届高三数学（文）上学期第二次月考试题（Word版附解析）

绵阳中学2021级高三上期第二次月考数学（文科）试题时间：120分钟满分：150分本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第ⅠⅠ卷（非选择题）两部分第Ⅰ卷（选择题共60分）一､选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合，则的子集个数是（）A.2B.4C.8D.16【答案】B【解析】【分析】解方程组求出，即可得答案.【详解】由题意知，解，得或，故，其子集有，所以的子集个数是4，故选：B2.已知是的共轭复数,则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先利用复数的除法运算法则求出的值，再利用共轭复数的定义求出a+bi，从而确定a，b的值，求出a+b．【详解】i，∴a+bi＝﹣i，∴a＝0，b＝﹣1， ∴a+b＝﹣1，故选：A．【点睛】本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题．3.设向量，且，则（）A.3B.C.-1D.【答案】D【解析】【分析】根据向量的坐标形式的共线条件进行计算.【详解】由题意，，又，且，根据向量共线的条件可知，，解得.故选：D4.下列函数中，既是奇函数又在上单调递增的为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据奇函数的定义，常见函数的单调性逐一分析每个选项即可.【详解】A选项，根据正切函数的性质可知其是奇函数，由其单调性可知，在时递增，故不在上单调递增，例如，但，故A选项错误；B选项，的定义域为，设，则，是奇函数，但定义域是，无法在上单调，故B选项错误；C选项，设，定义域为，又， 故是偶函数，C选项错误；D选项，设，定义域为，又，故是奇函数，又时，，均在上单调递增，故在上单调递增，D选项正确.故选：D5.已知等比数列前项和（为常数），则的值为（）A.B.C.-1D.1【答案】C【解析】【分析】根据等比数列的前项和求出，确定的值，即可求得答案.【详解】由题意等比数列的前项和，则时，，当时，，因为是等比数列，故必适合上式，故，故选：C6.已知中，“”是“”成立的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】由三角形大边对大角可知，由在上的单调性可得，由此可确定结果.【详解】由正弦定理以及三角形大边对大角可得：，又，在上单调递减， ，即，“”是“”成立的充分必要条件.故选：C.7.已知函数，若直线与和的图象分别交于点，则的最小值为（）A.B.1C.D.【答案】B【解析】【分析】由条件结合函数的图象求得两点的横坐标，利用构造函数法，结合导数来求得的最小值．【详解】设两点的横坐标分别为，在上递增；在上递增，且，如图，所以，且，则，所以，构造函数，则，当时，单调递减；当时，单调递增，所以的最小值为，即的最小值为1．故选：B．8.一个容器装有细沙，细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，后剩余的细沙量为 ，经过后发现容器内还有一半的沙子，若容器中的沙子只有开始时的十六分之一，则需再经过的时间为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据条件可得，解出的值，得到，再令，求解得到的值，然后可求出答案．【详解】依题意有，即，两边取对数得，当容器中只有开始时的十六分之一，则有，两边取对数得，所以再经过的时间为.故选：A.9.已知函数的图象与轴交点的坐标为，且图象关于直线对称，将图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的4倍，得到函数的图象，则在区间上的最小值为（）A.1B.C.D.2【答案】B【解析】【分析】根据已知条件求得，根据三角函数图象变换求得，根据三角函数最值的求法求得答案.【详解】依题意，则， 解得，所以，将图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的4倍，得到函数.由，得，所以当，即时，取最小值，所以在区间上的最小值为.故选：B.10.在中，内角的对边分别为，已知，则（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】【分析】将切化弦，结合正弦定理得，再利用余弦定理求出答案．【详解】因为，所以，由正弦定理得：，由余弦定理得：，整理得，即．故选：C．11.已知实数m，n满足，，则下列关系中正确的是（）A.B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】利用特殊值、三角函数的单调性、指数、对数函数的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】由题易知，取，，则，所以A错误；，所以，B错误；，，所以，C正确；，，，，即，D错误.故选：C12.已知函数，若，则的最小值为（）A.B.C.D.1【答案】A【解析】【分析】由题干条件得到，构造，求导得到其单调性，从而得到最小值，求出答案.【详解】的定义域为，根据对数函数的图象和性质可知，当时，，当时，，所以时得，，当时，，单调递增，又，所以，令，则，由解得，则当时，，单调递减， 当时，单调递增，所以当时，，即的最小值为.故选：A.第II卷（非选择题，共90分）二､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上.13.已知为实数，，则向量在向量方向上的投影为__________.【答案】【解析】【分析】由投影的定义先分别计算出，再代入投影公式即可.【详解】由题意，所以，则向量在向量方向上的投影为.故答案为：.14.已知，则__________.【答案】##【解析】【分析】对已知式子利用三角函数恒等变换公式化简变形可得答案.详解】由，得，，所以，所以， 故答案为：15.已知中，若的面积为为的平分线与边的交点，则的长度是__________.【答案】【解析】【分析】根据三角形面积公式，结合三角形角平分线的性质、余弦定理进行求解即可.【详解】因为的面积为，所以，由余弦定理可知：，因为角平分线，所以，在三角形中，由余弦定理可知：，在三角形中，由余弦定理可知，故答案：【点睛】关键点睛：本题的关键是利用三角形角平分线的性质.16.已知函数，设数列的通项公式为，则__________.【答案】36【解析】【分析】根据函数的解析式求出函数的对称中心，再结合等差数列的性质，即可求解. 【详解】，因为，所以是奇函数，对称中心为，所以曲线的对称中心为，即，因为，易知数列为等差数列，，所以，则，，所以.故答案为：36.三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程成演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分.17.已知等差数列的前项和为，且（1）求的通项公式，（2）设，且的前项和为，证明，.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用等差数列的通项公式以及前n项和公式，列方程求解首项和公差，即得答案；（2）由（1）结论可得的表达式，利用裂项求和可得表达式，即可证明结论.【小问1详解】设的公差为，由得，，解得，，即，，结合， ；【小问2详解】证明：由.，即，又随着n的增大增大，当时，取最小值为，又时，，且无限趋近于0，故，故.18.已知的内角的对边分别为，.（1）求A；（2）求的内切圆半径.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用二倍角公式化简可得值，即可得答案；（2）由数量积定义可得的值，利用余弦定理求出，再结合三角形面积，即可求得答案.【小问1详解】， 故在中，；【小问2详解】由，在中，由余弦定理，，又，r为三角形内切圆半径，.19.在中，从条件①，条件②这两个条件中选择一个作为已知.求：（1）求；（2）设，其图象相邻两条对称轴之间的距离为.若在上恰有3个零点，求的值.条件：①②.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由诱导公式、三角恒等变换结合正弦定理边化角化简即可求解.（2）由二倍角公式、辅助角公式化简函数解析式，然后结合图象将函数零点问题转换为函数交点问题即可求解.【小问1详解】若选条件①：由，结合正弦定理边化角，，且， ，即，又，且，所以，又.若选条件②：，则所以，于是，又，所以.【小问2详解】由（1）可知，由题意，且由题知，从而.由题知在上与有3个交点.又在的大致图象如图：由图可知，，又，. 20.已知函数.（1）若时，求在区间上的最大值与最小值.（2）若存在实数，使得不等式的解集为，求实数的取值范围.【答案】（1）最大值为，最小值为（2）【解析】【分析】（1）先求在上的极值情况，得到极大值和极小值，然后和端点值，比较，即可得到最大值和最小值；（2）由题意，原问题可以转化成只有一个零点，结合三次函数的单调性进行分析即可.【小问1详解】由题意得.当时，，.由，解得；由，解得.函数在区间上单调递减，在区间单调递增.故又，，函数在区间上的最大值为，最小值为.【小问2详解】存在实数，使不等式的解集恰好为，等价于函数只有一个零点.， i）当时，由，解得函数在区间上单调递减；由，解得或，函数在区间上单调递增.又只需要，解得.ii）当时，显然只有一个零点成立.iii）当时，由，解得，即在区间上单调递减；由，解得或，即函数在区间上单调递增；又只需要，解得.综上：实数的取值范围是.21.已知函数.（1）求过原点的切线方程；（2）已知对任意的，都有不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义，求出切线方程，将点代入即可得答案；（2）令，将原不等式恒成立转化为，根据的符号合理分类讨论.【小问1详解】因为，设切点为， 所以切线斜率为，切线方程为，将点代入切线方程解得，故切线方程为；【小问2详解】令，则原不等式即为，又，且，若时，则，再令且，因为，，而，故（当且仅当时等号成立），所以在上为增函数，所以，此时不等式恒成立即恒成立.当时，，则，设，则当时，有即在上单调递增，若，则，有恒成立，故在上单调递减，故，不合题意；若，则存在，使得，故，，有恒成立，故在上单调递减，故，不合题意；综合上述，实数的取值范围为.【点睛】难点点睛：本题解答的难点在于第二问根据不等式恒成立求解参数范围，解答时结合的符 号合理分类讨论，继而证明在该两个范围内不等式恒成立和不成立.（二）选考题：共10分.请考生在第22､23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22.在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为，点P的极坐标为，以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴，建立平面直角坐标系．（1）求曲线C的直角坐标方程和点P的直角坐标；（2）已知直线（t为参数），若直线l与曲线C的交点分别是A、B，求的值．【答案】（1）；；（2）4.【解析】【分析】（1）两边同时乘以，由，可得直角坐标方程以及点P的直角坐标.（2）将直线的参数方程代入C方程，利用参数的几何意义即可求解.【详解】解：（1）由，得，又，，∴，即曲线C的直角坐标方程为，点P的直角坐标为．（2）把直线l的方程代入C方程，整理得，，设A、B对应的参数分别是、，则，于是[选修4-5：不等式选讲]（10分）23.设函数. （1）解不等式，（2）若关于的方程没有实数根，求实数的取值范围【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）分类讨论x的取值范围，脱掉绝对值符号，即可求解；（2）将没有实数根，转化为没有实数根，求出函数的最小值，结合题意可得不等式，即可求得答案.【小问1详解】当时，恒成立，.当时，，得；当时，不成立.综上，原不等式的解集为；【小问2详解】方程没有实数根，即没有实数根，令，则，当且仅当时，即时等号成立，即值域为，若没有实数根，则，即，所以实数的取值范围为.