四川省绵阳南山中学2023届高三文科数学下学期高考热身试题（Word版附解析）

绵阳南山中学2023年高考热身考试数学试题（文科）本试卷分为试题卷和答题卷两部分，其中试题卷由第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）组成，共6页；答题卷共6页，满分150分.注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡相应位置上.2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案；答案不能答在试题卷上.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先化简集合，再由交集的定义求解即可.【详解】因为集合，集合，所以．故选：D．2.复数在复平面内对应的点为，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据复数的几何意义表示出，再根据复数代数形式的除法运算法则计算可得.【详解】复数在复平面内对应的点为，则，所以.故选：C．,3.已知命题，使得，则为（）A.，使得B.，使得C.，使得D.，使得【答案】B【解析】【分析】根据命题的否定的定义求解.【详解】根据命题的否定的定义，因为命题，使得，所以为，使得，故选:B.4.大年除夕吃年夜饭是中国古老的民俗传统，唐朝诗人孟浩然曾写下“续明催画烛，守岁接长筵”这样的诗句．为了解某地区居民的年夜饭消费金额，研究人员随机调查了该地区100个家庭，所得金额统计如图所示，则下列说法中不正确的是（）A.可以估计，该地区年夜饭消费金额在家庭数量超过总数的三分之一B.若该地区有2000个家庭，可以估计年夜饭消费金额超过2400元的有940个C.可以估计，该地区家庭年夜饭消费金额的平均数不足2100元D.可以估计，该地区家庭年夜饭消费金额的中位数超过2200元【答案】C【解析】【分析】利用频率，频数，平均数和中位数的定义对选项一一判断即可得出答案.【详解】由题意得，年夜饭消费金额在的频率为，故A正确；若该地区有2000个家庭，可以估计年夜饭超过2400元的家庭个数为，故B正确；可以估计，平均数为（元），故C,错误；可以估计，中位数为（元），故D正确．故选：C．5.如图所示，点为的边的中点，为线段上靠近点B的三等分点，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据平面向量的线性运算结合图像将用、表示，即可得出答案.【详解】解：.故选：C.6.某几何体的三视图如图所示（小正方形的边长为），则该几何体的体积为（）AB.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据三视图作出几何体的实物图，确定几何体的构成，由此可计算出几何体的体积.【详解】原几何体的实物图如下图所示，几何体是长方体去掉一个小三棱锥，由三视图数据可知该几何体的体积为.,故选：A.【点睛】本题考查利用三视图计算几何体的体积，考查空间想象能力与计算能力，属于中等题.7.函数的部分图象大致为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先判断的奇偶性，再根据时的函数值的符号判断图象.【详解】因为，，所以，故函数的为奇函数，排除BD；又所以，故A错误.故选：C8.将函数（）的图像向左平移个单位，得到函数的图像，若函数）的一个极值点是，且在上单调递增，则ω的值为（）A.B.C.D.,【答案】A【解析】【分析】先由函数的图像平移变换得到函数，再根据正弦函数的图像性质得到是函数一条对称轴，从而得出（），结合正弦函数的周期与单调性的关系得到，即可得到答案.【详解】由题意得：，又函数）的一个极值点是，即是函数一条对称轴，所以，则（），函数在上单调递增，则函数周期，解得，则，，故选：A.9.已知，，，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】设，当时，单调递增，得到，设，当时，单调递增，得到，得到答案.【详解】设，求导，所以当时，，单调递增，故，即，所以；设，求导，所以当时，，单调递增，，所以，故.故选：C10.数列中，，定义：使为整数的数,叫做期盼数，则区间内的所有期盼数的和等于（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用换底公式与累乘法把化为，然后根据为整数，可得，最后由等比数列前项和公式求解．【详解】解：，，，又为整数，必须是2的次幂，即．内所有的“幸运数”的和：，故选：D．11.双曲线的左､右焦点分别为，以的实轴为直径的圆记为，过作的切线与曲线在第一象限交于点，且，则曲线的离心率为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】设，求出及，由三角形面积及三角函数值得到，由双曲线定义得到，在中，由余弦定理得到方程，求出，得到离心率.【详解】设切点为，，连接，则，，,过点作⊥轴于点E，则，故，因为，解得，由双曲线定义得，所以，在中，由余弦定理得，化简得，又，所以，方程两边同时除以得，解得，所以离心率.故选：A【点睛】本题考查双曲线的几何性质及其应用，对于双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于离心率的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得离心率或离心率的取值范围).12.函数的定义域为，满足，且当时，.若对任意，都有，则的最大值是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据给定条件分段求解析式及对应函数值集合，再利用数形结合即得.【详解】因，又当时，，,当，，时，，则，，当，，时，，则，，作出函数的大致图象，对任意，都有，设的最大值为，则，且所以，解得所以m的最大值为.故选：A.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.写出一个具有下列性质①②的数列的通项公式______．①；②数列的前n项和存在最小值．【答案】(答案不唯一)【解析】,【分析】根据判断数列是等差数列，根据存在最小值可知等差数列首项为负数，公差为正数，从而可写出满足条件的等差数列．【详解】∵，∴数列是等差数列，∵数列的前n项和存在最小值，∴等差数列的公差，，显然满足题意．故答案为：．14.已知曲线在点处的切线被圆所截弦长最短，则______．【答案】##【解析】【分析】根据导数的几何意义求出切线方程，则该切线恒过定点，在圆内.由圆的一般方程确定圆心，当定点与圆心的连线与切线垂直时所截得弦长最短，利用两直线的位置关系计算即可求解.【详解】若，则函数是一条直线，不符合题意，故.，则，又，所以曲线在处的切线方程为，则直线恒过定点.，得圆心坐标为，半径为，且定点在圆内.因为切线被该圆所截的弦长最短，所以定点与圆心的连线与切线垂直，则，解得.故答案为：.15.一封闭圆台上、下底面半径分别为1，4，母线长为6．该圆台内有一个球，则这个球表面积的最大值为______．【答案】【解析】【分析】将圆台补体为圆锥并作出其轴截面，分析圆锥的内切球，可判断出圆锥内切球能包含在圆台内，进而可得最大球半径与表面积.,【详解】将圆台补体为圆锥并作出其轴截面如图，圆锥顶点为，圆台上下圆圆心分别为，根据截面性质，易得，又，所以，，，则.故该轴截面是边长为8的正三角形，高，由正三角形内心也是重心，可得内切圆的半径，又圆台高为，所以圆锥内切球半径即为内切圆的半径，所以该圆台内切球半径最大值为.故球表面积的最大值为．故答案：16.已知抛物线C：，O为坐标原点，过抛物线的焦点F的直线与抛物线交于A，B两点（点A在第一象限），且，直线AO交抛物线的准线于点C，△AOF与△ACB的面积之比为4：9，则p的值为________．【答案】4【解析】【分析】首先证明，求出，则，再利用证明的结论，得到，利用焦点弦公式求出值即可.【详解】设，，则，设直线的方程为，联立抛物线方程有，，，,则，直线的方程为，令，则，则，则得，∴，∴，，又，则，∴点，，解得．故答案为：4.三、解答题：（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生必须作答，第22-23题为选考题，考生根据要求作答）17.的内角的对边分别为，，且______．在①，②，这两个条件中任选一个，补充在横线中，并解答．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．（1）求的面积；（2）若，求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）若选①则根据余弦定理得，且，于是利用平方公式得，即可得的值，再根据面积公式即可得的面积；若选②根据向量数量积定义得，且,，于是利用同角的平方关系公式得，即可得的值，再根据面积公式即可得的面积；（2）由正弦定理得即可求得的值，开方可求的值，从而得到的值.【小问1详解】若选①:因为，由余弦定理得，整理得，则，又，则，，则；若选②:因为，即，则，又，则，又，得，则；【小问2详解】由正弦定理得：，则，则，．18.2021年6月17日9时22分，我国酒泉卫星发射中心用长征遥十二运载火箭，成功将神舟十二号载人飞船送入预定轨道，顺利将聂海胜、刘伯明、汤洪波3名航天员送入太空，发射取得圆满成功，这标志着中国人首次进入自己的空间站．某公司负责生产的A型材料是神舟十二号的重要零件，该材料应用前景十分广泛．该公司为了将A型材料更好地投入商用，拟对A型材料进行应用改造、根据市场调研与模拟，得到应用改造投入x(亿元)与产品的直接收益y(亿元)的数据统计如下：,序号123456789101112x2346810132122232425y1522274048546068.56867.56665当时，建立了y与x的两个回归模型：模型①：，模型②：；当时，确定y与x满足的线性回归方程为．（1）根据下列表格中的数据，比较当时模型①，②的相关指数的大小，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测对A型材料进行应用改造的投入为17亿元时的直接收益；回归模型模型①模型②回归方程79.1320.2（2）为鼓励科技创新，当应用改造的投入不少于20亿元时，国家给予公司补贴5亿元，以回归方程为预测依据，根据(1)中选择的拟合精度更高更可靠的模型，比较投入17亿元与20亿元时公司收益(直接收益＋国家补贴)的大小．附：刻画回归效果的相关指数，且当越大时，回归方程的拟合效果越好．用最小二乘法求线性回归方程的截距：．【答案】（1）对A型材料进行应用改造的投入为17亿元时的直接收益为(亿元)；（2）投入17亿元比投入20亿元时收益小.【解析】【分析】(1)根据模型和相关系数公式计算比较即可，然后将x＝17代入较好的模型即可预测直接收益；(2)根据回归方程过样本中心点()求出，再令x＝20算出预测的直接收益，即可算出投入20亿元时的总收益，与(1)中的投入17亿元的直接收益比较即可.【小问1详解】,对于模型①，对应的，故对应的，故对应的相关指数，对于模型②，同理对应的相关指数，故模型②拟合精度更高、更可靠.故对A型材料进行应用改造的投入为17亿元时的直接收益为(亿元).另解：本题也可以根据相关系数的公式，直接比较79.13和20.2的大小，从而说明模型②拟合精度更高、更可靠.【小问2详解】当时，后五组的，，由最小二乘法可得，故当投入20亿元时公司收益(直接收益＋国家补贴)的大小为：，故投入17亿元比投入20亿元时收益小.19.如图，已知正方体的棱长为分别为的中点.（1）已知点满足，求证四点共面；（2）求点到平面的距离.【答案】（1）证明见解析（2）,【解析】【分析】（1）作中点，连接，根据是平行四边形和为中位线，得到证明；（2）设到平面的距离为和到平面的距离为，利用求解.【小问1详解】证明：如图，作中点，连接，因为是平行四边形，所以，在中，为中位线，故，所以，故四点共面．【小问2详解】设到平面的距离为，点到平面的距离为，在中，．故的面积．同理，由三棱锥的体积，所以，得．故到平面的距离为．20.已知函数，．,（1）若，求函数的最小值及取得最小值时的值；（2）若函数对恒成立，求实数a的取值范围．【答案】（1）在处取得最小值，（2）【解析】【分析】（1）根据导数研究函数单调性求解函数最值即可；（2）由题知对恒成立，进而构造函数，结合函数性质，分当，，时三种情况讨论求解即可.【小问1详解】当时，，定义域为，所以，令得，所以，当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以，函数在处取得最小值，.【小问2详解】因为函数对恒成立所以对恒成立，令，则，①当时，，在上单调递增， 所以，由可得，即满足对恒成立；②当时，则，，在上单调递增， 因为当趋近于时，趋近于负无穷，不成立，故不满足题意；③当时，令得令，恒成立，故在上单调递增，因为当趋近于正无穷时，趋近于正无穷，当趋近于时，趋近于负无穷，,所以，使得，，所以，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，只需即可；所以，，，因为，所以，所以，解得，所以，，综上所解，实数a的取值范围为．【点睛】关键点点睛：本题第二问解题的关键在于讨论当时，结合函数的性质得，使得，，进而转化为解.21.已知椭圆的左、右顶点分别为、，短轴长为，点上的点满足直线、的斜率之积为．（1）求的方程；（2）若过点且不与轴垂直的直线与交于、两点，记直线、交于点．探究：点是否在定直线上，若是，求出该定直线的方程；若不是，请说明理由．【答案】（1）（2）点在定直线上【解析】【分析】（1）设点，则，可得出，利用斜率公式结合已知条件可得出，再利用椭圆的短轴长可得出、的值，即可得出椭圆的方程；（2）设的方程为，设点、，设点，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，写出直线、的方程，联立这两条直线方程，可得出点的横坐标，即可得出结论.【小问1详解】,解：设，则，且，所以，，则，故①，又②，联立①②，解得，，故椭圆的方程为．【小问2详解】解：结论：点在定直线上．由（1）得，、，设，设直线的方程为，设点、，联立，整理得，，，直线的方程为，直线的方程为，所以，，可得，解得，因此，点在直线上.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：,（1）设直线方程，设交点坐标为、；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；（5）代入韦达定理求解.选考题：（共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分）选修4-4：坐标系与参数方程22.在直角坐标系中，曲线M的方程为，曲线N的方程为，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．（1）求曲线M，N的极坐标方程；（2）若射线与曲线M交于点A（异于极点），与曲线N交于点B，且，求．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据极坐标与直角坐标的互化公式，即可求解曲线和的极坐标方程；（2）将代入曲线和的方程，求得和，结合题意求得，即可求解.【小问1详解】解：由，可得，即，又由，可得，所以曲线M的极坐标方程为．由，可得，即，,即曲线N的极坐标方程为.【小问2详解】解：将代入，可得，将代入，可得，则，因为，所以，又因为，所以．选修4-5：不等式选讲23.已知定义在上函数的最大值为．（1）求的值；（2）设，求证：．【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据绝对值三角不等式求解即可；（2）根据柯西不等式求解即可.【小问1详解】，当且仅当时等号成立．∴，即．【小问2详解】依题意可知，则由柯西不等式得，，∴，即，当且仅当时，等号成立．,