四川省绵阳南山中学2023届高三数学（文）下学期高考热身考试试卷（Word版附解析）

2023年5月绵阳南山中学2023年高考热身考试数学试题(文科)本试卷分为试题卷和答题卷两部分，其中试题卷由第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）组成，共6页；答题卷共6页，满分150分。注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡相应位置上。2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案；答案不能答在试题卷上。第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合，则（）A．B．C．D．2．复数在复平面内对应的点为，则（    ）A．B．C．D．3．已知命题，使得，则为（    ）A．，使得B．，使得C．，使得D．，使得4．大年除夕吃年夜饭是中国古老的民俗传统，唐朝诗人孟浩然曾写下“续明催画烛，守岁接长筵”这样的诗句．为了解某地区居民的年夜饭消费金额，研究人员随机调查了该地区100个家庭，所得金额统计如图所示，则下列说法中不正确的是（）A．可以估计，该地区年夜饭消费金额在家庭数量超过总数的三分之一第15页共15页 B．若该地区有2000个家庭，可以估计年夜饭消费金额超过2400元的有940个C．可以估计，该地区家庭年夜饭消费金额的平均数不足2100元D．可以估计，该地区家庭年夜饭消费金额的中位数超过2200元5．如图所示，点是边的中点，为线段上靠近点B的三等分点，则（    ）　A．　　　　B．　C．　　　　D．6．某几何体的三视图如图所示（小正方形的边长为），则该几何体的体积为（　    ）A．B．C．D．7．函数的部分图象大致为（  　  ）A．B．C．D．8．将函数（）的图像向左平移个单位，得到函数的图像，若函数）的一个极值点是，且在上单调递增，则ω的值为（    ）A．B．C．D．9．已知，，，则（）A．B．C．D．第15页共15页 10．数列中，，定义：使为整数的数叫做期盼数，则区间内的所有期盼数的和等于（  　  ）A．B．C．D．11．双曲线的左､右焦点分别为，以的实轴为直径的圆记为，过作的切线与曲线在第一象限交于点，且，则曲线的离心率为（ 　  ）A．B．C．D．12．函数的定义域为，满足，且当时，.若对任意，都有，则的最大值是（    ）A．B．C．D．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．写出一个具有下列性质①②的数列的通项公式_________．①；②数列的前n项和存在最小值．14．已知曲线在点处的切线被圆所截弦长最短，则_____________．15．一封闭圆台上、下底面半径分别为1,4，母线长为6.该圆台内有一个球，则这个球表面积的最大值为_____________．16．已知抛物线C：，为坐标原点，过抛物线的焦点F的直线与抛物线交于两点（点在第一象限），且，直线交抛物线的准线于点C，与的面积之比为4：9，则的值为____________．第15页共15页 三、解答题：（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题，每个试题考生必须作答，第22-23题为选考题，考生根据要求作答）17．（本小题满分12分）的内角的对边分别为，且______．在①，②这两个条件中任选一个，补充在横线中，并解答．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．（1）求的面积；（2）（2）若，求．18．（本小题满分12分）2021年6月17日9时22分，我国酒泉卫星发射中心用长征遥十二运载火箭，成功将神舟十二号载人飞船送入预定轨道，顺利将聂海胜、刘伯明、汤洪波3名航天员送入太空，发射取得圆满成功，这标志着中国人首次进入自己空间站．某公司负责生产的A型材料是神舟十二号的重要零件，该材料应用前景十分广泛．该公司为了将A型材料更好地投入商用，拟对A型材料进行应用改造、根据市场调研与模拟，得到应用改造投入x(亿元)与产品的直接收益y(亿元)的数据统计如下：序号123456789101112x2346810132122232425y1522274048546068.56867.56665当时，建立了y与x的两个回归模型：模型①：，模型②：；当时，确定y与x满足的线性回归方程为．（1）根据下列表格中的数据，比较当时模型①，②的相关指数的大小，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测对A型材料进行应用改造的投入为17亿元时的直接收益；第15页共15页 回归模型模型①模型②回归方程79.1320.2（2）为鼓励科技创新，当应用改造的投入不少于20亿元时，国家给予公司补贴5亿元，以回归方程为预测依据，根据(1)中选择的拟合精度更高更可靠的模型，比较投入17亿元与20亿元时公司收益(直接收益＋国家补贴)的大小．附：刻画回归效果的相关指数，且当越大时，回归方程的拟合效果越好．用最小二乘法求线性回归方程的截距：．19．（本小题满分12分）如图，已知正方体的棱长为分别为的中点.（1）已知点满足，求证四点共面；（2）求点到平面的距离．第15页共15页 20．（本小题满分12分）已知函数，．（1）若，求函数的最小值及取得最小值时的值；（2）若函数对恒成立，求实数a的取值范围．21．（本小题满分12分）已知椭圆的左、右顶点分别为、，短轴长为，点上的点满足直线、的斜率之积为．（1）求的方程；（2）若过点且不与轴垂直的直线与交于、两点，记直线、交于点．探究：点是否在定直线上，若是，求出该定直线的方程；若不是，请说明理由．选考题：（共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分）22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线M的方程为，曲线N的方程为，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．（1）求曲线M，N的极坐标方程；（2）若射线与曲线M交于点A（异于极点），与曲线N交于点B，且，求．23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知定义在R上的函数的最大值为．（1）求的值；第15页共15页 （2）设，，求证：．绵阳南山中学2023年高考热身考试文科数学答案一、选择题：1--4．DCBC5--8．CBCA9--12．CDAA1．【详解】解集合解集合,．故选：D．2．【详解】复数在复平面内对应的点为，则故选：C．3．【详解】根据命题的否定的定义，因为命题，使得，所以为，使得，故选：B．4．【解析】由题意得，年夜饭消费金额在的频率为，故A正确；若该地区有2000个家庭，可以估计年夜饭超过2400元的家庭个数为，故B正确；平均数为（元），故C错误；中位数为（元），故D正确．故选：C．5．【详解】解：．故选：C．6．【详解】原几何体的实物图如下图所示，几何体是长方体去掉一个小三棱锥，由三视图的数据可知该几何体的体积为.第15页共15页 故选：B．7．【详解】因为，，所以，故函数的为奇函数，排除BD；又所以，A错误．故选：C．8．【详解】由题意得：，又函数）的一个极值点是，即是函数一条对称轴，所以，则（），函数在上单调递增，则函数的周期，解得，则，，故选：A．9．【详解】设，求导，所以当时，，单调递增，故，即，所以；设，求导，所以当时，，单调递增，，所以，故．故选：C．10．【详解】解：，，，又为整数，必须是2的次幂，即．内所有的“幸运数”的和：，故选：D．第15页共15页 11．【详解】设切点为，，连接，则，，过点作⊥轴于点E，则，故，因为，解得，由双曲线定义得，所以，在中，由余弦定理得，化简得，又，所以，方程两边同时除以得，解得，所以离心率．故选：A．12．【详解】因，又当时，，当，，时，，则，，当，，时，，则，，作出函数的大致图象，第15页共15页 对任意，都有，设的最大值为，则，且所以，解得,所以m的最大值为．故选：A．二、填空题：13．14．15．16．13．【详解】∵，∴数列是等差数列，∵数列的前n项和存在最小值，∴等差数列的公差，，显然满足题意．故答案为：．（答案不唯一）14．【详解】若，则函数是一条直线，不符合题意，故．，则，又，所以曲线在处的切线方程为，则直线恒过定点.，得圆心坐标为，半径为，且定点在圆内.因为切线被该圆所截的弦长最短，所以定点与圆心的连线与切线垂直，则，解得.故答案为：．15．【详解】将圆台补体为圆锥并作出其轴截面，易得该轴截面为边长为6的正三角形，高，内切球半径，圆台高为，故该圆台内切球半径最大值为故．16．【详解】设，，则，设直线的方程为，联立抛物线方程有，，，则，直线的方程为，令，则，，第15页共15页 则得，∴，∴，，又，则，∴点，，解得．一、解答题：17.【详解】（1）若选①，由余弦定理得，整理得，则，（2分）又，则，，（5分）所以；（6分）若选②，则，又，则，又，得，则．（2）由正弦定理得：，则，（10分）即，所以．（12分）18．【详解】（1）对于模型①，对应的，（1分）故对应的，（2分）所以对应的相关指数，（3分）对于模型②，同理可得对应的相关指数，（4分）故,模型②拟合精度更高、更可靠.（5分）故对A型材料进行应用改造的投入为17亿元时的直接收益为第15页共15页 (亿元).（7分）另解：本题也可以根据相关系数的公式，直接比较79.13和20.2的大小，从而说明模型②拟合精度更高、更可靠.（2）当时，后五组的，（8分），（9分）由最小二乘法可得，即（10分）所以当投入20亿元时公司收益(直接收益＋国家补贴)的大小为：，故，投入17亿元比投入20亿元时收益小.（12分）19．【详解】（1）证明：如图，作中点，连接，因为是平行四边形，所以，（2分）在中，为中位线，故，所以，故四点共面．（5分）（2）设到平面的距离为，点到平面的距离为，（7分）在中，．故的面积．（9分）同理，由三棱锥的体积，（10分）所以，得．故到平面的距离为．（12分）20．【详解】（1）解：当时，，定义域为，第15页共15页 所以，令得，所以，当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以，函数在处取得最小值，.（4分）（2）因为函数对恒成立所以对恒成立，令，则，①当时，，在上单调递增， 所以，由可得，即满足对恒成立；（6分）②当时，则，，在上单调递增， 因为当趋近于时，趋近于负无穷，不成立，故不满足题意；（7分）③当时，令得令，恒成立，故在上单调递增，因为当趋近于正无穷时，趋近于正无穷，当趋近于时，趋近于负无穷，所以，使得，，所以，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，只需即可；（10分）所以，，，因为，所以，所以，解得，所以，，（11分）综上所解，实数a的取值范围为．（12分）第15页共15页 21．【详解】（1）解：设，则，且，所以，，则，故①，又②，联立①②，解得，，故椭圆的方程为．（5分）（2）结论：点在定直线上．         （6分）             由（1）得，、，设，设直线的方程为，设点、，联立，整理得，，，      （8分）直线的方程为，直线的方程为，所以，，（9分）可得    ，解得，因此，点在直线上．（12分）22．【详解】（1）解：由，可得，即，第15页共15页 又由，可得，所以曲线M的极坐标方程为．　　（3分）由，可得，即，即曲线N的极坐标方程为．　　　（5分）（2）将代入，可得，将代入，可得，则，因为，所以，又因为，所以．　　　（10分）23．【详解】（1），当且仅当时等号成立．∴，即．（5分）（2）依题意可知，则由柯西不等式得，，∴即当且仅当时，等号成立（10分）第15页共15页