四川省内江市威远中学2023-2024学年高三上学期第三次月考数学（理）试题（Word版附解析）

威远中学校2023-2024学年高三上学期第三次阶段考试数学（理工类）2023.12.8数学试题共4页.满分150分.考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上.2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号.3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；各题答案必须答在答题卡上相应的位置.1.设集合A={-1，0，1，2，3}，B={x|x∈A且-x∈A}，则集合B中元素的个数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】【分析】根据集合A={-1，0，1，2，3}，B={x|x∈A且-x∈A}，即集合B中的元素有0，1，-1．【详解】解：由于集合A={-1，0，1，2，3}，B={x|x∈A且-x∈A}，∵-1∈A且1∈A，0的相反数是0，0∈A∴-1∈B，1∈B，0∈B．∴B={-1，0，1}故B中元素个数为3个；故选C．【点睛】本题考查了元素与集合的关系，属于基础题．2.复数在复平面内对应的点为，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据复数的几何意义表示出，再根据复数代数形式的除法运算法则计算可得. 【详解】复数在复平面内对应的点为，则，所以.故选：C．3.部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形，一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系统，分形几何学不仅让人们感悟到科学与艺术的融合，数学与艺术审美的统一，而且还有其深刻的科学方法论意义，如图，由波兰数学家谢尔宾斯基1915年提出的谢尔宾斯基三角形就属于一种分形，具体作法是取一个实心三角形，沿三角形的三边中点连线.将它分成4个小三角形，去掉中间的那一个小三角形后，对其余3个小三角形重复上述过程逐次得到各个图形，若记图①三角形的面积为，则第n个图中阴影部分的面积为A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】每一个图形的面积是前一个图形面积的，根据等比数列公式得到答案.【详解】根据题意：每一个图形的面积是前一个图形面积的，即面积为首项为，公比为的等比数列，故第n个图中阴影部分的面积为.故选：D.【点睛】本题考查了等比数列的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.4.实数a，b满足，则下列不等式成立的是（）A.B. C.D.【答案】C【解析】【分析】举反例即可判定ABD，由，得出，利用指数函数性质即可判定C.【详解】取,满足,但,所以A错误；取,满足,但，所以B错误；若，则,,所以C正确；取,则,所以D错误.故选:C.5.下列命题不正确的是（）A.“”是“”的充分不必要条件B.若为假命题，则，至少有一个为假命题C.命题“若则有且只有一个零点”的逆命题为真命题D.命题“若，则”的否命题为“若，则”【答案】C【解析】【分析】A选项，解出不等式，根据条件间的逻辑关系即可判定；B选项，由“或且非”联结的命题的真假公式即可判定；C选项，由零点的定义求解，即可判定；D选项，由否命题的定义即可判定.【详解】由可得，解得或，则“”是“”的充分不必要条件，故选项A正确；，中有一个假命题，则为假命题,则若为假命题，则，至少有一个为假命题，故选项B正确；原命题的逆命题为：若有且只有一个零点，则，若有且只有一个零点，当时，，，成立当时，，解得 故或故选项C错误；“若，则”的否命题为“若，则”，故选项D正确；故选：C.6.在如图所示的程序框图中，程序运行的结果为3840，那么判断框中可以填入的关于的判断条件是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】模拟程序的运行过程，即可得出判断框中应填入的判断条件.【详解】模拟程序的运行过程，如下：程序进行第一次循环：，此时，继续运行.程序进行第二次循环：，此时，继续运行.程序进行第三次循环：，此时，继续运行.程序进行第四次循环：，此时，结束运行.所以时，程序退出循环，而时，程序运行不退出循环.结合选项分析可得：选项C满足.故选：C7.为了加强新型冠状病毒疫情防控，某社区派遣甲､乙､丙､丁､戊五名志愿者参加，，三个小区的防疫工作，每人只去1个小区，每个小区至少去1人，且甲､乙两人约定去同一个小区，则不同的派遣方案共有（） A.24种B.36种C.48种D.64种【答案】B【解析】【分析】分3：1：1与2：2：1分配进行选派，结合排列组合知识简单计算即可.【详解】若按照3：1：1进行分配，则有种不同的方案，若按照2：2：1进行分配，则有种不同的方案，故共有36种派遣方案.故选：B8.已知函数，且的图象如下图所示，则的解析式可能为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由奇偶性定义判断A、B的奇偶性，在，趋向于0时的符号，结合排除法即得答案.【详解】由且定义域为，所以为偶函数，排除A；由且定义域为， 所以为偶函数，排除B；对于，当，趋向于0时，趋向正无穷，趋向于1，故趋向于正无穷，排除C.故选：D9.多项式的项系数比项系数多35，则其各项系数之和为（）A.1B.243C.64D.0【答案】D【解析】【分析】利用二项展开式表示项系数比项系数多35求出的值，然后令，即求出各项系数之和.【详解】根据二项式的展开式，当时，的系数为，当时，的系数为，因为多项式的项系数比项系数多35，所以，解得，所以其各项系数之和，即当时，系数和为0，故选：D.10.已知数列满足，则（）A.2023B.2024C.2027D.4046【答案】C【解析】【分析】由可得，进而可得，则有数列的偶数项是以为公差的等差数列，再根据等差数列的通项即可得解.【详解】由①，得，②， 由②①得，所以数列的偶数项是以为公差的等差数列，则，所以.故选：C.11.已知，，且，则的最大值为（）A.2B.C.4D.【答案】B【解析】【分析】由，两边取对数得到，再设，两边取对数，利用基本不等式求解.【详解】解：因为，所以，设，则，则，当且仅当，即时，等号成立，故选：B12.已知函数，之间的关系非常密切，号称函数中的双子座，以下说法正确的个数为（）①函数在处的切线与函数在处的切线平行；②方程有两个实数根；③若直线与函数交于点，，与函数交于点，，则．④若，则的最小值为．A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】 【分析】对于①利用导数的几何意义即可判断，对于②先利用导数求单调性，再根据，当时即可判断，对于③利用分析即可判断，对于④结合已知条件可得，构造函数利用函数的单调性求解最值即可.【详解】①由题意可知，，，，因为，，所以函数在处的切线为，函数在处的切线为，两切线平行，①说法正确；②令解得，所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，令解得，所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，当，即时，显然有，令，则，令，则，令解得，所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以，即恒成立，所以在上单调递减，又，所以当时，所以当时，，即， 又因为，所以结合单调性可知方程仅有一个根，②说法错误；③由②可知，因为，所以或，令，则，令解得，所以当时，单调递增，当时，单调递减，所以，则无解，所以舍去，同理可得，所以（即）或（与矛盾舍去），所以，又由即可得，所以，③说法正确；④的定义域为，根据对数函数的图象和性质当时，，当时，，所以时得，，又，所以，，令，则，由解得，则当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以当时，，即的最小值为，④说法正确；综上①③④正确，故选：C【点睛】 本题考查导数的应用，综合性强，难度较大，涉及利用导数求解零点和判定函数单调区间问题，解决零点、交点、根的个数问题常根据函数单调性结合零点存在定理解决.本题难点在于根据解析式找到和的关系，即，并由此进一步分析求解.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大共4小题，每小题5分，满分20分．13.设满足约束条件，则的最大值为__．【答案】4【解析】【分析】根据可行域结合几何意义求最值.【详解】作出可行域如下，由可得，当直线过点时，最小，则最大，此时.故答案为:4.14.定义在上的奇函数满足，且时，，则_________.【答案】【解析】【分析】根据函数的奇偶性即可得到周期性，进而可求解.【详解】由于为奇函数，，所以，故为周期为4的周期函数， 所以，故答案为：15.已知点在同一平面，且三点不共线，且满足，其中，，，则的值为__________，则的面积为__________.【答案】①.②.【解析】【分析】利用，得出，两边平方可得；利用可求夹角的余弦值，结合三角形面积公式可求的面积.【详解】因为，所以，所以，故，解得.又因为，所以，所以；故答案为：；.16.已知等差数列的公差为，集合，若，则________．【答案】##1.25【解析】【分析】首先根据等差数列的公差为，得出，再就前三项的关系分类讨论后得出集合中元素，进而得出答案．【详解】因为等差数列的公差为，所以，所以，所以数列是周期为3的数列，又，故中必有两者相等，不妨设，则（舍）或， 而或，若，故，，连续三个中第三数为或为，此时或.若，则，，此时这两个数的中间数，此时或.综上，.故答案为：三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.17.直播带货是一种直播和电商相结合的销售手段，目前已被广大消费者所接受．针对这种现状，某公司决定逐月加大直播带货的投入，直播带货金额稳步提升，以下是该公司2023年前5个月的带货金额：月份12345带货金额/万元350440580700880（1）计算变量，的相关系数（结果精确到0.01）．（2）求变量，之间的线性回归方程，并据此预测2023年7月份该公司的直播带货金额．（3）该公司随机抽取55人进行问卷调查，得到如下不完整的列联表：参加过直播带货未参加过直播带货总计女性2530男性10总计请填写上表，并判断是否有90%把握认为参加直播带货与性别有关． 参考数据：，，，，．参考公式：相关系数，线性回归方程的斜率，截距．附：，其中．0.150.100.050.0252.0722.7063.8415.024【答案】（1）0.99（2），1118万元（3）表格见解析，有【解析】【分析】（1）直接代入求相关系数即可；（2）根据线性回归方程求解回归方程即可；（3）零假设之后计算，再比较大小判断零假设否成立即可.【小问1详解】【小问2详解】因为，，，， 所以，，所以变量，之间的线性回归方程为，当时，（万元）．所以预测2023年7月份该公司的直播带货金额为1118万元．【小问3详解】补全完整的列联表如下．参加过直播带货未参加过直播带货总计女性25530男性151025总计401555零假设：参加直播带货与性别无关，根据以上数据，经计算得到，根据小概率值的独立性检验我们推断不成立，即参加直播带货与性别有关，该判断犯错误的概率不超过.18.设函数.（1）求函数的最小正周期及图象的对称轴；（2）在锐角中，若，且能盖住的最小圆的面积为，求的取值范围.【答案】（1）最小正周期为，对称轴方程是直线，（2）【解析】 【分析】（1）根据三角恒等变换，化简得出，进而得出周期.解，，即可得出函数的对称轴；（2）根据已知可推得，的外接圆半径，进而根据正弦定理可得出，化简得出.然后根据已知得出的范围，结合正弦函数的图象与性质，即可得出答案.【小问1详解】因为，所以函数的最小正周期，令，，解得，，所以对称轴方程是直线，.【小问2详解】因为为锐角三角形，所以，.因为，所以，所以，所以.因为能盖住的最小圆为的外接圆，设半径为，所以，得.由正弦定理可得，可得，，. 所以，.因为为锐角三角形，所以，即，解得，所以，根据正弦函数的图象以及性质可知，所以，所以的取值范围是.19.已知函数（1）当时，求在区间上的最值；（2）若直线是曲线的一条切线，求的值.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）求导后，根据正负可确定在上的单调性，由单调性可确定最值点并求得最值；（2）设切点为，结合切线斜率可构造方程组求得和的值.【小问1详解】当时，，则，当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增，，，又，，.【小问2详解】由题意知：，设直线与相切于点，则，消去得：，解得：，则，解得：.20.在数列中，，，是公差为1的等差数列.（1）求的通项公式；（2）设______，为数列的前项和，证明：.从下面三个条件中任选一个补充在题中横线处，并解答问题.①；②；③.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由等差数列的定义可得，由累乘法即可求解通项，（2）根据裂项求和即可结合选项逐一求证.【小问1详解】由，可知. 由题设条件可知，所以，当时，，所以当时，满足，故的通项公式为.【小问2详解】选择①，由（1）可知，所以.选择②，由（1）可知，所以.选择③，由（1）可知，所以.21.已知函数，.（1）若经过点的直线与函数的图像相切于点，求实数a的值；（2）设，若有两个极值点为，，且不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由题意，对函数求导，根据导数的几何意义进行求解即可；（2）将有两个极值点为，，转化为方程在上有两个不同的根，根据根的判别式求出的取值范围，将不等式恒成立，转化为恒成立，通过构造函数，将问题转化为函数极值问题，进而即可求解.【小问1详解】的定义域为，由，得，则，因为经过点的直线与函数的图像相切于点，所以，所以，解得，【小问2详解】，则，因为有两个极值点为，，所以在上有两个不同的根，此时方程在上有两个不同的根，则，且，解得，若不等式恒成立，则恒成立，因为 不妨设，则，因为，所以，所以在上递减，所以，所以，即实数的取值范围为.【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查导数几何意义，考查利用导数解决不等式恒成立问题，解题的关键是将极值点问题转化为方程在上有两个不同的根，求出的范围，再将不等式恒成立，则恒成立，然后构造关于的函数，利用导数求出其范围，考查数学转化思想和计算能力，属于难题.注：22与23题为选做题，2选1，均为10分．22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）．（1）求和的直角坐标方程；（2）若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求．【答案】（1）；当时，直线的直角坐标方程为，当时，直线的参数方程为．（2）【解析】 【分析】（1）利用平方法，结合同角的三角函数关系式进行求解即可；（2）根据直线参数方程中参数的几何意义进行求解即可.小问1详解】，，曲线的直角坐标方程为；当时，，当时，可得直线的参数方程为；【小问2详解】将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，整理可得：．①因为所以曲线截直线所得线段的中点在椭圆内，则方程①有两解，设为，则，故，解得的倾斜角为．23.已知.（1）求的最小值M；（2）关于的不等式有解，求实数的取值范围.【答案】（1）3（2）【解析】 【分析】（1）确定，，，相加得到答案.（2）根据得到，解得答案.【小问1详解】，则，，，则，所以，当且仅当时等号成立，的最小值为．【小问2详解】，当且仅当且时取最大值．的最大值为，解得．