河南省周口恒大中学2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题（Word版附解析）

2023-2024学年高二上学期数学12月考试卷数学试题试卷考试时间：120分钟满分：150第I卷（选择题）一、单项选择题（每小题5分，共40分）1.在等差数列中，，．则数列中正数项的个数为（）A.14B.13C.12D.112.直线与圆相切，则（）A.3B.C.或1D.3或3.已知圆和圆，则圆与圆的位置关系为（）A.外切B.内切C.相交D.外离4.椭圆的焦点坐标为A.B.C.D.5.如图是抛物线形拱桥，当水面在l位置时，拱顶离水面2m，水面宽4m，则水位下降2m后（水足够深），水面宽为（）A.B.C.D.6.如图所示，圆柱中，是底面直径，点是上一点，，点是母线上一点，点是上底面一动点，，，，则（） A.存在点，使得B.存在唯一的点，使得C.满足的点的轨迹长度是D.当时，三棱锥外接球表面积是7.已知点F(0，1)，直线l：y＝－1，P为平面上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q，且，动点P的轨迹为C，已知圆M过定点D（0，2），圆心M在轨迹C上运动，且圆M与x轴交于A、B两点，设|DA|＝l1，|DB|＝l2，则的最大值为（）A.2B.3C.2D.38.已知点P是圆上一点，点，则线段长度的最大值为（）A.3B.5C.7D.9二．多项选择题（每小题5分，共20分，有多项符合要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分）9.已知是等差数列，其前项和为，满足，则下列四个选项中正确的有（）A.B.C.最小D.10.已知圆：，则下列说法正确的是（）A.点在圆M内B.圆关于对称C.半径为3D.直线与圆相切11.下列命题中，正确的是（）A.两条不重合直线的方向向量分别是，，则B.直线l的方向向量，平面的法向是，则 C.两个不同平面，的法向量分别是，，则D.直线l的方向向量，平面的法向量，则直线l与平面所成角的大小为12.我们把离心率为的椭圆称为黄金椭圆，类似地，也把离心率为的双曲线称为黄金双曲线，则（　　）A.曲线是黄金双曲线B.如果双曲线是黄金双曲线，那么（c为半焦距）C.如果双曲线是黄金双曲线，那么右焦点到一条渐近线的距离等于焦距的四分之一D.过双曲线的右焦点且垂直于实轴的直线l交C于M、N两点，O为坐标原点，若，则双曲线C是黄金双曲线第II卷（非选择题）三、填空题（每小题5分，共20分）13.记数列的前n项和为，若对任意的，都有，则_____．14.已知长方体的棱，和的长分别为3cm、4cm和5cm，则棱到平面的距离为____________cm15.已知椭圆一个焦点为，为椭圆的右顶点，以为圆心的圆与直线相交于两点，且，，则圆的半径为__________．16.已知点，平面a经过原点O，且垂直于向量，则点A到平面a的距离为______.四、解答题（共6小题，共计70分．第17题10分，第18---22题，每题12分）17.已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，P(5，a)为抛物线C上一点，且|PF|＝8．（1）求抛物线C的方程；（2）过点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，以线段AB为直径的圆过Q(0，﹣3)，求直线l的方程． 18.求下列数列的前项和：（1）（2）数列中，.19.根据数列通项公式，分别写出数列的第10项.（1）；（2）.20.求下列椭圆的焦点坐标，以及椭圆上任一点到两个焦点的距离之和：（1）；（2）；（3）.21.已知，分别为椭圆的左、右焦点，P是椭圆上一点，当轴时，．（1）求椭圆的方程；（2）当，求的面积．22.已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为轴，轴，且过两点.（1）求椭圆的方程；（2）为椭圆的右焦点，直线交椭圆于（不与点重合）两点，记直线的斜率分别为，若，证明：的周长为定值，并求出定值. 2023-2024学年高二上学期数学12月考试卷数学试题试卷考试时间：120分钟满分：150第I卷（选择题）一、单项选择题（每小题5分，共40分）1.在等差数列中，，．则数列中正数项的个数为（）A.14B.13C.12D.11【答案】C【解析】【分析】根据等差数列的通项公式可得，再求解即可.【详解】，由可得，所以数列中正数项的个数为12．故选：C．2.直线与圆相切，则（）A.3B.C.或1D.3或【答案】D【解析】【分析】利用题给条件列出关于a的方程，解之即可求得a的值.【详解】圆的圆心坐标为，半径为又直线与圆相切，则，解之得或，故选：D．3.已知圆和圆，则圆与圆的位置关系为（）A.外切B.内切C.相交D.外离【答案】A 【解析】【分析】根据圆的方程确定圆的圆心和半径，再根据两圆圆心间的距离与两圆半径的大小关系判断两圆的位置关系.【详解】因为圆，所以，半径为5,因为圆，所以，半径为5，由于，等于两圆半径之和，所以圆与圆外切.故选：A【点睛】判断两圆的位置关系常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差之间的关系，一般不采用代数法．两圆相切注意讨论内切外切两种情况.4.椭圆焦点坐标为A.B.C.D.【答案】D【解析】【详解】椭圆方程为：∴，,且焦点在y轴上∴，即焦点坐标为故选D5.如图是抛物线形拱桥，当水面在l位置时，拱顶离水面2m，水面宽4m，则水位下降2m后（水足够深），水面宽为（）A.B.C.D. 【答案】B【解析】【分析】建立平面直角坐标系，设抛物线方程为，求出抛物线的方程，再代点的坐标即得解.【详解】如图，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为，将代入，得，所以．设，代入，得．所以水面宽为．故选：B6.如图所示，圆柱中，是底面直径，点是上一点，，点是母线上一点，点是上底面的一动点，，，，则（）A.存在点，使得B.存在唯一的点，使得C.满足的点的轨迹长度是D.当时，三棱锥外接球的表面积是【答案】D【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用坐标法判断选项A，B，C的对错，再通过确定三棱锥外接球的球心及半径判断D. 【详解】由圆锥的性质可得平面，如图以为原点，为的正方向建立空间直角坐标系，设，，则，，，，设关于点的对称点为，因为，，所以，所以，又，所以，A错误，又，因为，所以，所以，所以，所以满足的点的轨迹为圆，B错误，因为，，，所以，所以，故，所以满足的点的轨迹为线段，所以，C错误，因为，,,所以为直角三角形，取的中点为,又为直角三角形，所以,故为三棱锥外接球的球心，故外接球的半径为，所以三棱锥的外接球的表面积为，D正确，故选：D. 7.已知点F(0，1)，直线l：y＝－1，P为平面上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q，且，动点P的轨迹为C，已知圆M过定点D（0，2），圆心M在轨迹C上运动，且圆M与x轴交于A、B两点，设|DA|＝l1，|DB|＝l2，则的最大值为（）A.2B.3C.2D.3【答案】C【解析】【分析】利用数量积运算可得动点P的轨迹C方程，设M进而得到⊙M的方程为：，可得A(a+2，0)，B(a－2，0)，利用两点之间的距离公式可得，，再利用基本不等式即可得出．【详解】设P(x，y)，则Q(x，－1)， ∵，∴(0，y+1)(－x，2)＝(x，y－1)(x，－2)，∴2(y+1)＝x2－2(y－1)，∴x2＝4y．∴动点P的轨迹C为：x2＝4y．设M．（a∈R）．则⊙M的方程为：．化为．令y＝0，则x2－2ax+a2＝4，解得x＝a+2，或a－2．取A(a+2，0)，B(a－2，0)．∴|DA|＝l1，|DB|＝l2．当a≠0时，，当且仅当a时取等号．当a＝0时，2．综上可得：的最大值为．故选：C．8.已知点P是圆上一点，点，则线段长度的最大值为（）A.3B.5C.7D.9【答案】C【解析】 【分析】先由判断点在圆外，则最大值为.【详解】圆，即，则圆心，半径，由点，则，即点在圆外，则.故选：C.二．多项选择题（每小题5分，共20分，有多项符合要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分）9.已知是等差数列，其前项和为，满足，则下列四个选项中正确的有（）A.B.C.最小D.【答案】ABD【解析】【分析】由条件可得，然后逐一判断每个选项即可【详解】因为是等差数列，所以，所以即，即所以所以正确的有ABD故选：ABD【点睛】本题考查的是等差数列的性质及其前项和的性质，属于典型题.10.已知圆：，则下列说法正确的是（）A.点在圆M内B.圆关于对称C.半径为3D.直线与圆相切 【答案】BD【解析】【分析】根据圆的方程确定圆心与半径，再结合点与圆、直线与圆、圆的对称性逐项判断即可.【详解】圆：化成标准方程为，则圆心，半径，故C不正确；又，所以点在圆M外，故A不正确；圆心的坐标满足直线的方程，故直线过圆心，所以圆关于对称，故B正确；圆心到直线的距离，所以直线与圆相切，故D正确.故选：BD.11.下列命题中，正确的是（）A.两条不重合直线的方向向量分别是，，则B.直线l的方向向量，平面的法向是，则C.两个不同的平面，的法向量分别是，，则D.直线l的方向向量，平面的法向量，则直线l与平面所成角的大小为【答案】AC【解析】【分析】由可判断A；由可判断B；由可判断C；根据线面角的向量公式直接计算可判断D.【详解】A选项：因为，且不重合，所以，A正确；B选项：因为，所以所以或，B错误；C选项：因为，所以，C正确； D选项：记直线l与平面所成角为，则，因为，所以，D错误.故选：AC12.我们把离心率为椭圆称为黄金椭圆，类似地，也把离心率为的双曲线称为黄金双曲线，则（　　）A.曲线是黄金双曲线B.如果双曲线是黄金双曲线，那么（c为半焦距）C.如果双曲线是黄金双曲线，那么右焦点到一条渐近线的距离等于焦距的四分之一D.过双曲线的右焦点且垂直于实轴的直线l交C于M、N两点，O为坐标原点，若，则双曲线C是黄金双曲线【答案】BD【解析】【分析】根据双曲线的离心率以及黄金双曲线的定义分别计算即可一一判断；【详解】解：对于A：，，，所以，所以，故A错误；对于B：双曲线是黄金双曲线，所以，由，所以，故B正确；对于C：双曲线的一条渐近线，则到其距离 ，而由B可知，，故C错误；对于D：当时，，令，，则，，所以，则，由B可知，双曲线C是黄金双曲线，故D正确；故选：BD【点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．第II卷（非选择题）三、填空题（每小题5分，共20分）13.记数列的前n项和为，若对任意的，都有，则_____．【答案】96【解析】【分析】利用与的关系，分类讨论可得到是等比数列，进而可求.【详解】由题意对任意的，都有，当时，，得，当时，故，即，∴数列是，的等比数列，.故答案为：96．14.已知长方体的棱，和的长分别为3cm、4cm和5cm，则棱到平面 的距离为____________cm【答案】3【解析】【分析】由长方体得，平面，再由平面得，棱到平面距离为cm.【详解】依题意作图，在长方体中，有平面，又平面，所以棱AB到平面的距离为cm.故答案为：3.15.已知椭圆的一个焦点为，为椭圆的右顶点，以为圆心的圆与直线相交于两点，且，，则圆的半径为__________．【答案】【解析】【分析】依题意作出图形，结合圆的中点弦性质分别求得所需要弦长，从而求得，进而得到圆的半径.【详解】如图所示，取的中点，连结， 由题意可得：，结合圆的性质有：，在等腰直角三角形中，令，则，在中，，则，则，即，又，则由，得，解得，则，则，所以圆的半径.故答案为：.16.已知点，平面a经过原点O，且垂直于向量，则点A到平面a的距离为______.【答案】【解析】【分析】利用点到平面的距离为，即可求得结论.【详解】由题意，，，， 所以点到平面的距离为.故答案为：.四、解答题（共6小题，共计70分．第17题10分，第18---22题，每题12分）17.已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，P(5，a)为抛物线C上一点，且|PF|＝8．（1）求抛物线C的方程；（2）过点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，以线段AB为直径的圆过Q(0，﹣3)，求直线l的方程．【答案】（1）；（2）2x﹣y﹣6＝0﹒【解析】【分析】(1)根据抛物线焦半径公式构造方程求得，从而得到结果．(2)设直线，代入抛物线方程可得韦达定理的形式，根据可构造方程求得，从而得到直线方程．【小问1详解】由抛物线定义可知：，解得：，抛物线的方程为：．【小问2详解】由抛物线方程知：，设直线，，，，，联立方程，得：，，，以线段为直径的圆过点，，，解得：，直线的方程为：，即．18.求下列数列的前项和： （1）（2）数列中，.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用分组求和法，通过等差等比的求和公式求和；（2）利用裂项求和法求和.【小问1详解】；【小问2详解】则数列的前项和为.19.根据数列的通项公式，分别写出数列的第10项.（1）；（2）.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据的通项公式，代入数据，即可得答案. （2）根据的通项公式，代入数据，即可得答案.【小问1详解】解：因为，所以【小问2详解】解：因为，所以20.求下列椭圆的焦点坐标，以及椭圆上任一点到两个焦点的距离之和：（1）；（2）；（3）.【答案】（1），6（2），8（3），【解析】【分析】根据椭圆方程求出的值，确定焦点的位置，结合椭圆定义即可得答案.【小问1详解】由椭圆方程可得长半轴长，短半轴长，椭圆焦点在x轴上，且，故椭圆的焦点坐标为，椭圆上任一点到两个焦点的距离之和为；【小问2详解】 由椭圆方程可得长半轴长，短半轴长，椭圆焦点在y轴上，且，故椭圆的焦点坐标为，椭圆上任一点到两个焦点的距离之和为；【小问3详解】由椭圆方程，即，可得长半轴长，短半轴长，椭圆焦点在y轴上，且，故椭圆的焦点坐标为，椭圆上任一点到两个焦点的距离之和为；21.已知，分别为椭圆的左、右焦点，P是椭圆上一点，当轴时，．（1）求椭圆的方程；（2）当，求的面积．【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)由条件列方程求，由此可得椭圆方程；(2)根据椭圆的定义和余弦定理列等式，化简可求，再由三角形面积公式求的面积.小问1详解】 由知，，因为轴时，可得点的坐标为或，因为点在椭圆上，所以，又，所以所以，所以椭圆的方程为；【小问2详解】设，，，又，所以，所以，所以，所以的面积为.22.已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为轴，轴，且过两点.（1）求椭圆的方程；（2）为椭圆的右焦点，直线交椭圆于（不与点重合）两点，记直线的斜率分别为，若，证明：的周长为定值，并求出定值.【答案】（1）（2）证明见解析，定值为【解析】【分析】（1）结合两点的坐标，利用待定系数法求得椭圆的方程.（2）设直线，联立直线的方程和椭圆的方程，化简写出根与系数关系，利用求得的关系式，从而判断出直线过左焦点，由此求得的周长为定值.【小问1详解】 由已知设椭圆方程为：，代入，得，故椭圆方程为.【小问2详解】设直线，由得，，，又，故，由，得，故或，①当时，直线，过定点，与已知不符，舍去；②当时，直线，过定点，即直线过左焦点，此时，符合题意所以的周长为定值.