天津市天津中学2023-2024学年高二上学期第一次月考数学试题（Word版附解析）

天津中学2022级高二（上）第一次月考数学试卷一､填空题（共25小题，每道题3分，共75分）1.经过点和点的直线的斜率是____________.【答案】【解析】【分析】由两点斜率公式即可求解.【详解】由两点斜率公式可得,故答案为：2.直线的倾斜角的大小为______．【答案】##【解析】【分析】首先求出直线的斜率，再根据斜率与倾斜角的关系计算可得.【详解】直线的斜率，设直线的倾斜角为，则，又，所以.故答案为：3.已知直线斜率的取值范围是，则的倾斜角的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】根据斜率与倾斜角的关系即可求解.【详解】因为直线斜率的取值范围是，所以当斜率时，倾斜角， 当斜率时，倾斜角，综上倾斜角的取值范围，故答案为：【点睛】本题主要考查了直线的斜率，直线的倾斜角，属于中档题.4.两直线3x＋y－3＝0和6x＋my－1＝0平行，则它们之间的距离为________.【答案】【解析】【分析】通过直线平行求出，然后利用平行线之间的距离求出结果即可．【详解】直线与直线平行，所以，直线与直线的距离为．故答案为：．5.已知直线与直线垂直，则a等于___________.【答案】【解析】【分析】若直线与直线垂直,则，进而求解.【详解】∵直线与直线垂直，所以,所以.故答案为：.6.过点，且斜率为2的直线的一般式方程为________________． 【答案】【解析】【分析】由点斜式写出直线方程，再化为一般形式即可.【详解】因为直线过点，且斜率为2，所以直线的点斜式方程为，所以直线的一般方程为．故答案为：.7.直线l过点P(1，3)，且它的一个方向向量为(2，1)，则直线l的一般式方程为__________.【答案】【解析】【分析】根据直线方向向量求出直线斜率即可得直线方程.【详解】因为直线l的一个方向向量为(2，1)，所以其斜率，所以l方程为：，即其一般式方程为：.故答案为：.8.过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程是_______________【答案】或.【解析】【分析】分截距为0以及截距不为0两种情况分别求解即可.【详解】当截距为0时,满足在两坐标轴上的截距相等.此时设直线方程为,则,故,化简得.当截距不为0时,设直线方程为,则.故,化简可得.故答案为：或.【点睛】本题主要考查了根据直线的截距关系式求解直线方程的问题,需要注意分截距为0与不为0两种情况进行求解.属于基础题.9.已知三角形的三个顶点A(－5，0)，B(3，－3)，C(0，2)，则BC边上中线所在的直线方程为________. 【答案】x＋13y＋5＝0【解析】【分析】由中点坐标公式求得BC的中点坐标，再直线方程的两点式即可得到答案.【详解】由B(3，－3)，C(0，2)，则BC的中点坐标为，∴BC边上中线所在直线方程为，即x＋13y＋5＝0.故答案为：.【点睛】本题考查直线方程的求法，考查中点坐标公式的应用，属于基础题.10.经过点，且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍的直线l的方程为_________．【答案】或【解析】【分析】分截距为零和截距不为零两种情况求解即可.【详解】设直线l在y轴上的截距为a，则在x轴上的截距为．当时，直线l过点，又直线l过点，故直线l的斜率，故直线l的方程为，即；当时，直线l的方程为，即，∴直线l过点，∴，∴，∴直线l的方程为．综上可知，直线l的方程为或．故答案为：或.11.不论为何实数，直线恒过定点_________.【答案】 【解析】【分析】直线方程转化为，再根据直线系方程求解即可.【详解】解：将直线方程转化为，所以直线过直线与的交点，所以，联立方程，解得所以，直线恒过定点故答案为：12.已知直线：与：平行，则______.【答案】【解析】【分析】根据两直线平行列方程，验证后求得的值.【详解】由于，所以，解得或.当时，两直线方程为，两直线重合，不符合题意.当时，两直线方程为，两直线平行，符合题意.综上所述，的值为.故答案为：13.点到直线的距离为______．【答案】1【解析】【分析】直接利用点到直线的距离公式计算可得.【详解】点到直线的距离.故答案为：14.点到直线距离的最大值为___________.【答案】【解析】 【分析】直线恒过点，根据几何关系可得，点到直线的距离为.【详解】解：直线恒过点，则点到直线的距离的最大值为点到点的距离，∴点到直线距离的最大值为：.故答案为：.15.已知直线，，则直线与之间的距离最大值为______.【答案】5【解析】【分析】分别求出直线，过的定点，，当与两直线垂直时距离最大，且最大值为，由此即可求解．【详解】直线化简为：，令且，解得，，所以直线过定点，直线化简为：，令且，解得，，所以直线过定点，，当与直线，垂直时，直线，的距离最大，且最大值为，故答案为：5．16.已知圆的一条直径的端点分别是，，则该圆的方程为________．【答案】【解析】 【分析】求出圆心和半径，即得答案.【详解】由题意可得该圆的圆心为的中点，即，半径为，故该圆的方程为，股答案为：17.已知圆的圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)，则圆的一般方程为________________.【答案】x2＋y2＋2x＋4y－5＝0【解析】【分析】方法一：设出圆的标准方程，代入点的坐标，建立方程组，求出答案；方法二：求出线段AB的垂直平分线方程，联立x－2y－3＝0求出圆心坐标，进而计算出半径，写出圆的标准方程，化为一般方程.【详解】方法一：设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，由题意得:,解得：故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10，即x2＋y2＋2x＋4y－5＝0.方法二：线段的中点坐标为，即，直线的斜率为，所以线段AB的垂直平分线的斜率为-2，所以线段AB的垂直平分线方程为，即2x＋y＋4＝0，由几何性质可知：线段AB的垂直平分线与的交点为圆心， 联立，得交点坐标，又点O到点A的距离，即半径为，所以圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10，即x2＋y2＋2x＋4y－5＝0故答案为：x2＋y2＋2x＋4y－5＝0.18.经过点圆的方程为___________.【答案】【解析】【分析】设圆的一般方程为，代入点坐标，待定系数求解即可.【详解】设圆的一般方程为，代入点可得：，解得故圆的一般方程为：故答案为：19.若点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则a的取值范围是______【答案】【解析】【分析】把点的坐标代入圆的方程，把“＝”改为“＜”号，解不等式即可．【详解】由题意，解得．【点睛】本题考查点与圆的位置关系．点与圆有三种位置关系：点在圆内，点在圆上，点在圆外，其判断方法是求出点到圆心的距离然后与半径比较．也可直接代入圆的标准方程，点为，则点在圆内；点在圆上；点在圆外． 20.在平面直角坐标系中，圆的方程为，该圆的周长为__________.【答案】【解析】【分析】把一般方程改写成标准方程后可求其半径，从而可求周长．【详解】由题设可得圆的标准方程为：，所以圆的半径为，故周长为．故答案为：．【点睛】本题考查圆的一般方程与标准方程的互化，注意圆的一般方程中，，本题属于基础题．21.已知实数x，y满足，那么的最小值为______．【答案】【解析】【分析】根据给定条件，结合式子的几何意义，利用点到直线的距离公式计算作答.【详解】方程表示直线，表示该直线上的点与定点的距离，所以的最小值是点到直线的距离.故答案为：22.方程所表示的曲线是圆，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】【分析】由圆的一般式方程需要满足的条件可得，即可得解.【详解】因为方程所表示的曲线是圆，所以，解得或，即实数的取值范围是.故答案为：. 23.当点P在圆上运动时，连接点P与定点，则线段的中点M的轨迹方程为__________．【答案】【解析】【分析】根据相关点法，利用中点坐标即可求解.【详解】设,由中点坐标公式可得，由于在圆上运动，所以M轨迹方程为，故答案为：24.圆关于直线对称，则的最小值为__________．【答案】【解析】【分析】由题意可得直线过圆心，进而可得出的关系，再根据基本不等式中“1”的整体代换即可得解.【详解】将圆化为标准方程得，则圆心为，因为圆关于直线对称，所以直线过圆心，则，即，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为.故答案为：. 25.数学家华罗庚说：“数缺形时少直观，形少数时难入微”，事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决．例如：与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题．结合上述观点：对于函数，的最小值为______．【答案】【解析】【分析】根据题意得，表示点与点与距离之和的最小值，再找对称点求解即可.【详解】函数，表示点与点与距离之和的最小值，则点在轴上，点关于轴的对称点，所以，所以的最小值为：.故答案为：.二､解答题（共5小题，每道题15分，共75分）26.在三棱台中，若平面，分别为中点．（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成角的余弦值；（3）求点到平面的距离； （4）求点到直线的距离．【答案】（1）证明见解析（2）（3）（4）【解析】【分析】（1）连接，证明四边形是平行四边形，则，即可得证；（2）以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可；（3）利用向量法求解即可；（4）利用向量法求解即可.【小问1详解】连接，因为分别为中点，所以且，又因且，所以且，所以四边形是平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面；【小问2详解】如图，以点为原点建立空间直角坐标系，则，故，设平面法向量为，则有，可取， 因为轴垂直平面，则可取平面的法向量为，则，所以平面与平面所成角的余弦值为；【小问3详解】，则，则点到平面的距离为；【小问4详解】，则，故，所以点到直线的距离为．27.直三棱柱中，为中点，为中点，为中点． （1）求证：平面；（2）求直线与平面的正弦值；（3）求点到平面的距离；（4）求平面与平面夹角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）（3）（4）【解析】【分析】（1）以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求证即可；（2）（3）（4）利用向量法求解即可.【小问1详解】如图，以点为原点建立空间直角坐标系，则，故，故，因为轴垂直平面，所以可取平面的法向量为，则，所以，又平面， 所以平面；【小问2详解】，则，设平面的法向量为，则有，可取，则，所以直线与平面的正弦值为；【小问3详解】点到平面的距离为；【小问4详解】，设平面的法向量为，则有，可取，因为轴垂直平面，则可取平面的法向量为，则，所以平面与平面夹角的余弦值为． 28.如图，正方形的中心为，四边形为矩形，平面平面，点为的中点，．（1）求证：平面；（特别提醒：这一问建系去证给0分）（2）求二面角的正弦值；（可以开始建系了）（3）求点到直线的距离；（4）设为线段上的点，求如果直线和平面所成角的正弦值为，求的长度．【答案】（1）证明见解析（2）（3）（4）或 【解析】【分析】（1）根据面面垂直的性质即可得证；（2）（3）（4）以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.【小问1详解】因为四边形为矩形，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面；【小问2详解】如图，以点为原点建立空间直角坐标系，则，故，设平面的法向量为，则有，可取，设平面的法向量为，则有，可取，则，所以二面角的正弦值为；【小问3详解】，则，所以，所以点到直线的距离为；【小问4详解】设， 则，故，解得或，所以或.29.如图，在四棱柱中，侧棱底面，且点和分别为和的中点．（1）求证：平面；（2）求二面角的正弦值；（3）设为棱上的点，若直线和平面所成角的正弦值为，求线段的长．【答案】（1）证明见解析 （2）（3）【解析】【分析】（1）取的中点，连接，证明四边形为平行四边形即可；（2）以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可；（3）设，再利用向量法求解即可.【小问1详解】取的中点，连接，因为点和分别为和的中点，所以且，又且，所以且，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面；【小问2详解】如图，以点为原点建立空间直角坐标系，取的中点，连接，因为，为的中点，所以，则，则，故，设平面的法向量为，则有，可取， 设平面的法向量为，则有，可取，则，所以二面角的正弦值为；【小问3详解】设，，因为平面，则即为平面的一条法向量，，则，解得（舍去），所以. 30.如图，四棱柱中，侧棱底面，为棱的中点．（1）证明：平面；（2）求二面角的正弦值；（3）设点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长．【答案】（1）证明见解析（2）（3）【解析】【分析】（1）以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法证明即可；（2）利用向量法求解即可；（3）设，再根据线面角利用向量法求解即可.【小问1详解】如图，以点为原点建立空间直角坐标系，则，故，则，所以， 又平面，所以平面；小问2详解】由（1）得即为平面的一个法向量，，设平面的法向量为，则有，令，则，所以，则，所以二面角的正弦值为；【小问3详解】设，则，因为轴垂直平面，则可取平面的法向量为，则，解得（舍去），所以. 【点睛】