河南省 2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题（Word版附解析）

鹤壁市高中2025届高二上学期第三次段考·数学试卷命题人：李小慧校对人：梁软红一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知等比数列{}，且，则的值为（　　）A.3B.C.±D.2.已知双曲线的一条渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点.则C的方程为（）A.B.C.D.3.已知是空间的一个单位正交基底，且，，则与夹角的余弦值为（）A.B.C.D.4.已知直线与直线，若，则（）A.B.2C.2或D.55.直线与曲线交点个数为（）A.1个B.2个C.3个D.4个6.已知，分别为椭圆的两个焦点，P是椭圆E上的点，，且，则椭圆E的离心率为（）A.B.C.D.7.已知函数是定义在上的奇函数，当时，，若数列满足，且，则A.2B.-2C.6D.-6 8.设抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线相交于，两点，与抛物线的准线相交于点，，则与面积的比（）A.B.C.D.二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.每小题有多项符合题目要求）9.已知空间向量，，下列说法正确的是（）A.B.在方向上的投影向量为C.D.在方向上的投影数量为10.已知实数，满足方程，则下列说法错误的是（）A.直线被圆截得的弦长为B.的最大值C.的最大值为D.的最大值为11.已知数列满足，，则（）A.B.C.D.12.法国数学家加斯帕蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆若椭圆的蒙日圆为，过上的动点作的两条切线，分别与交于，两点，直线交于，两点，则下列结论正确的是（）A.椭圆的离心率为 B.面积的最大值为C.到的左焦点的距离的最小值为D.若动点在上，将直线，的斜率分别记为，，则三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知空间中单位向量、，且，则的值为________.14.已知直线过点，且在轴上的截距为在轴上的截距的两倍，则直线的方程是___________.15.已知双曲线，且，，依次成公比为的等比数列，则过焦点与相交所得弦长为的直线有_________条.16.过抛物线上任意一点作轴垂线，垂足为，动点在直线上，则的最小值为__________．四、解答题（本大题共6小题，第17题10分，其余题12分，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.求适合下列条件曲线的标准方程：（1）焦点在轴上，长轴长等于，离心率等于椭圆标准方程；（2）经过点，并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程．18.已知圆C经过点A（2，0），与直线x+y＝2相切，且圆心C在直线2x+y﹣1＝0上.（1）求圆C的方程；（2）已知直线l经过点（0，1），并且被圆C截得的弦长为2，求直线l的方程.19.已知四棱锥中，PA⊥平面ABCD，，，E为PD中点.（1）求证：平面PAB； （2）设平面EAC与平面DAC的夹角为，求三棱锥的体积.20.记是等差数列的前n项和，若，（1）求的通项公式，并求的最小值；（2）设，求数列的前n项和21.已知数列前项和为（为常数）.（1）若，求的通项公式；（2）若，设数列的前项和为，求证：.22.已知点分别为双曲线的左顶点和右焦点，过且垂直于轴的直线与双曲线第一象限部分交于点，的面积为．（1）求双曲线的方程；（2）若直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点，与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，记，的面积分别为，（为坐标原点）．若，求实数的取值范围． 鹤壁市高中2025届高二上学期第三次段考·数学试卷命题人：李小慧校对人：梁软红一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知等比数列{}，且，则的值为（　　）A.3B.C.±D.【答案】B【解析】【分析】求出公比，再根据等比数列的通项公式即可得解.【详解】设公比为，因为，所以，所以，所以.故选：B.2.已知双曲线的一条渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点.则C的方程为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据渐近线方程得到，根据共焦点得到，解得答案.【详解】双曲线的一条渐近线方程为，则.椭圆与双曲线有公共焦点，则双曲线的焦距，即，则，解得，，则双曲线C的方程为. 故选：B.3.已知是空间的一个单位正交基底，且，，则与夹角的余弦值为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】设与夹角为，利用空间向量数量积坐标表示从而求解.【详解】由题意得是空间的一个单位正交基底，所以=，，设与的夹角为，，所以，故D项错误.故选：D.4.已知直线与直线，若，则（）A.B.2C.2或D.5【答案】A【解析】【分析】解方程，再检验即得解.【详解】解：若，则，所以或．当时，重合，不符合题意，所以舍去；当时，符合题意．故选：A5.直线与曲线的交点个数为（）A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】B 【解析】【分析】根据题意，由曲线表示一条直线与一个圆，然后分别联立方程，即可得到交点个数.【详解】因为曲线就是或，表示一条直线与一个圆，联立，解得，即直线与直线有一个交点；此时，没有意义.联立，解得或，所以直线与有两个交点.所以直线与曲线的交点个数为2个.故选：B6.已知，分别为椭圆的两个焦点，P是椭圆E上的点，，且，则椭圆E的离心率为（）AB.C.D.【答案】B【解析】【分析】由题意得，利用椭圆定义及勾股定理求得椭圆参数关系，即可求离心率.【详解】由题意及正弦定理得：，令，则，，可得，所以椭圆的离心率为：.故选：B7.已知函数是定义在上的奇函数，当时，，若数列满足，且 ，则A.2B.-2C.6D.-6【答案】C【解析】【分析】数列是周期数列且周期为，因此，利用题设的函数解析式可求函数值．【详解】由可得，故，因此是周期数列且周期为，又，故，故选C．【点睛】本题主要考查了数列的递推关系式的应用，以及函数的性质的应用问题，（1）当从数列的递推关系无法求通项时，可以从先计算数列的若干初始项，找出规律后可得通项（必要时用数学归纳法证明）．（2）对于奇函数（或偶函数），若已知的解析式，则当的时的解析为（偶函数时为）．8.设抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线相交于，两点，与抛物线的准线相交于点，，则与面积的比（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据，进而由两三角形相似，得出，再由抛物线的定义求得 ，根据的值求得点的坐标，进而利用两点式求得直线的方程，把代入，即可得点的坐标，从而求得的值，则三角形的面积之比可得.【详解】解：如图过，两点分别作准线的垂线，垂足分别为，，因为∽，所以，由抛物线定义得，，因为，所以，因为，所以，，所以，所以直线AB的方程为，将代入上式得，，解得或，所以，，所以，所以，故选：D 【点睛】此题考了抛物线的应用，抛物线的简单性质，考查了基础知识的综合运用和综合分析问题的能力，属于中档题.二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.每小题有多项符合题目要求）9.已知空间向量，，下列说法正确的是（）A.B.在方向上的投影向量为C.D.在方向上的投影数量为【答案】ABD【解析】【分析】直接利用向量的坐标运算和向量的模的运算及向量的数量积和向量的投影分别判断即可.【详解】已知空间向量，，对于：，故正确；对于：由于，，所以，，，则，在方向上的投影向量为，故正确； 对于：空间向量，，使,,则不存在实数，，故错误；对于：在方向上的投影数量为，故正确．故选：．10.已知实数，满足方程，则下列说法错误的是（）A.直线被圆截得的弦长为B.的最大值C.的最大值为D.的最大值为【答案】AB【解析】【分析】根据题意，利用点到直线的距离公式、两点之间的距离公式计算，将表示为圆上的点到原点的距离的平方，、分别表示直线、与圆有公共点，结合直线与圆的位置关系计算依次判断选项，即可求解.【详解】A：实数，满足方程，所以把看作是以为圆心，以为半径的圆；由点到直线的距离公式得圆心到直线的距离，于是弦长，故A错误；B：原点到圆心的距离为，所以圆上的点到原点的距离的范围为，所以，即，所以的最大值为，故B错误．C：令，则直线与圆有公共点，所以，，解得，所以的最大值为．故C正确； D：令，则直线与圆有公共点，所以，解得，所以的最大值为．故D正确.故选：AB.11.已知数列满足，，则（）A.B.C.D.【答案】AD【解析】【分析】当时，，此时，由此即可判断B；由题意通过递推关系可得，进一步可得数列的通项公式，即可判断剩余选项.【详解】数列满足，，所以时，，此时，故B错误；，，，化为：．当时，．．，，故可知．故选：AD．12.法国数学家加斯帕蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆若椭圆的蒙日圆为，过上的动点作的两条切线，分别与 交于，两点，直线交于，两点，则下列结论正确的是（）A.椭圆的离心率为B.面积的最大值为C.到的左焦点的距离的最小值为D.若动点在上，将直线，的斜率分别记为，，则【答案】ACD【解析】【分析】根据题意结合圆，椭圆的知识并结合直线与椭圆位置关系，韦达定理可逐项求解.【详解】对于A:依题意，过椭圆的上顶点作轴的垂线，过椭圆的右顶点作轴的垂线，则这两条垂线的交点在上，所以，得，所以椭圆的离心率，故A正确；对于B：因为点，，都在上，且，所以为的直径，所以，所以面积的最大值为，故B错误；对于C：设，的左焦点为，连接，因为，所以又，所以，则到的左焦点的距离的最小值为，故C正确；对于D：由直线经过坐标原点，易得点，关于原点对称， 设，，则，又，，又两式相减得，所以，又，所以，故D正确．故选：ACD.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知空间中单位向量、，且，则的值为________.【答案】【解析】【分析】根据向量的运算法则计算，得到答案.【详解】，故.故答案为：.14.已知直线过点，且在轴上的截距为在轴上的截距的两倍，则直线的方程是___________.【答案】或【解析】【分析】当纵截距为时，设直线方程为，代入点求得的值，当纵截距不为 时，设直线的截距式方程，代入点求解.【详解】①当直线在两坐标轴上的截距均为时，设直线方程为，因为直线过点，所以，所以直线的方程为；②当直线在两坐标轴上的截距均不为时，设直线在轴上截距为，则在轴上的截距为，则直线的方程为，又因为直线过点，所以，解得：，所以直线的方程为，即，综上所述：直线的方程为或，故答案为：或．15.已知双曲线，且，，依次成公比为的等比数列，则过焦点与相交所得弦长为的直线有_________条.【答案】【解析】【分析】根据等比数列求出双曲线的方程，通过最短弦长和对称性即可求解.【详解】因为，，依次成公比为的等比数列，所以，，所以的方程可化为，则，所以两焦点坐标分别为，，由题意知过焦点的直线与双曲线交于同一支时，弦长最小时为直线垂直轴时，此时直线为，弦长为，当直线与双曲线交于两支时，弦长最小时直线为，此时弦长最小为，所以根据对称性可知过焦点与相交所得弦长为的直线有条.故答案为：. 16.过抛物线上任意一点作轴的垂线，垂足为，动点在直线上，则的最小值为__________．【答案】【解析】【分析】延长PQ与抛物线的准线交于H,则，根据抛物线的定义转化为,则,根据图象可知当在一条直线上时，有最小值，过F作交于,交抛物线于P，当M与重合时，最小.【详解】延长PQ与抛物线的准线交于H,如图：则，根据抛物线定义得：,所以，由图象可知当在一条直线上时，有最小值，因此过F作交于,交抛物线于P，当M与重合时，最小，且，根据点到直线的距离公式可得，所以. 即所求最小值.【点睛】本题主要考查了抛物线的方程，抛物线的定义，及抛物线的简单几何性质，属于中档题.四、解答题（本大题共6小题，第17题10分，其余题12分，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.求适合下列条件的曲线的标准方程：（1）焦点在轴上，长轴长等于，离心率等于的椭圆标准方程；（2）经过点，并且对称轴都在坐标轴上等轴双曲线的方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据椭圆的长轴、离心率的定义求解；（2）利用等轴双曲线的定义求解.【小问1详解】因为长轴长等于，离心率等于，所以，，，又因为焦点在轴上，所以椭圆标准方程；【小问2详解】设双曲线方程为，代入点，得，双曲线方程为．18.已知圆C经过点A（2，0），与直线x+y＝2相切，且圆心C在直线2x+y﹣1＝0上.（1）求圆C的方程；（2）已知直线l经过点（0，1），并且被圆C截得的弦长为2，求直线l的方程. 【答案】（1）（x﹣1）2+（y+1）2＝2（2）x＝0或3x+4y﹣4＝0【解析】【分析】（1）由圆C的圆心经过直线2x+y﹣1＝0上，可设圆心为C（a，1﹣2a）.由点到直线的距离公式表示出圆心C到直线x+y＝2的距离d，然后利用两点间的距离公式表示出AC的长度即为圆的半径，然后根据直线与圆相切时圆心到直线的距离等于圆的半径，列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值，由a的值可确定出圆心坐标及半径，然后根据圆心和半径写出圆的方程即可.（2）分类讨论，利用圆心到直线的距离为1，即可得出结论.【小问1详解】因为圆心C在直线2x+y﹣1＝0上，可设圆心为C（a，1﹣2a）.则点C到直线x+y＝2的距离d.据题意，d＝|AC|，则，解得a＝1.所以圆心为C（1，﹣1），半径r＝d，则所求圆的方程是（x﹣1）2+（y+1）2＝2.小问2详解】k不存在时，x＝0符合题意；k存在时，设直线方程为kx﹣y+1＝0，圆心到直线的距离1，∴k，∴直线方程为3x+4y﹣4＝0.综上所述，直线方程为x＝0或3x+4y﹣4＝0.19.已知四棱锥中，PA⊥平面ABCD，，，E为PD中点. （1）求证：平面PAB；（2）设平面EAC与平面DAC的夹角为，求三棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）方法一：利用线面平行的判定定理直接证明；方法二：利用空间向量的坐标运算证明线线垂直即可证明；（2）方法一：利用二面角的定义以及三棱锥的定义求解；方法二：利用空间向量的坐标运算求出三棱锥的高，进而求体积.【小问1详解】证明：取中点,连,是中点,∴且,又∵且.∵且,∴四边形为平行四边形，,又∵平面，⊂平面，∴平面．【小问2详解】取中点，连，过作交于，连,∵分别是中点，∴，又∵平面．∴⊥平面,平面,∴，又∵，平面，∴⊥平面，平面，∴，∴是平面与平面的夹角的平面角. ∴.,∴.∴,解法二：（1）∵⊥平面，，∴两两垂直，以所在直线为轴，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系.设，则有则，又⊥平面，平面，所以，又∵平面，∴⊥平面，∴是平面的一个法向量,∵，又∵平面，∴平面.（2）⊥平面，∴平面的一个法向量, 设平面的一个法向量为,则有，不妨设，则，即,,∴到平面的距离,∴.20.记是等差数列的前n项和，若，（1）求的通项公式，并求的最小值；（2）设，求数列的前n项和【答案】（1），-36；（2）【解析】【分析】（1）求出，再求出，2，3，4时，时，，即得解；（2）对分和两种情况讨论得解.【小问1详解】解：设的公差为d，则，，，，由得，，，2，3，4时，时，，的最小值为【小问2详解】 解：由知，当时，时，，，当时，当时，，21.已知数列的前项和为（为常数）.（1）若，求的通项公式；（2）若，设数列的前项和为，求证：.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据递推公式，利用构造法可得为等比数列，然后可解；（2）对数列的通项公式使用放缩法，然后由裂项相消法求和后可证.【小问1详解】当时，，得又，所以是首项为3，公比为3的等比数列，所以，即.【小问2详解】当时，，则，所以是首项为1，公差为4的等差数列，所以， 所以，所以当时，，当时，当时，，综上，.22.已知点分别为双曲线的左顶点和右焦点，过且垂直于轴的直线与双曲线第一象限部分交于点，的面积为．（1）求双曲线的方程；（2）若直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点，与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，记，的面积分别为，（为坐标原点）．若，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据双曲线方程即可写出之间的关系，再根据三角形面积公式解得，即可得到双曲线的方程；（2）联立直线与双曲线方程，利用韦达定理和弦长公式即可写出的表达式，同理可得的面积表达式，再通过构造函数即可求得实数的取值范围．【小问1详解】由题意可知，所以，，由已知，可得， 则，解得，所以双曲线的方程为.【小问2详解】设，联立，整理可得所以，解得，由，可得，，原点到直线的距离，所以设，，易知渐近线方程为，不妨设在渐近线上，由得，同理，所以，到直线的距离， 所以所以，，则令，则故的取值范围是