河南省洛阳市强基联盟2023-2024学年高二上学期10月联考数学试题（Word版附解析）

数学考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册第一章~第二章第3节.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知直线的斜率为，且经过点，则直线的方程为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据题意，结合直线的点斜式方程，即可求解.【详解】由题意，直线的斜率为，且经过点，根据直线点斜式方程，可得，即.故选：D.2.已知是坐标原点，空间向量，，，若线段的中点为，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据模长的坐标计算公式直接计算. 【详解】由题意，则，所以，所以，故选：C.3.已知直线l经过点，，则下列不在直线l上的点是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由已知的两点求出直线l的方程，将点的坐标代入直线方程即可求解.【详解】由直线的两点式方程，得直线l的方程为，即，将各个选项中的坐标代入直线方程，可知点，，都在直线l上，点不在直线l上．故选：D．4.在空间直角坐标系中，已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为，，，则点的坐标为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据平行四边形对角线交点为中点可得答案.【详解】设，因为与的中点相同，所以，解得，所以.故选：A.5.已知点A，B分别是直线与直线上的点，则的最小值为（）A.0B. C.D.【答案】C【解析】【分析】由两平行直线间的距离定义和公式可求.【详解】由题意可知直线，所以当，且时，有最小值，其最小值为平行直线与的距离，直线的方程可化为，所以故选：C.6.已知点，，过点的直线与线段相交，则的斜率的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先求得直线和直线的斜率，再利用数形结合法求解.【详解】解：如图所示：，由图象知：当的斜率不存在时，直线与线段相交， 故的斜率的取值范围为.故选：D.7.在四面体中，点E满足F为BE的中点，且则实数λ=（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由空间向量线性和基本定理运算可解.【详解】由F为BE的中点，得又所以，由得即所以故选：D8.已知点在线段上，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】将问题化为求原点到线段上点距离的平方的范围，进而求目标式的距离.【详解】由图象如下， 又是上图线段上的一点，且为原点到该线段上点距离的平方，上述线段端点分别为，到原点距离的平方分别为，由图知：原点到线段的距离，则，综上，，故.故选：B二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知是空间中三个向量，则下列说法错误的是（）A.对于空间中的任意一个向量，总存在实数，使得B.若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底C.若，，则D.若所在直线两两共面，则共面【答案】ACD【解析】【分析】根据空间向量基本定理分别判断.【详解】由空间向量基本定理.可知只有当不共面时.才能作为基底，才能得到，故A错误：若是空间的一个基底，则不共面.也不共面，所以也是空间的一个基底，故B正确；若，，则不一定平行，故C错误； 若所在直线两两共面，则不一定共面，故D错误.故选：ACD.10.已知直线的倾斜角分别为，斜率分别是，若，则的大小关系可能是（）A.B.C.D.【答案】ACD【解析】【分析】由在分别单调递增，且时，；时，，分类讨论分析即得解.【详解】由在分别单调递增，且时，；时，，若，或，则，故A正确；若，则，故C正确；若，则，故D正确，无论哪种条件下，B都不成立.故选：ACD.11.已知直线l经过点，且与坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形，则直线l的方程为（）A.B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】根据给定条件，利用直线的斜截式方程，结合待定系数法求解即得.【详解】依题意，直线l的截距存在且不为零，设直线l的方程为，又直线l过点，于是，又l与坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形，则，当时，，解得，此时直线的方程为；当时，，解得，此时直线l的方程为.所以直线的方程为或.故选：AC12.如图，在长方体中，分别为棱的中点，则下列结论正确的是（）A.平面B.⊥平面C.异面直线CN和AB所成角的余弦值为D.若P为线段上的动点，则点P到平面CMN的距离不是定值【答案】AD【解析】【分析】建立空间直角坐标系，根据线面平行的判定定理，利用空间平面向量的数量积运算性质、夹角公式逐一判断即可. 【详解】建立如图所示空间直角坐标系，则，对于A，因为所以，又平面，平面，所以平面，故A正确；对于B：，设平面的法向量为，则即令，则所以平面的一个法向量为因为与不平行，所以⊥平面不成立，故B错误；对于C：设异面直线CN和AB所成的角为，则，故C错误；对于D，设，所以， 又平面的一个法向量为所以点P到平面的距离不是定值.故D正确.故选：AD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量，若，则m=______.【答案】【解析】【分析】由空间向量垂直的条件求解.【详解】由，得解得故答案为：14.若直线与直线垂直，则实数______.【答案】##【解析】【分析】根据两直线垂直列方程，解方程即可.【详解】因为直线与直线垂直，所以，解得，故答案为：.15.2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，唐诗中边塞诗又称出塞诗，是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分.唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”.诗中隐含着一个有趣的数学问题———“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短?在平面直角坐标系中，设将军的出发点是A（2，4），军营所在位置为B（6，2），河岸线所在直线的方程为x+y-3=0，则将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的总路程的最小值为______.【答案】【解析】 【分析】求出点B关于直线的对称点，数形结合分析得，“将军饮马”的总路程的最小值为.【详解】由题可知A，B在的同侧，设点B关于直线的对称点为，则，解得，即，所以“将军饮马”总路程的最小值为.故答案为：.16.如图，在四棱锥中，平面平面，底面是矩形，，，，点是的中点，则线段上的动点到直线的距离的最小值为______.【答案】【解析】【分析】利用空间线面位置关系、空间向量、向量法求空间中点到直线距离的公式、二次函数分析运算即可得解.【详解】解： 如上图，取的中点为.连接、、.∵，点是的中点，∴.又∵平面平面，平面平面，平面，∴平面.又∵平面∴.又∵底面是矩形，、是、中点，∴.∴以点为原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系如图所示，由，，，得，.∴，，，则，，设，则，，，∵，∴向量单位方向向量，则，因此点到直线的距离，当时，取最小值，∴线段上的动点到直线的距离的最小值为.故答案为：.【点睛】向量法求点到直线距离的步骤：1.根据图形求出直线（或向量）的单位方向向量. 2.在直线上任取一点（可选择特殊便于计算的点），计算点与直线外的点的方向向量点.3.点到直线的距离.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知三条直线，和.（1）若，求实数的值；（2）若三条直线相交于一点，求实数的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由两条直线平行的条件求解即可；（2）先由两条确定的直线求出交点坐标，然后带入含参直线求解即可.【小问1详解】因为，且.所以.解得.经检验，时，.【小问2详解】由，解得即与的交点为，因为三条直线相交于一点，所以点在上，所以.解得.18.已知的三个顶点分别为，，.（1）求边上的高所在直线的方程；（2）求边上的中线所在直线的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先求得直线的斜率，利用点斜式求得边上的高所在直线的方程.（2）先求得点坐标，再根据两点式求得边上的中线所在直线的方程. 【小问1详解】，所以直线的斜率为，所以直线的方程为【小问2详解】线段的中点，所以直线所在直线方程为.19.如图，在四面体中，，，，，点，分别在棱，上，且，.（1）用，，表示，；（2）求异面直线，所成角的余弦值.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根据向量的线性运算直接表示各向量；（2）利用转化法求向量数量积及夹角.【小问1详解】因为点，分别在棱，上，且，， 所以，，所以，；【小问2详解】因为，，，，所以，，所以，，，所以，即异面直线，所成角的余弦值为.20.如图，在直三棱柱中，，，D，E，F分别为，，的中点.（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）取的中点G，连接，，利用线线平行证明线面平行；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求线面夹角正弦值.【小问1详解】证明：取的中点，连接，，因为F，G分别为，的中点，所以，，又E为的中点，，，所以，，所以四边形是平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面.【小问2详解】解：在直三棱柱中，平面，又平面，平面，所以，，又，故以B为原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系如图所示，则 ，，，，所以，，，设平面的法向量为，则令得，，所以平面的一个法向量为，设直线与平面所成的角为，则，即直线与平面所成的角的正弦值为.21.已知直线恒过点，且与轴，轴分别交于两点，为坐标原点.（1）求点的坐标；（2）当点到直线的距离最大时，求直线的方程；（3）当取得最小值时，求的面积.【答案】（1）（2）（3）或【解析】【分析】（1）把直线的方程可化为，联立方程组，即可求解；（2）当时，点到直线的距离最大，结合，求得，即可求得直线的方程；（3）分别求得和，得到，结合基本不等式，得到，分类讨论，即可求得的面积.【小问1详解】 解：直线的方程可化为，令，解得，即点的坐标为.【小问2详解】解：当时，点到直线的距离最大，此时直线的斜率与直线的斜率满足，因为，所以，即，所以直线的方程为，即.【小问3详解】解：令，可得，所以；令，可得，所以，且，可得，所以当且仅当时，等号成立，当时，直线的方程为，此时，可得的面积为；当时，直线的方程为，此时，可得的面积为，综上可得，的面积为或22.如图，在三棱台中，是等边三角形，，侧棱平面，点D是棱的中点，点E是棱上的动点（不含端点B）. （1）证明:平面平面；（2）求平面与平面的夹角的余弦值的最小值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）先分别证明、，由此即可证明平面，从而由面面垂直的判定定理即可得证.（2）建立适当的空间直角坐标系，设，分别求出求平面与平面的法向量（含有参数），由公式即可表示出（它可以看成是关于的函数），从而将问题转换为了求函数的最小值，从而即可求解.【小问1详解】因为是等边三角形，点是棱的中点，所以，又平面，平面，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以平面平面.【小问2详解】在平面中，过点作, 由（1）可知，，所以，，又平面，平面，所以，以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系如图所示：因为是等边三角形，，所以，，，因为，所以设所以，所以设平面的法向量为，又所以，即，令，得所以平面的一个法向量为设平面的法向量为，又所以，即，令，得 所以平面的一个法向量为，设平面与平面的夹角为，所以，设，因为，所以，所以，所以，设，则由复合函数单调性可知在时单调递增，所以当时，即时，取到最小值.